永磁無(wú)刷直流電機(jī)空載氣隙磁場(chǎng)和繞組反電勢(shì)的解析計(jì)算

1、永磁無(wú)刷直流電機(jī)空載氣隙磁場(chǎng)和繞組反電勢(shì)的解析永磁無(wú)刷直流電機(jī)空載氣隙磁場(chǎng)和繞組反電勢(shì)的解析計(jì)算計(jì)算王興華，勵(lì)慶孚，王曙鴻王興華，勵(lì)慶孚，王曙鴻（西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，陜西（西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，陜西 西安西安 710049710049） 摘摘 要要：該文利用許-克變換構(gòu)造了考慮齒槽效應(yīng)的氣隙相對(duì)比磁導(dǎo)函數(shù)，該氣隙相對(duì)比磁導(dǎo)函數(shù)反映了齒槽效應(yīng)對(duì)氣隙磁場(chǎng)分布的影響，且這種影響的程度隨氣隙中的徑向位置而變化。在忽略鐵心飽和的情況下，結(jié)合偏微分方程的解析算法，提出了一種考慮齒槽效應(yīng)的永磁無(wú)刷直流電機(jī)空載氣隙磁場(chǎng)分布和相繞組反電動(dòng)勢(shì)的解析計(jì)算方法。計(jì)算結(jié)果與二維有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比，其計(jì)算波形和

2、大小吻合很好。證明此方法是正確的、可靠的，為永磁無(wú)刷直流電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)和性能分析提供了基本分析手段。 關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：永磁無(wú)刷電機(jī)；氣隙磁場(chǎng)；反電勢(shì)；解析計(jì)算1 1 引言引言 對(duì)于永久磁鋼表面安裝的永磁電機(jī)，由于定子鐵心開(kāi)有若干槽，使氣隙磁導(dǎo)并非均勻值，從而導(dǎo)致電機(jī)氣隙磁場(chǎng)并非理想的梯形波，其中含有幅值較大的齒諧波，當(dāng)電機(jī)旋轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)引起相繞組交鏈磁鏈的波動(dòng)，使相繞組反電勢(shì)出現(xiàn)波動(dòng)，進(jìn)而導(dǎo)致繞組相電流的脈動(dòng)，引起電磁轉(zhuǎn)矩的波動(dòng)，最終引起電機(jī)的振動(dòng)和噪聲。 可見(jiàn)，要準(zhǔn)確計(jì)算永磁電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)，首先應(yīng)準(zhǔn)確計(jì)算電機(jī)氣隙內(nèi)的磁場(chǎng)分布，從而可以準(zhǔn)確計(jì)算出電機(jī)相繞組的反電動(dòng)勢(shì)變化波形和電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)，以確

3、定有效的改進(jìn)措施和控制策略。而準(zhǔn)確計(jì)算永磁電機(jī)氣隙內(nèi)磁場(chǎng)分布的關(guān)鍵是如何考慮齒槽結(jié)構(gòu)對(duì)氣隙磁場(chǎng)分布的影響。 在氣隙磁場(chǎng)的求解方法中，有限元數(shù)值計(jì)算方法可以準(zhǔn)確計(jì)算出氣隙磁場(chǎng)的分布波形，具有通用性強(qiáng)、適用于各種媒質(zhì)的特點(diǎn)。但其前處理過(guò)程復(fù)雜、計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，對(duì)使用者有較高的技術(shù)要求，在電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)中不便采用。解析方法可以較準(zhǔn)確地計(jì)算氣隙磁場(chǎng)分布波形，同時(shí)可以觀察到氣隙磁場(chǎng)分布與結(jié)構(gòu)尺寸之間的關(guān)系，具有很大的工程實(shí)用價(jià)值。文獻(xiàn)1、2利用解析方法對(duì)氣隙磁場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算，求解出氣隙磁場(chǎng)的分布波形，但文中忽略了齒槽的影響。文獻(xiàn)3討論了永磁電機(jī)中定子斜槽（或轉(zhuǎn)子斜極）、永磁體磁化方式、氣隙長(zhǎng)度、轉(zhuǎn)子半徑和永磁體

