大學(xué)物理振動(dòng)和波

1、 1-1 簡(jiǎn)諧振動(dòng) 1-2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 1-3 簡(jiǎn)諧波 1-4 波的疊加和干涉23機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)：clab k微觀振動(dòng)微觀振動(dòng)： 電磁振蕩電磁振蕩如圖如圖,電荷在電荷在lc電路中往復(fù)運(yùn)動(dòng)電路中往復(fù)運(yùn)動(dòng).物體在其平衡位置附近物體在其平衡位置附近,位移位移x隨時(shí)間隨時(shí)間t 的的周期性變化周期性變化.電磁振動(dòng)電磁振動(dòng)： 電場(chǎng)、磁場(chǎng)等電場(chǎng)、磁場(chǎng)等電磁量電磁量隨隨t周期周期性變化性變化.如晶格上原子的振動(dòng)。如晶格上原子的振動(dòng)。振動(dòng)的分類振動(dòng)的分類1：mglq q4(簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng))振動(dòng)的分類振動(dòng)的分類2： 無(wú)阻尼自由諧振動(dòng)無(wú)阻尼自由諧振動(dòng)無(wú)阻尼自由非諧振動(dòng)無(wú)阻尼自由非諧振動(dòng)阻尼自由振動(dòng)阻尼自由振

2、動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)自由振動(dòng)自由振動(dòng)受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)5一一. . 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)（s.h.v.s.h.v.）: : 1. 定義：定義： 位置坐標(biāo)按余弦位置坐標(biāo)按余弦(或正弦或正弦)規(guī)律隨時(shí)間變化。規(guī)律隨時(shí)間變化。tx，qtx,q q x(t)=acos( t+ ) x(t)=asin( t+ )或或簡(jiǎn)諧振動(dòng)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程( )iti tx taeae也可用復(fù)數(shù)表示：也可用復(fù)數(shù)表示：計(jì)算結(jié)果一般取計(jì)算結(jié)果一般取實(shí)部實(shí)部曲線描述曲線描述toxtaaaa2taxcoscos2xvat2cosxaat tx圖圖tv圖圖ta圖圖taa2a2axvatttaaooott7 等

3、幅等幅、周期性周期性3. 簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)諧振動(dòng)特性特性 最簡(jiǎn)單、最基本。其他復(fù)雜振動(dòng)可分解成諧振動(dòng)最簡(jiǎn)單、最基本。其他復(fù)雜振動(dòng)可分解成諧振動(dòng)的疊加。的疊加。簡(jiǎn)諧振動(dòng)被認(rèn)為是各式周期運(yùn)動(dòng)的基本成分，這簡(jiǎn)諧振動(dòng)被認(rèn)為是各式周期運(yùn)動(dòng)的基本成分，這有兩個(gè)根據(jù)。有兩個(gè)根據(jù)。1.1.數(shù)學(xué)上：數(shù)學(xué)上：傅里葉分析傅里葉分析2.2.物理上：物理上：動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的線性8彈簧振子彈簧振子( (諧振子諧振子) )在彈性恢復(fù)力的在彈性恢復(fù)力的作用下作自由振動(dòng)作用下作自由振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)kxfx 由由kxxm 則則0 xx2 m/k2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程( (特征方程特征方程) )(

4、(加速度與加速度與“位移位移”正比、反向正比、反向) )o ox x二二. . 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程9質(zhì)點(diǎn)作直線諧振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)作直線諧振動(dòng). 對(duì)特征方程對(duì)特征方程 xdtxd222 兩邊同乘以振子質(zhì)量?jī)蛇呁艘哉褡淤|(zhì)量m, 有有 xkxmf2x* 且且*km即即: 作直線諧振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)必受作直線諧振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)必受線性回復(fù)力線性回復(fù)力. 1. 線諧振動(dòng)線諧振動(dòng) k* 有效勁度系數(shù)有效勁度系數(shù) 2. 角諧振動(dòng)角諧振動(dòng) (定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)/小角擺動(dòng)小角擺動(dòng)) 10特征方程特征方程: q q q q222dtd 02 q q q q 或或 同乘以同乘以i：q qq q *kim2 即：角諧振動(dòng)

5、即：角諧振動(dòng) 線性回復(fù)力矩線性回復(fù)力矩, 且且ik* 擺：擺：q qsinmglm 當(dāng)當(dāng)q q 很小很小, sinq q q q 時(shí)時(shí) 單擺單擺 q qmglm 2mlimglk ;*lgik/* mglq qtm11如果物體受到的力是線性回復(fù)力，則可判定物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，如果不是，那么物體不作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。線性回復(fù)力f= - kx的特點(diǎn)如下：1.力力 f 與位移與位移 x 的一次方成正比，這個(gè)就是的一次方成正比，這個(gè)就是“線性線性”的含義；的含義；2.式中負(fù)號(hào)表明力的方向永遠(yuǎn)與位移方向相反，即式中負(fù)號(hào)表明力的方向永遠(yuǎn)與位移方向相反，即力總是指向平衡位置，這個(gè)就是力總是指向平衡位置，這個(gè)就是“回復(fù)回

6、復(fù)”的含義；的含義；3.當(dāng)當(dāng)x=0 時(shí)，力時(shí)，力 f=0，運(yùn)動(dòng)存在一個(gè)平衡位置，在，運(yùn)動(dòng)存在一個(gè)平衡位置，在這個(gè)位置上物體沿振動(dòng)方向不受力。這個(gè)位置上物體沿振動(dòng)方向不受力。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的判據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的判據(jù)3）簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程）簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程0222xtxddtaxcos2）簡(jiǎn)諧振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程）簡(jiǎn)諧振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程1）受力情況）受力情況受到線性回復(fù)力 *fk x 例例：如圖：如圖, 寬闊水面上的柱形浮寬闊水面上的柱形浮體體, 質(zhì)量質(zhì)量m, 水平截面面積為水平截面面積為s, 平衡時(shí)吃水深度平衡時(shí)吃水深度h.試證明它作簡(jiǎn)諧振動(dòng)試證明它作簡(jiǎn)諧振動(dòng). 13解解：寬闊水面：寬闊水面液面不變。取液面不變。取

