2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第四節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)學(xué)案含解析新人教B版

1、- 1 -第四節(jié)第四節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)最新考綱考情分析1.了解冪函數(shù)的概念2結(jié)合函數(shù)yx，yx2，yx3，y1x，y的圖象，了解它們的變化情況3 理解并掌握二次函數(shù)的定義、 圖象及性質(zhì)4能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.1.冪函數(shù)一般不單獨(dú)命題，而常與指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)交匯命題，題型一般為選擇題、填空題，主要考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)2對(duì)二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的考查是命題熱點(diǎn)，大多以選擇題、填空題出現(xiàn)3試題難度以中、低檔題為主，個(gè)別試題難度較大.知識(shí)點(diǎn)一二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)- 2 -1.二次函數(shù)解析式的三種形式：(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)頂點(diǎn)式：f

2、(x)a(xm)2n(a0)；(3)零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2一元二次不等式恒成立的條件：(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要條件是“a0 且0”；(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要條件是“a0 且0 時(shí)，冪函數(shù)yxn在(0，)上是增函數(shù)()(3)二次函數(shù)yax2bxc(xr r)不可能是偶函數(shù)()(4)二次函數(shù)yax2bxc(xa，b)的最值一定是4acb24a.()解析：(1)由于冪函數(shù)的解析式為f(x)x，故y不是冪函數(shù)，(1)錯(cuò)(3)由于當(dāng)b0 時(shí)，yax2bxcax2c為偶函數(shù)，故(3)錯(cuò)- 4 -(4)對(duì)稱(chēng)軸xb2a，當(dāng)b2a小于a或大于b時(shí)，最值不

3、是4acb24a，故(4)錯(cuò)2小題熱身(1)已知冪函數(shù)f(x)kx的圖象過(guò)點(diǎn)12，22 ，則k(c)a.12b1c.32d2解析：因?yàn)閒(x)kx是冪函數(shù)，所以k1.又f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)12，22 ，所以1222，所以12，所以k11232.(2)(2020衡水中學(xué)月考)若存在非零的實(shí)數(shù)a，使得f(x)f(ax)對(duì)定義域上任意的x恒成立，則函數(shù)f(x)可能是(a)af(x)x22x1bf(x)x21cf(x)2xdf(x)2x1解析：由存在非零的實(shí)數(shù)a，使得f(x)f(ax)對(duì)定義域上任意的x恒成立，可得函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為xa20.只有選項(xiàng) a 中，f(x)x22x1 關(guān)于x1 對(duì)稱(chēng)(3)若函

4、數(shù)f(x)4x2kx8 在1，2上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(，816，)解析：由于函數(shù)f(x)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是xk8，所以要使f(x)在1,2上是單調(diào)函數(shù)，則有k81 或k82，即k8 或k16.(4)冪函數(shù)f(x)(m24m4)xm26m8在(0，)上為增函數(shù)，則m的值為 1.解析：由題意知m24m41，m26m80，解得m1.考點(diǎn)一考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例 1】(1)冪函數(shù)yf(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，則冪函數(shù)yf(x)的圖象是()- 5 -(2)若，則下列正確的是()aabcbacbccabdbca(3)已知冪函數(shù)f(x)(mn n*)的圖象關(guān)于y

5、軸對(duì)稱(chēng)，且在(0，)上是減函數(shù)，則m的值為_(kāi)【解析】(1)設(shè)冪函數(shù)的解析式為yx，因?yàn)閮绾瘮?shù)yf(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，所以 24，解得12.所以yx，其定義域?yàn)?，)，且是增函數(shù)，當(dāng) 0 x1 時(shí)，其圖象在直線yx的上方(3)因?yàn)閒(x)在(0，)上是減函數(shù)，所以m22m30，解得1m3.又mn n*，所以m1 或m2.由于f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)所以m22m3 為偶數(shù)又當(dāng)m2 時(shí)，m22m3 為奇數(shù)，所以m2 舍去，因此m1.【答案】(1)c(2)b(3)1- 6 -解：由于f(x)為冪函數(shù)，所以m22m21，解得m1 或m3，經(jīng)檢驗(yàn)只有m1符合題意，所以m1.2若本例(3)中已知條

6、件不變，則中實(shí)數(shù)a的取值范圍如何？方法技巧1冪函數(shù)的形式是yxr r，其中只有一個(gè)參數(shù)，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式.2在區(qū)間0，1上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸簡(jiǎn)記為“指大圖低”，在區(qū)間1，上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.3在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，準(zhǔn)確掌握各個(gè)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.考點(diǎn)二考點(diǎn)二二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)的解析式【例 2】(1)已知二次函數(shù)f(x)ax2bx1(a，br r)，xr r，若函數(shù)f(x)的最小值為f(1)0，則f(x)_.(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3)，它在x軸

7、上截得的線段長(zhǎng)為 2，并且對(duì)任意xr r，都有f(2x)f(2x)，則f(x)_.【解析】(1)由函數(shù)f(x)的最小值為f(1)0，得f(x)a(x1)2ax22axa，又f(x)ax2bx1，所以a1，故f(x)x22x1.(2)因?yàn)閒(2x)f(2x)對(duì)任意xr r 恒成立，所以f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x2.又因?yàn)閒(x)的圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為 2，所以f(x)0 的兩根為 1 和 3.設(shè)f(x)a(x1)(x3)(a0)，因?yàn)閒(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,3)，所以 3a3，即a1，所以f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.【答案】(1)x22x1(2)x24x3- 7 -方

