高等數(shù)學(xué)第7章微分方程解答

1、習(xí)題7-2 可分離變量的微分方程1求下列微分方程的通解：（1）；解 原方程為，分離變量得 兩端積分得，（C為任意常數(shù)）即為原方程的通解。（2）；解 將原方程分離變量，得 兩端積分得 或 故原方程的通解為（C為任意常數(shù)）。2、求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：（1）；解 將原方程分離變量，得 兩端積分得， 即 故原方程的通解為,代入初始條件,得.于是,所求之特解為.（2）解 將原方程分離變量，得 兩端積分得， 即 故原方程的通解為,代入初始條件,得.于是,所求之特解為.3、一曲線通過(guò)點(diǎn)（2,3），它在兩坐標(biāo)軸間的任一切線線段均被切點(diǎn)所平分，求這曲線方程.解 設(shè)曲線方程為,切點(diǎn)為.由條件,切線

2、在x軸與y軸上的截距分別為2x與2y,于是切線的斜率,分離變量得,積分得,即.代入初始條件,得,故曲線方程為.習(xí) 題 7-3 齊次方程 1、求下列齊次方程的通解 （1）解 (a) 當(dāng)時(shí),可將方程改寫(xiě)成.令,即,所以有.則原方程成為.分離變量,得.兩邊積分得,即.將代入上式整理,得通解為;(b) 當(dāng)時(shí),方程兩邊同除以,則原方程可改寫(xiě)成,即(因?yàn)闀r(shí),),也就是.與x0的情況一樣)所以,對(duì)任意的,方程的通解為(C為任意常數(shù)).（注:如果C=0,則由原方程知,即或,若,則原方程變?yōu)?只有當(dāng)時(shí)成立;若(A為常數(shù)),則原方程變成,當(dāng)A0時(shí)方程有解.）（2）解 原方程可改寫(xiě)成.令,即,所以有.則原方程成為.

3、分離變量,得.兩邊積分得,即.將代入上式,得通解為(C為任意常數(shù)).2. 求齊次方程滿足所給初始條件的特解解 原方程可寫(xiě)成.令,即,有,所以原方程成為.分離變量,得,積分得,即代入并整理,得通解為.由初始條件,得.于是所求特解為.習(xí) 題 7-4 一階線性微分方程1、求下列微分方程的通解（1） （2） （3）.解 (1) 由通解公式得,原一階線性微分方程的通解為(2) 將原方程改寫(xiě)成.由通解公式得,原一階線性微分方程的通解為 .(C為任意常數(shù))(3) 將原方程改寫(xiě)成,由一階線性微分方程的通解公式得,通解為.即 .(C為任意常數(shù))(注: ,當(dāng)時(shí),去掉絕對(duì)值即得上述解答過(guò)程.而當(dāng)時(shí),則與上述結(jié)果一樣

4、)2、求微分方程滿足所給初始條件的特解。解 由一階線性微分方程的通解公式得,通解為.代入初始條件x=0,y=0得C=0.故所求特解為 .3、求一曲線的方程，這曲線通過(guò)原點(diǎn)，并且它在點(diǎn)處的切線斜率等于。解 設(shè)曲線方程為,由題目條件得,即由一階線性微分方程的通解公式得, 由初始條件得.故所求曲線的方程為 .4、用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將微分方程化為可分離變量的方程，然后求出通解。解 令,則,且原方程變?yōu)?分離變量得.兩邊積分得,即.代入,得原方程的通解為(C為任意常數(shù)).習(xí) 題 7-4 可降階的高階微分方程1、求下列微分方程的通解 （1）解 ，(C1,C2為任意常數(shù)) （2）解 令，則，且原方程化為，分離

5、變量，得。兩邊積分得，即，也就是。兩邊再積分，得原方程的通解為。(C1,C2為任意常數(shù))（3）解 令，則，且原方程化為，當(dāng)時(shí)，有。分離變量，得兩邊積分得，即，即 。兩邊積分得所以原方程的通解為。(C1,C2為任意常數(shù))（注：如果p=0，則y為常數(shù)函數(shù)，也是原方程的解?。?、求微分方程滿足所給初始條件的特解。 解 令，則，且原方程化為，分離變量，得，兩邊積分得。代入初始條件，得。從而有，即兩邊再積分得 。代入初始條件，得，故所求特解為。3、試求的經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在此點(diǎn)與直線相切的積分曲線。解 因?yàn)橹本€在（0，1）處的切線斜率為，由題目條件知，所求積分曲線是初值問(wèn)題：的解。對(duì)兩邊積分得，。代入初始條件，得