7、坐標(biāo)系如圖，坐標(biāo)系如圖，sgxgxhsmgfx水水水水 )( 與與x無(wú)關(guān)無(wú)關(guān). sgk水水 *mx-h平衡平衡ox-(h-x)mm偏離平衡位置為偏離平衡位置為x 時(shí)時(shí), 浮體所受合力為浮體所受合力為 xdtxd222 xkdtxdm22* mk/* 得證！得證！14)cos( tax三三. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的參量的參量相位相位頻率頻率振幅振幅 tt2axcos)cos( t2ax初相初相周期周期或或圓 頻 率圓 頻 率(角頻率角頻率)152. 圓頻率圓頻率(角頻率角頻率) 、周期、頻率、周期、頻率描述振動(dòng)系統(tǒng)的描述振動(dòng)系統(tǒng)的固有固有屬性屬性圓頻率圓頻率：t22 (注意注意 和和 的區(qū)別的區(qū)別)

8、(rad/s)mk 也稱為也稱為固有圓頻率固有圓頻率maxx 質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的最大距離質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的最大距離1.振幅：振幅：a 16t1 單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)(hz)頻率頻率：t 完成一次振動(dòng)的時(shí)間完成一次振動(dòng)的時(shí)間(s)周期周期： )(coscosttataxkm22t 也稱為也稱為固有周期固有周期mk21t1 也稱為也稱為固有頻率固有頻率173. 位相位相和和初相初相相位相位(位相位相): tt)(描述描述 t 時(shí)刻的時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)振動(dòng)狀態(tài)(周期變化的物理量變化到周期變化的物理量變化到哪個(gè)階段哪個(gè)階段)cos;sindxxavadt如如 2當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) ax,0 x

9、物體在物體在o點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng) ax,0 x 物體在物體在o點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)32當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) t 0 時(shí)的時(shí)的相位相位初相：初相： 18諧振動(dòng)系統(tǒng)特征量的求法：諧振動(dòng)系統(tǒng)特征量的求法：p諧振動(dòng)系統(tǒng)的諧振動(dòng)系統(tǒng)的角頻率取決于系統(tǒng)的彈性元角頻率取決于系統(tǒng)的彈性元件和質(zhì)量元件件和質(zhì)量元件，因此分析系統(tǒng)的裝置情況一，因此分析系統(tǒng)的裝置情況一般就可以得到角頻率。般就可以得到角頻率。p振幅和初相位則取決于振動(dòng)的初始狀態(tài)振幅和初相位則取決于振動(dòng)的初始狀態(tài)（初始位置和初始速度），因此求振幅和相（初始位置和初始速度），因此求振幅和相位就歸結(jié)為求初始位置和初始速度。位就歸結(jié)為求初始位置和初始速度。22020v

10、xa00tanxv常數(shù)常數(shù) 和和 的確定的確定a000vv xxt初始條件初始條件cos0ax sin0av 對(duì)給定振動(dòng)系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，對(duì)給定振動(dòng)系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件（兩個(gè)）決定振幅和初相由初始條件（兩個(gè)）決定.)sin(tav)cos(tax曲線描述曲線描述toxtaaaa2taxcoscos2xvat2cosxaat tx圖圖tv圖圖ta圖圖taa2a2axvatttaaooott四四. . 諧振系統(tǒng)的能量諧振系統(tǒng)的能量21xdtxd222 由由xdxd2 有有0 xm21m21d222 222xm21m21 簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)

11、械能守恒，各時(shí)刻的機(jī)械能均各時(shí)刻的機(jī)械能均等于起始能量等于起始能量e0 (t 0 時(shí)輸入的能量時(shí)輸入的能量)。動(dòng)能動(dòng)能彈性勢(shì)能彈性勢(shì)能1. 諧振系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能諧振系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能dxddtddtxd22 及及, 同乘以同乘以m2xmktatax )sin()cos(常常量量 eak212*諧振系統(tǒng)中動(dòng)能、勢(shì)諧振系統(tǒng)中動(dòng)能、勢(shì)能間的關(guān)系如右圖：能間的關(guān)系如右圖： 22eepeketxt 由起始能量求振幅：由起始能量求振幅： ke2ke2a0 2. 諧振系統(tǒng)的平均動(dòng)能和平均勢(shì)能諧振系統(tǒng)的平均動(dòng)能和平均勢(shì)能 周期函數(shù)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的平均值在一個(gè)周期內(nèi)的平均值: )()(tfttf tttdt

12、tft1f)(應(yīng)用于諧振動(dòng)：應(yīng)用于諧振動(dòng)：)cos( tax)sin( ta232pkak412eee* ),(cos* tak21e22p),(sin tam21e222k tttkkdttet1e)( tttppdttet1e)(例例1 1：簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體的位移為振幅的一半時(shí)，其動(dòng)能和勢(shì)：簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體的位移為振幅的一半時(shí)，其動(dòng)能和勢(shì)能之比為：能之比為：（a a） 1 1：1 1 ；（b b）1 1：2 2 ；（c c） 3 3：1 1 ；（d d） 2 2：1 1。正確答案：正確答案：（c c）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的總能量為：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的總能量為：221kaeeepk其勢(shì)能為：其勢(shì)能為：其動(dòng)能為：其動(dòng)能為

13、：當(dāng)物體的位移為振幅的一半時(shí)當(dāng)物體的位移為振幅的一半時(shí)eakkxep412212122eeeepk431:3:pkee例例2: 豎直彈簧諧振子豎直彈簧諧振子, 平衡后用恒平衡后用恒力力f 向下拉向下拉0.5m, 撤去撤去f, 此時(shí)此時(shí)t = 0, 已知已知: k = 200n/m, m = 4.0kg, f = 100n, s = 0.5m, 求振動(dòng)方程求振動(dòng)方程. 25osxkmf解解: 如圖，如圖，m作諧振動(dòng)的圓頻率為作諧振動(dòng)的圓頻率為 rad/s0774200mk./ 對(duì)諧振系統(tǒng)對(duì)諧振系統(tǒng)(k, m)用功能原理用功能原理: ;2ka21fs 由由0a22sx00 ;4 得得 諧振動(dòng)方程諧

14、振動(dòng)方程: 0.707cos 7.074xtm7070kfs2a./ 能量守恒能量守恒簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)推導(dǎo)常量222121kxmev0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx例例3: 光滑光滑u型管內(nèi)裝水銀型管內(nèi)裝水銀, 密度為密度為 . 管截面管截面為為s, 使使水銀偏離平衡位置后任其自由振動(dòng)水銀偏離平衡位置后任其自由振動(dòng). 求其往復(fù)振動(dòng)求其往復(fù)振動(dòng)的周期的周期t. 27oxx解解: 如圖如圖, 平衡時(shí)右管中液面坐標(biāo)平衡時(shí)右管中液面坐標(biāo)x = 0, t 時(shí)刻為時(shí)刻為x. 各處水銀質(zhì)元切各處水銀質(zhì)元切向加速度相等向加速度相等 22tdtxdmgs