8、法技巧求二次函數(shù)解析式的三個(gè)策略：1已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，宜選用一般式；2已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸、最大小值等，宜選用頂點(diǎn)式；3已知圖象與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，宜選用零點(diǎn)式.1 已知函數(shù)f(x)x2bxc的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線x1， 并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(3,0)， 則f(1)(c)a6b2c0d4解析：由題意知b21，得b2，f(3)93bc96c0，c3，f(x)x22x3，f(1)1230.2(2020煙臺(tái)模擬)下圖是二次函數(shù)yf(x)的圖象，若|oc|ob|3|oa|，且abc的面積s6，則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為f(x)x22x3.解析： 因?yàn)閨ob|oc|3|oa|， 所以|ab|oa|ob|4|oa|，

9、 所以 4|oa|3|oa|126，得|oa|1，所以a(1,0)，b(3,0)，c(0,3)設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為f(x)a(x1)(x3)，將點(diǎn)c(0,3)代入，得a1，所以這個(gè)二次函數(shù)的解析式為f(x)x22x3.考點(diǎn)三考點(diǎn)三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)命題方向命題方向 1 1二次函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用二次函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用【例 3】(1)已知函數(shù)f(x)ax2bxc，不等式f(x)0 的解集為x|x1，則函數(shù)yf(x)的圖象可以為()- 8 -(2)若直線y1 與曲線yx2|x|a有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【解析】(1)由f(x)0 的解集為x|x1知a0，yf(

10、x)的圖象與x軸的交點(diǎn)為(3,0)， (1,0)， 所以yf(x)的圖象開(kāi)口向下， 且與x軸的交點(diǎn)為(3,0)， (1， 0) 故選 b.(2)yx2|x|a是偶函數(shù)， 圖象如圖所示 由圖可知， 若直線y1 與曲線yx2|x|a有四個(gè)交點(diǎn)，需滿(mǎn)足a141a，則 1a54.【答案】(1)b(2)1，54命題方向命題方向 2 2二次函數(shù)的單調(diào)性與最值二次函數(shù)的單調(diào)性與最值【例 4】(1)已知函數(shù)f(x)ax2(a3)x1 在區(qū)間1，)上是遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a3,0)b(，3c2,0d3,0(2)若函數(shù)f(x)ax22ax1 在1,2上有最大值 4，則a的值為_(kāi)【解析】(1)當(dāng)a0 時(shí)

11、，f(x)3x1 在1，)上遞減，滿(mǎn)足題意- 9 -當(dāng)a0 時(shí)，f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x3a2a，由f(x)在1，)上遞減知a0，3a2a1，解得3a0 時(shí)， 函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù)， 最大值為f(2)8a14， 解得a38；當(dāng)a2xm恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【解析】f(x)2xm等價(jià)于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0 在1,1上恒成立，只需使函數(shù)g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于 0 即可g(x)x23x1m在1,1上單調(diào)遞減，g(x)ming(1)m1.由m10，得m1.因此滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，1)【答案

12、】(，1)方法技巧1.二次函數(shù)的圖象問(wèn)題,從開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、三個(gè)“二次”間關(guān)系入手.2.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題一般有以下兩類(lèi)題型：1定軸動(dòng)區(qū)間，此時(shí)討論對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系.2定區(qū)間動(dòng)軸，此時(shí)討論對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系.注意：對(duì)于閉區(qū)間上含參數(shù)的二次函數(shù)的最值，應(yīng)對(duì)系數(shù)進(jìn)行討論，要遵守分類(lèi)討論中的三原則：一是分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)要一致，二是分類(lèi)時(shí)要做到不重不漏，三是能不分類(lèi)的要盡量避免分類(lèi)，決不無(wú)原則地分類(lèi)討論.3.由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的兩種思路- 10 -1數(shù) 形 結(jié) 合 法 .ax2bxc0對(duì)x x1，x2恒 成 立其中fxax2bxc.2分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，其

13、依據(jù)是afxafxmax，afxafxmin.1(方向 1)(2020遼寧聯(lián)考)函數(shù)y1|xx2|的圖象大致是(c)解析：由題意知，當(dāng)x1 時(shí)，y1|11|1，所以舍去 a，d，當(dāng)x2 時(shí)，y1|24|1，所以舍去 b，故選 c.2(方向 2)若二次函數(shù)ykx24x2 在區(qū)間1,2上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(a)a2，)b(2，)c(，0)d(，2)解析：二次函數(shù)ykx24x2 的對(duì)稱(chēng)軸為x2k，當(dāng)k0 時(shí)，要使函數(shù)ykx24x2在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，只需2k1，解得k2.當(dāng)k0 時(shí)，2k0，此時(shí)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間1,2的左側(cè)，該函數(shù)ykx24x2 在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，不符

14、合要求綜上可得實(shí)數(shù)k的取值范圍是2，)3(方向 2)(2020四川綿陽(yáng)模擬)已知函數(shù)yx22x3 在0，m上的最大值為 3，最小值為 2，則m的取值范圍為(b)a0,1b1,2c(1,2d(1,2)- 11 -解析：如圖，作出函數(shù)yx22x3 的圖象，由圖象可知m的取值范圍是1,2故選b.4(方向 3)已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)2ax22x3 在x1,1上恒小于零，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為，12 .解析：2ax22x30 在1,1上恒成立當(dāng)x0 時(shí)，30，成立；當(dāng)x0 時(shí)，a321x13216，因?yàn)?x(，11，)，當(dāng)x1 時(shí)，右邊取最小值12，所以a0)的實(shí)根分布- 12 - 13 -【典例】已知方程x22(a2)xa210.(1)當(dāng)該方程有兩個(gè)負(fù)根時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)該方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解】由題意知，4(a2)24(a21)16a20.(1)方程x22(a2)xa210 有兩個(gè)負(fù)根，16a200，x1x22a20，解得a54，a2，a1 或a1 或54a1.實(shí)數(shù)a的取值范圍是