二元函數(shù)中值定理的簡單應(yīng)用

1、目 錄一、引言 1二、主要定理的證明、應(yīng)用 12.1二元函數(shù)中值定理的第一種形式 1 2.11定理及推論的證明1 2.12定理及推論的應(yīng)用22.2二元函數(shù)中值定理的第二種形式 5 2.21定理及推論的證明5 2.22定理及推論的應(yīng)用52.3二元函數(shù)中值定理的不等式形式6 2.31定理及推論的證明6 2.32定理及推論的應(yīng)用8三、結(jié)論 9四、參考文獻(xiàn) 9五、致謝 9二元函數(shù)中值定理的簡單應(yīng)用內(nèi)容摘要給出了二元函數(shù)中值定理的三種不同形式：含一個(gè)參變量型、含兩個(gè)參變量型和不等式型.在每一種形式下我們都給出主要定理的證明，充分了解定理的生成以及內(nèi)容.此外，在就給出的定理的各種形式以及他們的推論加以推廣

2、、運(yùn)用，得到許多在多元函數(shù)中得到廣泛運(yùn)用的重要定理.關(guān)鍵詞：二元函數(shù) 中值定理一、引言 我們知道，一元函數(shù)的中值定理是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要定理，他深刻的揭示了函數(shù)在某些區(qū)間上的增量與函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)及區(qū)間的長度之間的關(guān)系，是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，本文將中值定理推廣到二元函數(shù)（多元函數(shù)的代表），并利用最基本的公式、定理證明一些重要的結(jié)論和定理.二、主要定理的證明、應(yīng)用2.1二元函數(shù)中值定理的第一種形式2.11定理及推論的證明定理1 若二元函數(shù)在點(diǎn)的鄰域存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，則，全改變量 其中證明：顯然，若點(diǎn)，則點(diǎn)與，且連接兩點(diǎn)與或與的線段也屬于，如圖1,為此，將全改變量改寫為如下形式：

3、圖1 上述等式右端第一個(gè)方括號內(nèi)，是常數(shù)，只是由變到；第二個(gè)方括號內(nèi)是常數(shù)，只是由變到.根據(jù)一元函數(shù)中值定理，有 其中2.12 定理及推論的應(yīng)用定理2 若二元函數(shù)在點(diǎn)的鄰域存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，且兩個(gè)偏數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則二元函數(shù)在點(diǎn)可微.證明：（利用二元函數(shù)中值定理），根據(jù)定理，將全改變量寫為： 其中已知偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)，有 從而有 或 于是， 即函數(shù)在點(diǎn)可微.注：偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是二元函數(shù)可微的充分條件，而不是必要條件.定理3 若二元函數(shù)在以點(diǎn)為中心的矩形區(qū)域（邊界平行坐標(biāo)軸）滿足下列條件：1) 與在連續(xù)（從而在連續(xù)）；2) ；3) .則：1) 與，存在唯一一個(gè)（隱函數(shù)）使，且.2) 在區(qū)間連續(xù).3) 在區(qū)間有

4、連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且.證明：1) 的證明未涉及到本文提到的二元函數(shù)中值定理，故略之，直接用其結(jié)論.2) 隱函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，只需證明，函數(shù)在連續(xù)，已知與閉區(qū)間連續(xù).且.則在有上界，在有下界.即與，有 與給自變量該變量，使，相應(yīng)的有函數(shù)的該變量，即 或且 ，已知 與a)根據(jù)二元函數(shù)中值定理，有， （1）其中，將(1)式改寫為 有 于是 即隱函數(shù)在連續(xù)，從而在連續(xù).3) 隱函數(shù)在區(qū)間有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，由（1）式，有 其中.已知在連續(xù)，從而當(dāng)時(shí)，有，又可知與在連續(xù)，有 即隱函數(shù)在區(qū)間有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 注：為使層次分明，定理2的結(jié)論分為三部分，實(shí)際上，這三部分可以合并，敘述以下更加簡明的形式“則存在點(diǎn)的鄰域，在存在唯一