15、x2f )( mgs2/ 22mtgs五五. . 諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示28)cos(tax 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)矢量矢量 的的端點(diǎn)在端點(diǎn)在 軸上的投軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng). .xa 以以 為為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量量 的端點(diǎn)的端點(diǎn)在在 軸上的軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)動(dòng). .xaoxoacos0ax 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)0t0 x 以以 為為原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矢量量 的端點(diǎn)的端點(diǎn)在在 軸上的軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)動(dòng). .xaoxoatt t)cos(tax時(shí)時(shí) （旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所需的時(shí)間）（旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所需的時(shí)間）2

16、t用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的 圖圖tx旋轉(zhuǎn)矢量表示的優(yōu)越性直觀展示簡(jiǎn)諧振動(dòng)各參量的關(guān)系，便于確定 的象限便于對(duì)兩個(gè)或多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)進(jìn)行比較便于處理簡(jiǎn)諧振動(dòng)疊加問(wèn)題aax2atoabxaa0討論討論 相位差：表示兩個(gè)相位之差相位差：表示兩個(gè)相位之差 . . 1 1）對(duì)對(duì)同一同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差可以給出兩運(yùn)動(dòng)狀態(tài)間變化所需的時(shí)間態(tài)間變化所需的時(shí)間. .)()(12tt)cos(1tax)cos(2tax12tttat3 ttt6123v2abt0 xto同相同相 2 2）對(duì)于兩個(gè)對(duì)于兩個(gè)同同頻率頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差表示它的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，相位差表示它

17、們間們間步調(diào)步調(diào)上的上的差異差異. .（解決振動(dòng)合成問(wèn)題）（解決振動(dòng)合成問(wèn)題）)cos(111tax)cos(222tax)()(12tt12xto為其它為其它超前超前落后落后txo反相反相cos2coscos2taatataxxaaaa2由圖看出：速度超前位移由圖看出：速度超前位移加速度超前速度加速度超前速度2稱兩振動(dòng)稱兩振動(dòng)同相同相3） 方便方便比較不同物理量振動(dòng)步調(diào)比較不同物理量振動(dòng)步調(diào)位移與加速度位移與加速度稱兩振動(dòng)稱兩振動(dòng)反相反相0若若 例例1 1 如圖所示，一輕彈簧的右端連著一物體，彈如圖所示，一輕彈簧的右端連著一物體，彈簧的勁度系數(shù)簧的勁度系數(shù) ，物體的質(zhì)量，物體的質(zhì)量 . .

18、（1 1）把物體從平衡位置向右拉到把物體從平衡位置向右拉到 處停處停下后再釋放，求簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程；下后再釋放，求簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程； 1mn72. 0kg20mm05. 0 xm05. 0 x10sm30. 0v （3 3）如果物體在如果物體在 處時(shí)速度不等于零，處時(shí)速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其運(yùn)動(dòng)方程，求其運(yùn)動(dòng)方程. .2a （2 2）求物體從初位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過(guò)求物體從初位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過(guò) 處時(shí)的處時(shí)的速度；速度；m/ xo0.05ox解解 （1）11s0 . 6kg02. 0mn72. 0mkm05. 0022020 xxav0tan00 xv 0 或a由旋

19、轉(zhuǎn)矢量圖可知由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知 0)cos(tax)s0 . 6cos()m05. 0(1t（1 1）把物體從平衡位置向右拉到把物體從平衡位置向右拉到 處停處停下后再釋放，求簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程；下后再釋放，求簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程； m05. 0 xoxa2a解解 )cos(tax)cos(ta21)cos(axt3 5 3或ta3t由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知tasinv1sm26. 0（負(fù)號(hào)表示速度沿（負(fù)號(hào)表示速度沿 軸負(fù)方向）軸負(fù)方向）ox2a （2 2）求物體從初位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過(guò)求物體從初位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過(guò) 處時(shí)的處時(shí)的速度；速度；解解 m0707. 022020vxa1tan00 xv4 3

20、 4或 oxa4)cos(tax4)s0 . 6cos()m0707. 0(1tm05. 0 x10sm30. 0v （3 3）如果物體在如果物體在 處時(shí)速度不等于零，處時(shí)速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其運(yùn)動(dòng)方程，求其運(yùn)動(dòng)方程. .因?yàn)橐驗(yàn)?，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知400v 例例2 2 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 的物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振的物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振幅為幅為 ，周期為，周期為 ，起始時(shí)刻物體在，起始時(shí)刻物體在kg01. 0m08. 0s4xm04. 0處，向處，向 軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)（如圖）軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)（如圖）. .試求試求ox （1 1） 時(shí)，物體所處的位置

21、和所受的力；時(shí)，物體所處的位置和所受的力； s0 . 1to08. 004. 004. 008. 0m/xv解解m08. 0a1s22to08. 004. 004. 008. 0m/x300vm04. 0, 0 xt代入代入)cos(taxcos)m08. 0(m04. 03a332cos)m08.0(txm08. 0a1s22to08. 004. 004. 008. 0m/xv32cos)m08.0(txs0 . 1t代入上式得代入上式得m069. 0 xxmkxf2)m069.0()2)(kg01.0(2n1070. 13kg01. 0mo08. 004. 004. 008. 0m/xv

22、（2 2）由起始位置運(yùn)動(dòng)到由起始位置運(yùn)動(dòng)到 處所需要處所需要的最短時(shí)間的最短時(shí)間. .m04. 0 x 法一法一 設(shè)由起始位置運(yùn)動(dòng)到設(shè)由起始位置運(yùn)動(dòng)到 處所處所需要的最短時(shí)間為需要的最短時(shí)間為m04. 0 xt32cos)m08.0(m04.0ts23)21(arccosts667. 0s32o08. 004. 004. 008. 0m/x解法二解法二33起始時(shí)刻起始時(shí)刻 時(shí)刻時(shí)刻tt3ts667. 0s32t1s2阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 45能量耗散能量耗散 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)原因原因: 空氣阻力空氣阻力, 摩擦力摩擦力, 電阻電阻, 電磁輻射等電磁輻射等 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng): 低速時(shí)低速時(shí)阻力阻力