4、極弧系數(shù)對(duì)氣隙磁場(chǎng)分布的影響，給出計(jì)算氣隙磁場(chǎng)分布的經(jīng)驗(yàn)公式，由此計(jì)算出相繞組反電動(dòng)勢(shì)變化波形，可是文中忽略了齒槽的影響，公式的通用性也較差。文獻(xiàn)4采用等效磁路的方法構(gòu)造出考慮齒槽效應(yīng)的氣隙磁導(dǎo)分布函數(shù)，以此求解電機(jī)內(nèi)氣隙磁場(chǎng)的分布，但文中等效磁路法默認(rèn)為齒槽效應(yīng)對(duì)氣隙磁場(chǎng)分布的影響程度與氣隙內(nèi)的徑向位置無(wú)關(guān)，這與實(shí)際磁場(chǎng)分布有一定偏差5。文獻(xiàn)6采用部分區(qū)域的方法，利用連續(xù)邊界條件求解齒槽對(duì)氣隙磁場(chǎng)的影響，但文中忽略了永磁體相對(duì)磁導(dǎo)率mr的影響。 本文以許-克變換為基礎(chǔ)，構(gòu)造出考慮齒槽效應(yīng)的氣隙相對(duì)比磁導(dǎo)函數(shù)，該氣隙相對(duì)比磁導(dǎo)函數(shù)反映了齒槽效應(yīng)對(duì)氣隙磁場(chǎng)的影響程度，且這種影響程度隨氣隙徑向位置

5、而變化。在忽略鐵心飽和的情況下，本文結(jié)合偏微分方程的解析算法，提出了一種永磁無(wú)刷直流電機(jī)空載氣隙磁場(chǎng)分布和相繞組反電勢(shì)的解析計(jì)算方法，其計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比，兩者吻合很好。證明此計(jì)算方法是正確的、可靠的，為永磁電機(jī)的設(shè)計(jì)和性能分析提供了依據(jù)。2 2 氣隙相對(duì)比磁導(dǎo)函數(shù)氣隙相對(duì)比磁導(dǎo)函數(shù) 在永久磁鋼表面安裝的永磁電機(jī)（以?xún)?nèi)轉(zhuǎn)子電機(jī)為例）中，定子鐵心表面開(kāi)有若干個(gè)槽，轉(zhuǎn)子鐵心表面光滑。對(duì)于槽數(shù)較少的永磁電機(jī)，槽口寬與槽距比值較小，在分析一個(gè)槽距內(nèi)氣隙磁導(dǎo)變化時(shí)，可忽略相鄰槽之間的影響；但對(duì)于槽數(shù)較多的永磁電機(jī)，相鄰槽之間的影響較大，不能忽略。本文只對(duì)槽數(shù)較少的永磁電機(jī)進(jìn)行討論，故可由定子鐵

6、心單個(gè)槽時(shí)的物理模型進(jìn)行分析。圖 1所示為轉(zhuǎn)子鐵心表面光滑、定子鐵心單個(gè)槽時(shí)的物理模型。為便于分析作如下假設(shè)： （1）定子鐵心表面開(kāi)槽，轉(zhuǎn)子鐵心表面光滑； （2）槽深為無(wú)限深； （3）鐵心磁導(dǎo)率為無(wú)窮大，定、轉(zhuǎn)子鐵心表面均為等標(biāo)量磁位面，一面為0，另一面為W0； （4）永磁材料退磁曲線為直線； （5）永磁體以相同磁導(dǎo)率的材料填充。 在圖 1 中，若定、轉(zhuǎn)子鐵心表面標(biāo)量磁位差為W0，利用許-克變換可求得永磁體、氣隙和槽內(nèi)區(qū)域任意點(diǎn)的磁通密度B。由于空氣、永磁體磁導(dǎo)率為常數(shù)，所以任意點(diǎn)磁通密度B與定、轉(zhuǎn)子鐵心表面之間的標(biāo)量磁位差W0呈正比關(guān)系。參考文獻(xiàn)7，定義該比例系數(shù)K為該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的等效比磁導(dǎo)l，

7、即B=W0l。 一個(gè)齒距內(nèi)的氣隙磁通密度分布如圖 2 所示，其中B0表示氣隙磁通密度因開(kāi)槽而造成的脈振的振幅，S1為在氣隙半徑r處一個(gè)槽對(duì)氣隙磁場(chǎng)的影響寬度，ts為槽節(jié)距。 在保證氣隙磁通不變的條件下，對(duì)圖 2 中S1區(qū)間內(nèi)的磁密波形可利用0, 2p區(qū)間的余弦函數(shù)進(jìn)行擬合，從圖 2 可看出余弦函數(shù)的幅值為B0，周期為S1。由卡特系數(shù)的定義可知： 在任意氣隙半徑r處：式中 Bmax為定子齒面下均勻氣隙的磁密；Bmin為沿定子槽中心線上半徑 r 處的磁密。 在氣隙半徑 r 處，由文獻(xiàn)8中許-克變換可求得：式中 b0 為槽口寬度； V 由下式?jīng)Q定：其中Rs為定子內(nèi)徑。 由以上分析可得，永磁電機(jī)定子鐵