5、一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)，使，且.2.2二元函數(shù)中值定理的第二種形式2.21定理及推論的證明定理4 設(shè)二元函數(shù)在凸區(qū)域上連續(xù)，在所有的內(nèi)點(diǎn)都可微，則對內(nèi)任意兩點(diǎn)存在某使得 （2）證明：令 它是定義在上的一元函數(shù)，由定理中的條件知在上連續(xù)，在可微，于是根據(jù)一元函數(shù)中值定理，存在使得 （3）由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則， （4）由于是凸區(qū)域，所以故由（3）、（4）即得所要證的（2）式.2.22 定理及推論的應(yīng)用定理5（中值定理的推論） 若二元函數(shù)二元函數(shù)在凸區(qū)域上存在偏導(dǎo)數(shù)，且，則在區(qū)域上是常函數(shù).證明：因?yàn)槭菂^(qū)域存在一條完全屬于的折線將連接，不妨設(shè)這折線的轉(zhuǎn)接點(diǎn)依次是： （記）不失一般性，可以使這些點(diǎn)適當(dāng)

6、的接近，從而使折線段 也全部在區(qū)域內(nèi)，因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù)，且故利用中值定理 其中.從而有 同理推得, 將點(diǎn)確定在中隨意選取上式均成立，由此得證結(jié)論成立.例1 通過對施用中值定理，證明對某有 解：二元函數(shù)在上連續(xù)且可微，由中值定理知，對內(nèi)兩點(diǎn)及，有 即，2.3二元函數(shù)中值定理的不等式形式2.31定理推論的證明定理6 設(shè)二元函數(shù)在凸區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，沿任意方向的方向?qū)Т嬖谝恢掠薪?，即存在使得則對內(nèi)任意兩點(diǎn)有 其中 （5）為證這個(gè)定理，先敘述一個(gè)引理.引理 設(shè)二元函數(shù)在凸區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)存在，在點(diǎn)沿方向連續(xù).證明:設(shè)為上的點(diǎn)（含于內(nèi)），則由令便得結(jié)論.定理的證明：圖2 對任意 先證 （6

7、）然后在（6）式取極限 （先固定）便可得（1）.用反證法（6）式，假設(shè)存在內(nèi)點(diǎn)使 （7）則把線段上各點(diǎn)按到點(diǎn)的距離大小排列，線段上任意兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)降木嚯x小于到的距離時(shí)，就記為從而可令 由引理，沿方向連續(xù)，故有且 如圖2.對 在沿方向?qū)?shù)矛盾.所以，類似可證（6）式左邊，從而(5)式成立.推論 設(shè)二元函數(shù)在凸區(qū)域的內(nèi)任意一點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)存在且一致有界，即存在使則對任意兩內(nèi)點(diǎn)有, 2.32定理及推論的應(yīng)用定理7（連續(xù)性充分條件） 若二元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)的點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)一致有界，則在內(nèi)連續(xù).證明：對，有推論使 取當(dāng)時(shí)， 所以，在點(diǎn)的鄰域連續(xù).定理8 設(shè)二元函數(shù)在凸區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)沿任意

8、方向的方向?qū)?shù)存在且一致有界，則在內(nèi)一致連續(xù).證明：設(shè)在內(nèi)任意一點(diǎn)（m為正常數(shù)）則取只要便有 故在內(nèi)一致連續(xù).結(jié)論通過本文，我們了解了二元函數(shù)中值定理的三種不同形式：含、兩個(gè)參變量、含一個(gè)參變量以及不等式形式.二元函數(shù)作為一元函數(shù)向多元函數(shù)的過渡，在我們學(xué)習(xí)了一元函數(shù)中值定理之并領(lǐng)略其重要作用后，利用二元函數(shù)作為多元代表，進(jìn)一步去研究中值定理在多元函數(shù)中的作用.在本文中，我們粗略的給出定理的應(yīng)用，但是已經(jīng)能夠窺知中值定理，這一偉大的定理在研究多元函數(shù)起著舉足輕重的作用.參考文獻(xiàn)1同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)研究室. 高等數(shù)學(xué)(第三版)m. 北京：高等教育出版社，1988.2t.m菲赫金哥爾茨,北京大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室. 微積分教程m. 北京：人民教育出版社，1956.3華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析（第二版）m. 北京：高的教育出版社，1991.4華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析（第三版）m. 北京：高的教育出版社，2001.5朱正佑. 數(shù)學(xué)分析m. 上海：上海大學(xué)出版社，200