23、速度速度: fv阻力系數(shù)阻力系數(shù)阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)特征方程特征方程: 2020 xxx 0 系統(tǒng)系統(tǒng)無(wú)阻尼時(shí)的無(wú)阻尼時(shí)的固有頻率固有頻率, 且且 表示阻尼大小表示阻尼大小 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) 2mmk0* 阻尼項(xiàng)阻尼項(xiàng)46 按特征根按特征根分類分類: 220 弱阻尼弱阻尼: 220220cos()txaet振幅隨振幅隨t t衰減衰減220 臨界阻尼臨界阻尼: ()txabt e, 非周期非周期, 直接回到平衡位置直接回到平衡位置 220 過(guò)阻尼過(guò)阻尼: 222200()()ttxcede非周期非周期, 緩慢趨向平衡位置緩慢趨向平衡位置. 振幅隨振幅隨 t 減小減小,近似具有周期近似具有周期過(guò)阻尼過(guò)

24、阻尼臨界阻尼臨界阻尼弱阻尼弱阻尼xt0受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 47外界周期性驅(qū)動(dòng)外界周期性驅(qū)動(dòng)(交變電動(dòng)勢(shì)交變電動(dòng)勢(shì)) 可使振動(dòng)不衰減可使振動(dòng)不衰減 設(shè)驅(qū)動(dòng)力為設(shè)驅(qū)動(dòng)力為 非齊次微分方程非齊次微分方程 cosftcosmxxkxft101cos()cos()txaetat解解: )cos(tax2202tg222202;()4fam 其中其中 t 時(shí)時(shí), 即即: 系統(tǒng)以外來(lái)驅(qū)動(dòng)力的頻率系統(tǒng)以外來(lái)驅(qū)動(dòng)力的頻率 振動(dòng)振動(dòng)阻尼項(xiàng)阻尼項(xiàng)周期驅(qū)動(dòng)項(xiàng)周期驅(qū)動(dòng)項(xiàng)共振共振 48分析振幅a、相位 : 0時(shí), a 取極大值 位移共振； 222202;()4fam 2202tan例：tacoma大橋(1940.11.7,

25、 4個(gè)月，駐波+共振)同理，可以討論速度共振 1-2. 1-2. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成49 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng). 頻率不變頻率不變, a和和 與分振動(dòng)有關(guān)與分振動(dòng)有關(guān). tax111);cos( tx20 2a2x ax10o 1a1)cos(12212221aa2aaa 11221122sinsincoscosaatgaa(k 0,1,2) 12 振動(dòng)加強(qiáng)振動(dòng)加強(qiáng)! 振動(dòng)減弱振動(dòng)減弱! 一一. . 同方向同方向、同頻率同頻率諧振動(dòng)的合成諧振動(dòng)的合成)cos(222tax )cos( taxxx21122kaaa21aaa1k2 )(11axo 多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)

26、諧運(yùn)動(dòng)的的合成合成2a23a3)cos(taxnxxxx21)cos(111tax)cos(222tax)cos(nnntaxa多多個(gè)個(gè)同同方向方向同同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成合成仍為仍為簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)二二. . 同方向不同頻率的諧振動(dòng)的合成同方向不同頻率的諧振動(dòng)的合成 51a2a1ox 2 1a兩個(gè)同方向、兩個(gè)同方向、不同頻率不同頻率的的 諧諧振動(dòng)合成振動(dòng)合成不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)！ 以同振幅情況為例：以同振幅情況為例： )cos();cos( tax tax2211 t2t2a2xxx121221coscos拍拍(beat)：當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 拍拍21這時(shí)質(zhì)點(diǎn)近似作角頻率這時(shí)質(zhì)點(diǎn)近似

27、作角頻率 的諧振動(dòng)的諧振動(dòng), 212/ )( 但但 振幅隨時(shí)間振幅隨時(shí)間t 緩慢變化緩慢變化. 2ta212/)(cos a2a1a5222t12/ )( 緩緩121222t1 /緩緩拍拍拍頻拍頻: 合振動(dòng)在單位時(shí)間內(nèi)加強(qiáng)合振動(dòng)在單位時(shí)間內(nèi)加強(qiáng)(或減弱或減弱)的次數(shù)的次數(shù) /2t緩三. 相互垂直的諧振動(dòng)的合成 1. 同頻率同頻率 53)cos();cos(2211tay tax 2222212122cos()sin ()xyxyaaa a軌跡方程軌跡方程:5 /43 /27 /4 = 0 /4 /23 /4 pq用用旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矢矢量量描描繪繪振振動(dòng)動(dòng)合合成成圖圖簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧諧運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的合合成成圖圖兩

28、兩相相互互垂垂直直同同頻頻率率不不同同相相位位差差2. 不同頻率不同頻率 561212nn n1, n2為不可約的正整數(shù)為不可約的正整數(shù) 合振動(dòng)周期合振動(dòng)周期: 2211tntnt 軌跡成閉合平面曲線軌跡成閉合平面曲線 李薩如圖形李薩如圖形頻率不成整數(shù)比頻率成整數(shù)比)cos(111tax)cos(222tay1221nn2,83,4,8,0201李李 薩薩 如如 圖圖 形形李薩如圖形與 和 都有關(guān)1n1x方向切線對(duì)圖形方向切線對(duì)圖形切點(diǎn)數(shù)切點(diǎn)數(shù)n2y方向切線對(duì)圖形方向切線對(duì)圖形切點(diǎn)數(shù)切點(diǎn)數(shù)諧振分析（頻譜分析）諧振分析（頻譜分析）一個(gè)周期性振動(dòng)可分解為一系列頻率分立的簡(jiǎn)諧振動(dòng) 58若周期振動(dòng)的頻

29、率為：0 則各分振動(dòng)的頻率為：0， 20， 30，分別稱作基頻，二次諧頻，三次諧頻， xot鋸齒波a03050鋸齒波頻譜圖o59x3otx5ototx0+x1+x3+x5x1x0+ x1x0ot方波的分解t方波xo思考:歌唱家“聲音洪亮,音域?qū)拸V,音色甜美”。各指什么？ 一個(gè)非周期性振動(dòng)可分解為無(wú)限多個(gè)頻率連續(xù)變化的簡(jiǎn)諧振動(dòng) 60阻尼振動(dòng)曲線xo阻尼振動(dòng)頻譜圖o a00sincos)(mmnntmatnatffourier分析：波波 某處的擾動(dòng)以特定規(guī)律在空間傳播某處的擾動(dòng)以特定規(guī)律在空間傳播 能量傳播的一種方式能量傳播的一種方式，t時(shí)刻、時(shí)刻、 附近物理量附近物理量的分布在的分布在t +t