8、心單個(gè)槽的氣隙比磁導(dǎo)為式中 a 為距槽中心線的空間位置角；at為槽距角；Qs為定子槽數(shù)； 以齒面下氣隙均勻處的比磁導(dǎo)為基值，在氣隙半徑r處，永磁電機(jī)單個(gè)槽的相對(duì)比磁導(dǎo)函數(shù)為 忽略相鄰槽之間的影響，則整個(gè)永磁電機(jī)的氣隙比磁導(dǎo)分布為周期函數(shù)，且周期為at。在極坐標(biāo)下，以 a 相繞組軸線為坐標(biāo)軸，將式(8)進(jìn)行傅立葉分解得電機(jī)等效氣隙內(nèi)在半徑r處的相對(duì)比磁導(dǎo)分布函數(shù)為asa為 a 相繞組軸線與圖 1 中槽中心線之間的空間夾角。 由式(1)(6)可知：如圖 1 所示，在永磁電機(jī)定子鐵心的槽口區(qū)域，對(duì)于任意 a 空間位置角，不同的氣隙半徑 r 處具有不同的 (r)值。由式(7)可知不同的 (r)值具有不

9、同的氣隙相對(duì)比磁導(dǎo)函數(shù)值，可見(jiàn)在不同氣隙半徑 處槽對(duì)氣隙磁場(chǎng)的影響程度并不相同。如圖 3 所示，為氣隙中定子鐵心內(nèi)圓、氣隙平均半徑和永磁體表面處的相對(duì)比磁導(dǎo)函數(shù)分布波形。對(duì)比圖 3(a)、(b)、(c)可看出氣隙相對(duì)比磁導(dǎo)與氣隙半徑的對(duì)應(yīng)關(guān)系。3 3 空載氣隙磁場(chǎng)的計(jì)算空載氣隙磁場(chǎng)的計(jì)算 在忽略鐵心飽和時(shí)，永磁電機(jī)定子開(kāi)槽對(duì)氣隙磁場(chǎng)的影響可用相對(duì)比磁導(dǎo)函數(shù)加以計(jì)算。永磁電機(jī)空載氣隙磁場(chǎng)可等效為永磁磁極在光滑氣隙內(nèi)產(chǎn)生的氣隙磁場(chǎng)與氣隙相對(duì)比磁導(dǎo)函數(shù)的乘積。 當(dāng)忽略定子開(kāi)槽的影響時(shí)，以永磁磁極 N 極為極坐標(biāo)軸，永磁磁極在光滑氣隙內(nèi)產(chǎn)生磁場(chǎng)的徑向分量為9 當(dāng)np=1 時(shí)式中 設(shè)在極坐標(biāo)系下，以 a

10、 相繞組軸線為極坐標(biāo)軸。當(dāng)轉(zhuǎn)子 N 極軸線位于g 角位置時(shí)，電機(jī)氣隙內(nèi)半徑r處氣隙磁場(chǎng)的徑向分量為4 4 相繞組反電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算相繞組反電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算 當(dāng)永磁無(wú)刷直流電機(jī)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)，永磁磁極產(chǎn)生的磁場(chǎng)是旋轉(zhuǎn)的，而定子齒槽是靜止不動(dòng)的，因此電機(jī)中空載氣隙磁密分布是隨轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)而變化的。同時(shí)每相繞組所交鏈的磁鏈也隨時(shí)間而變化。變化的磁鏈在相繞組中感生旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì) 由于齒槽的影響，會(huì)使感生電動(dòng)勢(shì) E 的變化波形中含有一定的波紋。值得注意的是，永磁無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)負(fù)載工作時(shí)，電樞繞組電流含有大量的諧波分量，電樞磁場(chǎng)為跳躍式步進(jìn)磁場(chǎng)，所以電樞反應(yīng)磁場(chǎng)也在相繞組中感生電動(dòng)勢(shì)（變壓器電勢(shì)），尤其是繞組換向時(shí)電樞磁場(chǎng)的

11、瞬變過(guò)程，會(huì)產(chǎn)生較大的感生電動(dòng)勢(shì)脈沖。本文只討論空載時(shí)繞組的感生電動(dòng)勢(shì)。 以集中式繞組為例，設(shè)每個(gè)線圈節(jié)距為 ay機(jī)械角度，每相繞組串聯(lián)線圈個(gè)數(shù)為N，當(dāng)轉(zhuǎn)子N極軸線與 a 相繞組軸線重合時(shí)為相繞組反電動(dòng)勢(shì)的計(jì)時(shí)起點(diǎn)，即 t=0 時(shí)刻，則由式(11)、(13)和(14)計(jì)算出永磁電機(jī) a 相繞組的感生電動(dòng)勢(shì)為式中 ai為第 i 個(gè)線圈首邊的空間位置角；w 為轉(zhuǎn)子角速度；N5為單個(gè)集中線圈的匝數(shù)；r=w.t； 同理利用以上方法，根據(jù)繞組的具體排列方式可以計(jì)算分布繞組、短距繞組、分?jǐn)?shù)槽繞組等各種繞組形式的相繞組感生電動(dòng)勢(shì)瞬時(shí)值，進(jìn)而可計(jì)算出瞬態(tài)的繞組線電勢(shì)和電樞繞組電流等參數(shù)。5 5 解析計(jì)算結(jié)果分

