2021高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題練三核心熱點突破專題五解析幾何第2講圓錐曲線的方程與性質(zhì)含解析

1、第第 2 2 講講圓錐曲線的方程與性質(zhì)圓錐曲線的方程與性質(zhì)高考定位1.圓錐曲線的方程與幾何性質(zhì)是高考的重點，多以選擇題、填空題或解答題的第一問的形式命題.2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是命題的熱點，尤其是有關(guān)弦長計算及存在性問題，運算量大，能力要求高，突出方程思想、轉(zhuǎn)化、化歸與分類討論思想方法的考查.真 題 感 悟1.(2020全國卷)已知 a 為拋物線 c：y22px(p0)上一點，點 a 到 c 的焦點的距離為 12，到y(tǒng) 軸的距離為 9，則 p()a.2b.3c.6d.9解析設(shè) a(x，y)，由拋物線的定義知，點 a 到準線的距離為 12，即 xp212.又因為點 a 到 y 軸的距離為

2、9，即 x9，所以 9p212，解得 p6.故選 c.答案c2.(2020全國卷)設(shè) o 為坐標原點，直線 x2 與拋物線 c：y22px(p0)交于 d，e 兩點，若odoe，則 c 的焦點坐標為()a.14，0b.12，0c.(1，0)d.(2，0)解析將 x2 與拋物線方程 y22px 聯(lián)立，可得 y2 p，不妨設(shè) d(2，2 p)，e(2，2 p)，由 odoe，可得odoe44p0，解得 p1，所以拋物線 c 的方程為 y22x.其焦點坐標為12，0.故選 b.答案b3.(2020全國卷)設(shè) f1，f2是雙曲線 c：x2y231 的兩個焦點，o 為坐標原點，點 p 在 c 上且|op

3、|2，則pf1f2的面積為()a.72b.3c.52d.2解析法一由題知 a1，b 3，c2，f1(2，0)，f2(2，0)，如圖，因為|of1|of2|op|2，所以點 p 在以 f1f2為直徑的圓上，故 pf1pf2，則|pf1|2|pf2|2(2c)216.由雙曲線的定義知|pf1|pf2|2a2， 所以|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|4， 所以|pf1|pf2|6，所以pf1f2的面積為12|pf1|pf2|3.故選 b.法二由雙曲線的方程可知，雙曲線的焦點 f1，f2在 x 軸上，且|f1f2|2 134.設(shè)點 p 的坐標為(x0，y0)，則x20y2031，x20y20

4、2，解得|y0|32.所以pf1f2的面積為12|f1f2|y0|124323.故選 b.答案b4.(2020全國卷)已知橢圓 c1：x2a2y2b21(ab0)的右焦點 f 與拋物線 c2的焦點重合，c1的中心與 c2的頂點重合.過 f 且與 x 軸垂直的直線交 c1于 a， b 兩點， 交 c2于 c， d 兩點， 且|cd|43|ab|.(1)求 c1的離心率；(2)設(shè) m 是 c1與 c2的公共點.若|mf|5，求 c1與 c2的標準方程.解(1)由已知可設(shè) c2的方程為 y24cx，其中 c a2b2.不妨設(shè) a，c 在第一象限，由題設(shè)得 a，b 的縱坐標分別為b2a，b2a；c，d

5、 的縱坐標分別為2c，2c，故|ab|2b2a，|cd|4c.由|cd|43|ab|得 4c8b23a，即 3ca22ca2.解得ca2(舍去)或ca12.所以 c1的離心率為12.(2)由(1)知 a2c，b 3c，故 c1：x24c2y23c21.設(shè) m(x0，y0)，則x204c2y203c21，y204cx0，故x204c24x03c1.因為 c2的準線為 xc，所以|mf|x0c，又|mf|5，故 x05c，代入得（5c）24c24（5c）3c1，即 c22c30，解得 c1(舍去)或 c3.所以 c1的標準方程為x236y2271，c2的標準方程為 y212x.考 點 整 合1.圓

6、錐曲線的定義(1)橢圓：|mf1|mf2|2a(2a|f1f2|)；(2)雙曲線：|mf1|mf2|2a(2a|f1f2|)；(3)拋物線：|mf|d(d 為 m 點到準線的距離).溫馨提醒應(yīng)用圓錐曲線定義解題時，易忽視定義中隱含條件導(dǎo)致錯誤.2.圓錐曲線的標準方程(1)橢圓：x2a2y2b21(ab0)(焦點在 x 軸上)或y2a2x2b21(ab0)(焦點在 y 軸上)；(2)雙曲線：x2a2y2b21(a0，b0)(焦點在 x 軸上)或y2a2x2b21(a0，b0)(焦點在 y 軸上)；(3)拋物線：y22px，y22px，x22py，x22py(p0).3.圓錐曲線的重要性質(zhì)(1)橢