30、時(shí)刻出現(xiàn)在時(shí)刻出現(xiàn)在 的周圍的周圍.rt vr用用波函數(shù)波函數(shù)描寫描寫(特定邊界條件下波動(dòng)方程的解特定邊界條件下波動(dòng)方程的解)分類分類: 按物理量按物理量: 機(jī)械波機(jī)械波(彈性波彈性波), 電磁波電磁波, 物質(zhì)波物質(zhì)波按傳播方式按傳播方式: 縱波縱波, 橫波橫波；按波面：按波面：球面波球面波、柱面波柱面波、平面波平面波 波動(dòng)性波動(dòng)性: 對(duì)對(duì)線性無(wú)吸收媒質(zhì)線性無(wú)吸收媒質(zhì)滿足滿足疊加原理疊加原理 反射反射,折射折射,干涉干涉, 衍射衍射, (橫波橫波: 偏振偏振) 1-3 簡(jiǎn)諧波波源波源介質(zhì)介質(zhì)+彈性作用彈性作用機(jī)械波機(jī)械波一一 機(jī)械波的形成機(jī)械波的形成產(chǎn)生條件：產(chǎn)生條件：1）波源；）波源；2）彈

31、性介質(zhì)）彈性介質(zhì). 波是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的傳播，介質(zhì)的波是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的傳播，介質(zhì)的質(zhì)點(diǎn)并不隨波傳播質(zhì)點(diǎn)并不隨波傳播.注意注意機(jī)械波：機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播機(jī)械波：機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播.真空真空機(jī)械波的傳播機(jī)械波的傳播橫波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向垂直縱波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向平行軟繩軟彈簧波的傳播方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向波的傳播方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向 在機(jī)械波中，橫波只能在固體中出現(xiàn)；縱波可在氣體、液體和固體中出現(xiàn)?？諝庵械穆暡ㄊ强v波。液體表面的波動(dòng)情況較復(fù)雜，不是單純的縱波或橫波。橫波：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向相橫波：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向相垂直垂直的波的波.（僅在固體中傳播（僅在固體中

32、傳播 ）二二 橫波與縱波橫波與縱波 特征：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷特征：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷.縱波：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向互相縱波：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向互相平行平行的波的波.（可在固體、液體和氣體中傳播）（可在固體、液體和氣體中傳播） 特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部.水表面的波水表面的波既非橫波又既非橫波又非縱波非縱波波 前波 面波 線波面波面振動(dòng)相位相同的點(diǎn)連成的面。波前波前最前面的波面。平面波 （波面為平面的波）球面波 （波面為球面的波）波線（波射線）波線（波射線）波的傳播方向。在各向同性媒質(zhì)中，波線恒與波面垂直。波傳播方向波速周期波長(zhǎng)振動(dòng)狀態(tài)完

33、全相同的相鄰兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離。波形移過(guò)一個(gè)波長(zhǎng)所需的時(shí)間。頻率周期的倒數(shù)。波速單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)狀態(tài)（相位）的傳播速度，又稱相速。機(jī)械波速取決于彈性媒質(zhì)的物理性質(zhì)?；蚯蛎娌?、柱面波、平面波球面波、柱面波、平面波: xyz平面波平面波xyz 柱面波柱面波xyz球面波球面波媒質(zhì)中媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)各質(zhì)點(diǎn)的的位移位移都都隨時(shí)間變化隨時(shí)間變化，如何描述？，如何描述？二二. .波函數(shù)波函數(shù)( (波方程波方程) )波函數(shù)波函數(shù) y : : 隨其隨其平衡位置平衡位置 和時(shí)間和時(shí)間t變化的數(shù)學(xué)函數(shù)變化的數(shù)學(xué)函數(shù)r( , )yy x t振動(dòng)方程振動(dòng)方程： 對(duì)對(duì)確定的確定的 , 給出以給出以 為平衡為平衡位置的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)。

34、相應(yīng)的位置的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)。相應(yīng)的 y-t曲線稱為曲線稱為振動(dòng)曲線振動(dòng)曲線 0 x0(, )y x t0 x波形方程波形方程：對(duì)對(duì)確定的確定的 給出給出t0時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位移時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位移 。00, ( , )ty x t注意注意波函數(shù)波函數(shù)與與振動(dòng)方程振動(dòng)方程、波形波形方程方程的區(qū)別！的區(qū)別！相應(yīng)的相應(yīng)的y-x曲線稱為曲線稱為波形曲線波形曲線線性無(wú)吸收媒質(zhì)中的平面簡(jiǎn)諧波線性無(wú)吸收媒質(zhì)中的平面簡(jiǎn)諧波平面簡(jiǎn)諧波平面簡(jiǎn)諧波 波場(chǎng)中波場(chǎng)中各質(zhì)點(diǎn)各質(zhì)點(diǎn)在各時(shí)刻的振動(dòng)方程在各時(shí)刻的振動(dòng)方程均為余弦均為余弦(或正弦或正弦)形式的平面波形式的平面波. 線性無(wú)吸收媒質(zhì)線性無(wú)吸收媒質(zhì)中中, 波不衰減波不衰減! 各質(zhì)

35、點(diǎn)各質(zhì)點(diǎn)振幅相同振幅相同.平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)(波方程波方程)已知某點(diǎn)振動(dòng)情況已知某點(diǎn)振動(dòng)情況 + 描述波的參數(shù)描述波的參數(shù)(如波速如波速)求求媒質(zhì)中任意質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)媒質(zhì)中任意質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng). 各質(zhì)點(diǎn)各質(zhì)點(diǎn)(質(zhì)元質(zhì)元) 都按照都按照波源波源的振動(dòng)規(guī)律振動(dòng)的振動(dòng)規(guī)律振動(dòng) 振動(dòng)相位沿波的傳播方向依次落后振動(dòng)相位沿波的傳播方向依次落后 (, )(0,)py xtytt ?若若t時(shí)刻時(shí)刻x0處有處有0cos()yat00cos()cospxyattatut + txp令令 為為波數(shù)波數(shù), , 有有平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù): :k2u 00( , )coscosxy x tatatkx