12、析比較解析計(jì)算結(jié)果分析比較 為了驗(yàn)證本計(jì)算模型的有效性，本文利用以上計(jì)算方法，對(duì)一臺(tái) 6 極、9 槽，齒面加兩個(gè)輔助凹槽的永磁無(wú)刷直流電機(jī)的空載氣隙磁場(chǎng)和相繞組感生電動(dòng)勢(shì)進(jìn)行解析計(jì)算，同時(shí)利用二維有限元對(duì)其進(jìn)行計(jì)算，兩者結(jié)果進(jìn)行比較如圖 4所示。圖中氣隙磁密分布波形含有較大的齒波紋，波形上凸處對(duì)應(yīng)齒的位置，波形下凹處對(duì)應(yīng)槽的位置。比較圖 4（a）和（b）的曲線可看出：在氣隙中，不同徑向位置齒槽對(duì)氣隙磁密的影響程度不同，即氣隙中不同徑向位置的相對(duì)比磁導(dǎo)不同，這與前面的分析結(jié)果是一致的。在定子齒邊緣處有限元計(jì)算值較解析計(jì)算值稍大，這是由于在定子齒邊緣處磁場(chǎng)具有聚磁效應(yīng)，使該處的磁密變高，并且氣隙半

13、徑越接近定子齒，這種聚磁效應(yīng)越明顯。上述解析解不能精確考慮聚磁效應(yīng)，除此以外，解析計(jì)算波形其余各點(diǎn)均與有限元結(jié)果相吻合，從圖中可看出本解析計(jì)算結(jié)果與二維有限元計(jì)算結(jié)果吻合較好，可見(jiàn)本解析計(jì)算方法是準(zhǔn)確的、可靠的。 圖 5 為該永磁無(wú)刷直流電機(jī)在 1500r/min 時(shí)，電機(jī)相繞組的感生電動(dòng)勢(shì)波形。上述樣機(jī)為了減小齒槽定位力矩，在定子齒面上加兩個(gè)輔助凹槽，由于齒槽對(duì)氣隙磁場(chǎng)分布的影響使相繞組反電動(dòng)勢(shì)波形中也含有較明顯的波紋。從圖中還可看出解析計(jì)算波形與二維有限元計(jì)算結(jié)果吻合很好。圖 5 中的相繞組電動(dòng)勢(shì)齒波紋會(huì)引起相繞組電樞電流的脈動(dòng)，導(dǎo)致電機(jī)產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)距波動(dòng)。因此電機(jī)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)考慮齒槽結(jié)構(gòu)對(duì)電機(jī)

14、的氣隙磁場(chǎng)和反電動(dòng)勢(shì)的影響，特別是在研究永磁無(wú)刷直流電機(jī)的轉(zhuǎn)矩波動(dòng)和消除轉(zhuǎn)矩波動(dòng)措施時(shí)更應(yīng)該充分考慮這一點(diǎn)。本解析計(jì)算方法可以精確考慮齒槽結(jié)構(gòu)對(duì)空載氣隙磁場(chǎng)和相繞組空載反電勢(shì)的影響，可為電機(jī)設(shè)計(jì)和電機(jī)的精確控制提供可靠的依據(jù)。 6 6 結(jié)論結(jié)論 有限元方法可以精確計(jì)算永磁無(wú)刷直流電機(jī)的磁場(chǎng)分布和相繞組空載感生電動(dòng)勢(shì)波形，但是其復(fù)雜的前處理和較長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間不便于工程設(shè)計(jì)應(yīng)用。本文基于電磁場(chǎng)的分離變量法和許-克變換，建立了考慮齒槽效應(yīng)的永磁電機(jī)氣隙磁場(chǎng)的解析計(jì)算方法。可以簡(jiǎn)捷快速地求解空載氣隙磁場(chǎng)分布及相繞組空載感生電動(dòng)勢(shì)變化波形，并較好地反映了齒槽結(jié)構(gòu)與電機(jī)空載氣隙磁場(chǎng)分布和相繞組空載感生電動(dòng)勢(shì)

15、變化波形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為精確分析計(jì)算電機(jī)的各種工作特性提供了可靠的依據(jù)。參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)1 Boules NPrediction of no-load flux density distribution in PM machinesJIEEE Trans. On Industrial Application，1985，21(4)：IA-21：633-6432 陳陽(yáng)生，林友仰（Chen Yangsheng，Lin Youyang）永磁電機(jī)氣隙磁密的分析計(jì)算（Calculation of air-gap flux density in permanent magnet motors）J中國(guó)電機(jī)工程學(xué)

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