6、。從而有。兩邊再積分得 。代入初始條件，得，故所求積分曲線的方程為。習(xí) 題 7-6 常系數(shù)齊次線性微分方程1、求下列微分方程的通解（1） （2）（3） （4）.解 (1) 特征方程為,特征根為,故方程的通解為 (為任意常數(shù)).（2）特征方程為,特征根為,故方程的通解為 (為任意常數(shù)).（3）特征方程為,特征根為,故方程的通解為 (為任意常數(shù)).(4) 特征方程為,即,所以特征根為,故方程的通解為(為任意常數(shù)).2、求微分方程滿足所給初始條件的特解。解 解特征方程，得特征根為。故方程的通解為，且有。代入初始條件，解得。故所求的特解為。習(xí) 題 7-6 常系數(shù)非齊次線性微分方程1、求下列微分方程的通

7、解（1）解 特征方程為,特征根為,故對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為.又不是特征方程的根,令是原方程的一個(gè)特解,代入原方程得,消去,可得,即.所以原方程的通解為(為任意常數(shù)).（2）解 特征方程為,特征根為,故對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為.又是特征方程的單根,設(shè)是原方程的一個(gè)特解,代入原方程并整理得,比較系數(shù)得,即.所以原方程的通解為(為任意常數(shù)).（3）解 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，解得，故對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為因是特征方程的單根，故可設(shè)是原方程的一個(gè)特解，代入方程并消去得，比較系數(shù)，得，即 。故原方程的通解為(C1,C2為任意常數(shù))。2、求微分方程滿足所給初始條件的特解。解 因?yàn)樘卣鞣匠痰奶卣鞲鶠?故對(duì)應(yīng)

8、的齊次方程的通解為.因不是特征方程的根,故可設(shè)是原方程的一個(gè)特解,代入方程得,即.于是原方程的通解為且有.代入初始條件,有解得所以,滿足初始條件的特解為.3、設(shè)函數(shù)連續(xù)，且滿足 ，求。解 由所給方程可得，在該方程兩端對(duì)x求導(dǎo)，得，即 （1）將x=0代入方程（1）得。又在方程（1）的兩端對(duì)x求導(dǎo)，得令，則有初值問(wèn)題 （2）上述二階線性常系數(shù)非齊次微分方程的特征方程為，解得，而不是特征方程的根，故令是方程（2）得特解，代入方程（2）并消去，得。于是方程（2）有通解且有。代入初始條件，有，即。于是得。復(fù)習(xí)題七1、 求微分方程，滿足所給初始條件的特解。解 所給方程為可分離變量的微分方程。分離變量得兩端

9、積分得，即。代入初始條件，有，所以，于是即是所求之特解。2、求下列齊次方程的通解（1）； （2）.解：原方程可改寫(xiě)，令，則，分離變量，得 ，兩端積分 ，將代入并化簡(jiǎn)，得通解.（2）原方程可改寫(xiě)成.令,即,所以有.代入原方程得,整理并分離變量,得.兩邊積分得,即,也就是.將代入上式,得原方程的通解為 (C為任意常數(shù))3、求微分方程，滿足所給初始條件的特解：解：令，則，分離變量得 ，兩端積分，得，將代入并化簡(jiǎn)，得通解，由初始條件，求得，所求特解為.4、設(shè)有連接點(diǎn)和的一段向上凸的曲線弧，對(duì)于上任一點(diǎn)，曲線弧與直線段所圍圖形的面積為，求曲線弧的方程.解：設(shè)所求曲線方程為，由題意，等式兩邊對(duì)求導(dǎo)有，整理得微分方程，此訪程為一階線性非齊次方程，由通解公式，得通解為，又由曲線過(guò)，可知，故所求曲線方程為 5、求下列微分方程的通解（1）；解 （2）.解 6、用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將方程化為可分離變量的方程，然后求出通解。7、求下列微分方程的通解：（1）；解 （2）解 令,則,原方程化為.分離變量,得.兩邊積分得,故又分離變量,得.當(dāng)時(shí),原方程為.兩邊積分得.即,兩邊平方得(其中);當(dāng)時(shí),原方程為.兩邊積分得.即,兩邊平方得(其中);綜上討論知,原方程的通解為 (為不等