36、u其他形式其他形式: : 如如0( , )cos 2txy x tatxytou則則xp點(diǎn)在點(diǎn)在t 時(shí)時(shí)的位移為的位移為注意注意:1. 波函數(shù)的意義波函數(shù)的意義: 是是平衡位置為平衡位置為x的質(zhì)元在的質(zhì)元在t時(shí)刻時(shí)刻對(duì)對(duì)于其于其平衡位置平衡位置的的位移位移.2. 波速波速 媒質(zhì)媒質(zhì), 頻率頻率波源波源. 3. 0的意義：的意義：原點(diǎn)處原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初相位質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初相位4. 區(qū)別區(qū)別波速波速u和質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度振動(dòng)速度v，確定，確定傳播方向傳播方向5. 波速波速u是是相位相位傳播速度傳播速度(相速度相速度). 相速度相速度: 令某令某相位相位在在x，t變化時(shí)變化時(shí)保持不變保持不變, 則則

37、0dtdxk ukkxtdtdxvp 不不變變波動(dòng)方程的一般形式波動(dòng)方程的一般形式 ( (線性無(wú)吸收媒質(zhì)線性無(wú)吸收媒質(zhì)): ):222222( , )2( , )2( , );( , )y x ty x ty x ty x tttx 22222( , )1( , )y x ty x txut滿足該方程都是平面波滿足該方程都是平面波(或多個(gè)簡(jiǎn)諧波的疊加或多個(gè)簡(jiǎn)諧波的疊加).三維三維:222222222( , )( , )( , )1( , )ytytytytxyzutrrrr一維一維: : 對(duì)對(duì) 各求關(guān)于各求關(guān)于x和和t的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)( , )y x t例例:一平面簡(jiǎn)諧波在媒質(zhì)中以一平

38、面簡(jiǎn)諧波在媒質(zhì)中以u(píng)=20m s-1的速度沿直線的速度沿直線傳傳播，已知傳播路徑上某點(diǎn)播，已知傳播路徑上某點(diǎn)a的振動(dòng)方程為的振動(dòng)方程為y = 3cos4 t ，如下圖所示。如下圖所示。(1)如以如以a點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波函數(shù)；點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波函數(shù)；(2)如以距如以距a點(diǎn)為點(diǎn)為5m處的處的b點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波函數(shù)；點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波函數(shù)；(3)寫出圖中寫出圖中c、d點(diǎn)的振動(dòng)方程及振動(dòng)速度表達(dá)式。點(diǎn)的振動(dòng)方程及振動(dòng)速度表達(dá)式。 8m5m9muabcd解：已知解：已知u = 20m/s, = 2s-1, = u/ =10 ma點(diǎn)的振動(dòng)方程為點(diǎn)的振動(dòng)方程為 y = 3cos4 t (1)以以a

39、點(diǎn)為原點(diǎn)的波函數(shù)為點(diǎn)為原點(diǎn)的波函數(shù)為)m)(20 xt(4cos3)uxt(4cos3y (2)已知波的傳播方向由左向右，故已知波的傳播方向由左向右，故b點(diǎn)的相位比點(diǎn)的相位比a點(diǎn)超點(diǎn)超前，其振動(dòng)方程為前，其振動(dòng)方程為)t4cos(3)205t(4cos3yb 以以b點(diǎn)為原點(diǎn)的波函數(shù)為點(diǎn)為原點(diǎn)的波函數(shù)為)5xt4cos(3)ux4t4cos(3y (3)分別將分別將xc = - 8 m, xd = 14 m代入代入b點(diǎn)為原點(diǎn)的波函點(diǎn)為原點(diǎn)的波函數(shù)，得數(shù)，得 到到c點(diǎn)和點(diǎn)和d點(diǎn)的振動(dòng)方程為點(diǎn)的振動(dòng)方程為)m)(59t4cos(3y)m)(513t4cos(3ydc 將上兩式分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得將上

40、兩式分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得c點(diǎn)、點(diǎn)、d點(diǎn)的振動(dòng)點(diǎn)的振動(dòng)速度表達(dá)式速度表達(dá)式)s/m)(59t4cos(12dtdyv)s/m)(513t4cos(12dtdyvddcc 例例: : 如圖如圖, , 已知兩個(gè)不同時(shí)刻的波形曲線已知兩個(gè)不同時(shí)刻的波形曲線, , 試確定試確定其傳播方向其傳播方向. . t 0 xyt 3t/4t 0ot 3t/4解解: : 旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法或：波形沿傳播方或：波形沿傳播方向傳播距離向傳播距離tttux 4t3 的時(shí)間內(nèi)，的時(shí)間內(nèi)，43x y(x = 0處處) 傳播方向向右傳播方向向右x(m)y (cm)o1050.10.40.71.01.3t = 0u = 1.2

41、 102 m/s例例: 已知已知t = 0時(shí)的平面余時(shí)的平面余弦波波形如圖弦波波形如圖, 求求:1)波方程波方程, 2)t = 0.0025s時(shí)的波形時(shí)的波形3)x = 0.6m處的質(zhì)元振動(dòng)曲線處的質(zhì)元振動(dòng)曲線. 解解: (1) 設(shè)波方程設(shè)波方程( , )cos 2/y x tatx 由圖得由圖得hz100u1.2m,=m,10a /.3 (0,0)cos2aya( , )(0,0)2sin0(0,0)y x tvat( , )0.1cos 2100 1.23xy x tt圖中圖中 處最大處最大, 故該點(diǎn)振動(dòng)方程為故該點(diǎn)振動(dòng)方程為: m01x0t. 時(shí)時(shí)，( , )cos(2)y x tat對(duì)

42、任一對(duì)任一x, 波方程為波方程為 3521xt1002a .cos2( , )cos 2cos 2x xxxy x tatatuu方法二方法二: (2) 求求 時(shí)的波形時(shí)的波形s00250t. ( , )0.1cos2 (100/1.2)/3y x ttxx(m)y /6oo2 /3y(cm)101.00.4-0.18.7x1t = 0.0025s)/./cos(.621x210 m60 x. (3) 求求 處質(zhì)元的振動(dòng)曲線處質(zhì)元的振動(dòng)曲線( , )0.1cos(2002/ 3)y x tt波形圖：波形圖：t(s)y(cm)o5t/12=4.17 10-2-10-511t/12 =9.17 1

43、0-2 現(xiàn)象：若將一軟繩（彈性媒質(zhì)）劃分為多個(gè)小單元（體積元）上下抖動(dòng)振速 最小振速 最大形變最小形變最大時(shí)刻波形在波動(dòng)中，各體積元產(chǎn)生不同程度的 彈性形變，具有 彈性勢(shì)能未起振的體積元各體積元以變化的振動(dòng)速率 上下振動(dòng)， 具有振動(dòng)動(dòng)能 理論證明: 當(dāng)媒質(zhì)中有 波傳播時(shí)，媒質(zhì)中一個(gè)體積元在作周期性振動(dòng)的過(guò)程中，其彈性勢(shì)能 和振動(dòng)動(dòng)能 同時(shí)增大、同時(shí)減小，而且其量值相等 ，即 。波的能量波的能量1.能量密度（單位體積媒質(zhì)中波的能量） 可見(jiàn)，波動(dòng)過(guò)程是媒質(zhì)中各體積元不斷地從與其相鄰的上一個(gè)體積元接收能量，并傳遞給與其相鄰的下一個(gè)體積元的能量傳播過(guò)程過(guò)程。振動(dòng)速度體積元 的動(dòng)能勢(shì)能總量能設(shè) 一平面簡(jiǎn)

44、諧波媒質(zhì)密度處取體積元體積元的質(zhì)量在能量密度lim平均能量密度是在一周期內(nèi)的時(shí)間平均值。 單位： 焦耳 米（ j m 3 ）能流、能流密度2.能流 和 能流密度平均能流 一周期內(nèi)垂直通過(guò)某截面積 s 的能量的平均值單位：瓦 ( w )能流密度（波的強(qiáng)度）垂直通過(guò)單位截面積的平均能流 單位：瓦米-2( w m 2 )振動(dòng)狀態(tài)以波速 u 在媒質(zhì)中傳播 體積元的能量取決于其振動(dòng)狀態(tài)能量以波速 u 在媒質(zhì)中傳播能流 單位時(shí)間垂直通過(guò)的某截面積 s 的能量psupsu2212apuiusu3. 各向同性均勻無(wú)吸收媒質(zhì)中波的振幅變化 s1s2s1s2, a1a2s1s2s2s1rars/1 ,rars/1

45、 ,2平面波平面波柱面波柱面波球面波球面波以以平面波為例：平面波為例：21ww 由由21aa 得得usauswsiw2212, 12, 12, 12, 121 平面波在媒質(zhì)不吸收的情況下平面波在媒質(zhì)不吸收的情況下, , 振幅不變。振幅不變。4. 波的吸收i0iioxx波在傳播中的能量損耗波在傳播中的能量損耗對(duì)對(duì)線性媒質(zhì)線性媒質(zhì)，設(shè)入射波強(qiáng)，設(shè)入射波強(qiáng)i0，透射透射dx距離，距離，波強(qiáng)改變波強(qiáng)改變di, , idxdi( (指數(shù)衰減指數(shù)衰減! !）dxidi分離變量法求解：分離變量法求解：xeii0 媒質(zhì)的媒質(zhì)的吸收系數(shù)吸收系數(shù)，與，與物性物性和和波頻率波頻率有關(guān)有關(guān)對(duì)確定物質(zhì)，對(duì)確定物質(zhì)， 或

46、或 色散色散、濾色濾色)()(k如濾色鏡、交通燈顏色、衛(wèi)星通訊頻率如濾色鏡、交通燈顏色、衛(wèi)星通訊頻率 在彈性介質(zhì)中傳播的機(jī)械縱波，一般統(tǒng)稱為聲波在彈性介質(zhì)中傳播的機(jī)械縱波，一般統(tǒng)稱為聲波. 可聞聲波可聞聲波 20 20000 hz次聲波次聲波低于低于20 hz 超聲波超聲波高于高于20000 hz 聲強(qiáng)：聲強(qiáng)：聲波的能流聲波的能流密度密度.聲波和超聲波聲波和超聲波0lgiili 貝爾（貝爾（b） 聲強(qiáng)級(jí)：聲強(qiáng)級(jí)：人們規(guī)定聲強(qiáng)人們規(guī)定聲強(qiáng) （即相（即相當(dāng)于頻率為當(dāng)于頻率為 1000 hz 的聲波能引起聽(tīng)覺(jué)的最弱的聲強(qiáng)）的聲波能引起聽(tīng)覺(jué)的最弱的聲強(qiáng)）為測(cè)定聲強(qiáng)的標(biāo)準(zhǔn)為測(cè)定聲強(qiáng)的標(biāo)準(zhǔn). 如某聲波的聲

47、強(qiáng)為如某聲波的聲強(qiáng)為 i ， 則比值則比值 的對(duì)數(shù)，叫做相應(yīng)于的對(duì)數(shù)，叫做相應(yīng)于 i 的聲強(qiáng)級(jí)的聲強(qiáng)級(jí) li .2120mw10i0ii聲強(qiáng)：聲強(qiáng)：聲波的能流密度聲波的能流密度.能夠引起人們聽(tīng)覺(jué)的聲強(qiáng)范圍：能夠引起人們聽(tīng)覺(jué)的聲強(qiáng)范圍：0lg10iili分貝（分貝（ db ）2212w/m1w/m10聲源聲源聲強(qiáng)聲強(qiáng)w/m2聲強(qiáng)級(jí)聲強(qiáng)級(jí)db響度響度引起痛覺(jué)的聲音引起痛覺(jué)的聲音1120鉆巖機(jī)或鉚釘機(jī)鉆巖機(jī)或鉚釘機(jī)10-2100震耳震耳交通繁忙的街道交通繁忙的街道10-570響響通常的談話通常的談話10-660正常正常耳語(yǔ)耳語(yǔ)10-1020輕輕樹(shù)葉的沙沙聲樹(shù)葉的沙沙聲10-1110極輕極輕引起聽(tīng)覺(jué)的

48、最弱聲音引起聽(tīng)覺(jué)的最弱聲音10-120一. 惠更斯原理 任一點(diǎn)振動(dòng)任一點(diǎn)振動(dòng) 鄰近各點(diǎn)振動(dòng)鄰近各點(diǎn)振動(dòng) 各點(diǎn)都可視為新波源各點(diǎn)都可視為新波源, 發(fā)球面波發(fā)球面波.惠更斯原理惠更斯原理: 媒質(zhì)中波動(dòng)傳到的媒質(zhì)中波動(dòng)傳到的各點(diǎn)各點(diǎn), 都可以看作是都可以看作是發(fā)射子波的波源發(fā)射子波的波源, 在其后的任一時(shí)刻在其后的任一時(shí)刻, 這些這些子波的包子波的包絡(luò)面絡(luò)面就決定了新的波陣面就決定了新的波陣面. christian huygens, (荷荷),1690 平面波平面波:球面波球面波:可可定性定性解釋波的衍射、反射和折射解釋波的衍射、反射和折射1-4. 波的疊加和干涉二. 波的衍射(繞射)波傳播中遇到有

49、限大障礙物波傳播中遇到有限大障礙物 (或大障礙物中的孔隙或大障礙物中的孔隙) 繞過(guò)邊緣繞過(guò)邊緣, 傳播方向彎曲傳播方向彎曲(障礙物或孔隙邊緣的背后衍展障礙物或孔隙邊緣的背后衍展)三. 波的反射和折射兩種媒質(zhì)的界面兩種媒質(zhì)的界面 反射反射和和折射折射.對(duì)各向同性的媒質(zhì)對(duì)各向同性的媒質(zhì), 有有波的波的反射定律反射定律:ii12 入射線、反射線和界面法線共面入射線、反射線和界面法線共面 入射角等于反射角入射角等于反射角, i = i波的波的折射定律折射定律: 入射線、反射線和界面法線共面入射線、反射線和界面法線共面 入射角和反射角正弦值之比等于相應(yīng)波速之比入射角和反射角正弦值之比等于相應(yīng)波速之比12

50、12sinsinuinun21 相對(duì)折射率相對(duì)折射率i123. 不足之處：未涉及振幅，相位等的分布規(guī)律。不足之處：未涉及振幅，相位等的分布規(guī)律。一. 波的疊加原理線性波線性波相遇相遇: : 各波各波保持原有特性保持原有特性( (如如 , , , , 振動(dòng)方向等振動(dòng)方向等), ), 并并沿各自的傳播方向繼續(xù)前進(jìn)沿各自的傳播方向繼續(xù)前進(jìn)（波的獨(dú)立性）。（波的獨(dú)立性）。 在交疊區(qū)在交疊區(qū): :質(zhì)元質(zhì)元合振動(dòng)合振動(dòng) 各波各波分振動(dòng)的矢量疊加分振動(dòng)的矢量疊加. .數(shù)學(xué)數(shù)學(xué): 線性波動(dòng)方程的幾個(gè)解之和仍是該方程的解線性波動(dòng)方程的幾個(gè)解之和仍是該方程的解.二. 波的干涉現(xiàn)象幾列波的交疊區(qū)中幾列波的交疊區(qū)中,

51、 質(zhì)元的合振動(dòng)出現(xiàn)質(zhì)元的合振動(dòng)出現(xiàn)強(qiáng)弱強(qiáng)弱(振幅振幅)隨位置不同而異隨位置不同而異的的穩(wěn)定穩(wěn)定圖象圖象.三. 波的干涉1. 波的相干條件波的相干條件 頻率頻率相同相同; 振動(dòng)方向振動(dòng)方向相同相同; 分振動(dòng)的分振動(dòng)的相位差相位差恒定恒定.從觀察角度還要求：從觀察角度還要求： 各分振動(dòng)各分振動(dòng)振幅相差不太大振幅相差不太大.相干波源相干波源2. 兩列簡(jiǎn)諧波的干涉兩列簡(jiǎn)諧波的干涉如圖，兩如圖，兩相干波源相干波源 ，21ss ,pr1r2s1,y1s2,y221rr ,經(jīng)經(jīng) 在在p點(diǎn)相遇點(diǎn)相遇波程波程：幾何距離：幾何距離 或或1r2r波程差波程差：12rr 相位差相位差波源波源s1, s2的振動(dòng)方程的振

52、動(dòng)方程:111222coscosyatyat兩波在兩波在p點(diǎn)相遇，引起的振動(dòng)方程分別為：點(diǎn)相遇，引起的振動(dòng)方程分別為：pr1r2s1,y1s2,y21111cos 22ryat2222cos 22ryatp點(diǎn)相遇，質(zhì)點(diǎn)的合振動(dòng)方程：點(diǎn)相遇，質(zhì)點(diǎn)的合振動(dòng)方程：12cos()yyyat 兩列波在兩列波在p點(diǎn)的點(diǎn)的相位差相位差: 1212rr2 合振幅合振幅: cos212221aa2aaa 波的強(qiáng)度波的強(qiáng)度 a2 cos2121ii2iii 其中其中i1, i2為為s1, s2單獨(dú)單獨(dú)發(fā)出的波強(qiáng)。發(fā)出的波強(qiáng)。可見(jiàn)可見(jiàn):)2 , 1 , 0( ,2kk 滿足滿足的點(diǎn)，的點(diǎn)，振幅振幅(強(qiáng)度強(qiáng)度)最大：

53、最大：21aaa2121ii2iii 相干極大相干極大 滿足滿足的點(diǎn)，的點(diǎn)，)2 , 1 , 0( ,) 12(kk振幅振幅(強(qiáng)度強(qiáng)度)最?。鹤钚。?1aaa2121ii2iii 相干極小相干極小pr1r2s1, 1s2, 2 p點(diǎn)處波強(qiáng)：點(diǎn)處波強(qiáng)： 從能量上看，兩波干涉從能量上看，兩波干涉時(shí)，在兩波交疊區(qū)域，合成時(shí)，在兩波交疊區(qū)域，合成波在空間各處的強(qiáng)度并不等波在空間各處的強(qiáng)度并不等于兩個(gè)分波強(qiáng)度之和，而是于兩個(gè)分波強(qiáng)度之和，而是發(fā)生重新分布。這種新的強(qiáng)發(fā)生重新分布。這種新的強(qiáng)度分布是度分布是時(shí)間上穩(wěn)定、空間時(shí)間上穩(wěn)定、空間上強(qiáng)弱周期性相間上強(qiáng)弱周期性相間的分布。的分布。特例特例:aaa21 0i0a minmin0i4ia2a maxmax干涉相長(zhǎng)干涉相長(zhǎng)干涉相消干涉相消一. 駐波的波函數(shù)入射波：入射波：兩列兩列傳播方向相反傳播方向相反的的相干波相干波的疊加的疊加.四. 駐波振幅隨位置變化振幅隨位置變化振動(dòng)振動(dòng)11( , )cos2 ()ty x taxt22( , )cos2 ()tyx taxt2112( , )cos(2)cos(2)22xytxttaxt = t/8xt = 3t/8xt = t/4 存在存在波節(jié)波節(jié)和和波波腹腹