7、圓、雙曲線中 a，b，c 之間的關(guān)系在橢圓中：a2b2c2；離心率為 eca1b2a2.在雙曲線中：c2a2b2；離心率為 eca1b2a2.(2)雙曲線的漸近線方程與焦點坐標雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的漸近線方程為 ybax；焦點坐標 f1(c，0)，f2(c，0).雙曲線y2a2x2b21(a0，b0)的漸近線方程為 yabx，焦點坐標 f1(0，c)，f2(0，c).(3)拋物線的焦點坐標與準線方程拋物線 y22px(p0)的焦點 fp2，0，準線方程 xp2.拋物線 x22py(p0)的焦點 f0，p2 ，準線方程 yp2.4.弦長問題(1)直線與圓錐曲線相交的弦設(shè)而不求，

8、 利用根與系數(shù)的關(guān)系， 進行整體代入.即當斜率為 k， 直線與圓錐曲線交于 a(x1， y1)，b(x2，y2)時，|ab| 1k2|x1x2| 1k2（x1x2）24x1x211k2（y1y2）24y1y2.(2)過拋物線焦點的弦拋物線 y22px(p0)過焦點 f 的弦 ab，若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 x1x2p24，y1y2p2，弦長|ab|x1x2p.熱點一圓錐曲線的定義及標準方程【例 1】 (1)(2020浙江卷)已知點 o(0，0)，a(2，0)，b(2，0).設(shè)點 p 滿足|pa|pb|2，且p 為函數(shù) y34x2圖象上的點，則|op|()a.222b.4 10

9、5c. 7d. 10(2)已知橢圓 c 的焦點為 f1(1， 0)， f2(1， 0)， 過 f2的直線與 c 交于 a， b 兩點.若|af2|2|f2b|，|ab|bf1|，則 c 的方程為()a.x22y21b.x23y221c.x24y231d.x25y241解析(1)由|pa|pb|2|ab|4，得點 p 的軌跡是雙曲線的右支.又 a1，c2，知 b2c2a23.故點 p 的軌跡方程為 x2y231(x1)，由于 y3 4x2，聯(lián)立，得 x2134，y2274，故|op| x2y2 10.(2)設(shè)橢圓的標準方程為x2a2y2b21(ab0).連接 f1a，令|f2b|m，則|af2|

10、2m，|bf1|3m.由橢圓定義，4m2a，得 ma2，故|f2a|f1a|a，則點 a 為橢圓 c 的上頂點或下頂點.如圖，不妨設(shè) a(0，b)，依題意，af22f2b，得 b32，b2 .由點 b 在橢圓上，得94a2b24b21，得 a23，b2a2c22，橢圓 c 的方程為x23y221.答案(1)d(2)b探究提高1.兩題求解的關(guān)鍵在于準確把握圓錐曲線的定義和標準方程， 另外注意焦點在不同的坐標軸上，橢圓、雙曲線、拋物線方程各有不同的表示形式.2.求解圓錐曲線的標準方程的方法是“先定型，后計算”.所謂“定型”，就是指確定類型，所謂“計算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的 a2，b2

11、，p 的值，最后代入寫出橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程.【訓(xùn)練 1】 (1)(2020天津卷)設(shè)雙曲線 c 的方程為x2a2y2b21(a0，b0)，過拋物線 y24x 的焦點和點(0，b)的直線為 l.若 c 的一條漸近線與 l 平行，另一條漸近線與 l 垂直，則雙曲線 c的方程為()a.x24y241b.x2y241c.x24y21d.x2y21(2)(2020長郡中學(xué)檢測)已知拋物線 y22px(p0)的焦點為 f，點 m(x0，6 6)x0p2 是拋物線上一點，以 m 為圓心的圓與直線 xp2交于 a，b 兩點(a 在 b 的上方)，若 sinmfa57，則此拋物線的方程為_.解析(1

12、)由 y24x，知焦點坐標為(1，0)，則過點(1，0)和點(0，b)的直線方程為 xyb1.易知x2a2y2b21 的漸近線方程為xayb0 和xayb0.由 l 與一條漸近線平行，與一條漸近線垂直，得 a1，b1.故雙曲線 c 的方程為 x2y21.(2)如圖所示，過 m 點作 cmaf，垂足為 c，交準線于 d，sinmfa57|mc|mf|.由拋物線定義|mf|md|x0p2，|mc|mf|x0p2x0p257，得 x03p.點 m(x0，6 6)x0p2 是拋物線上一點，(6 6)22px0，3666p2，p6，y212x.答案(1)d(2)y212x熱點二圓錐曲線的幾何性質(zhì)【例 2

13、】 (1)(2020全國卷)已知 f 為雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點，a 為 c 的右頂點，b 為 c 上的點，且 bf 垂直于 x 軸.若 ab 的斜率為 3，則 c 的離心率為_.(2)已知雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦點分別為 f1，f2，過 f1的直線與 c 的兩條漸近線分別交于 a，b 兩點.若f1aab，f1bf2b0，則 c 的離心率為_.解析(1)設(shè) b(c，yb)，因為 b 為雙曲線 c：x2a2y2b21 上的點，所以c2a2y2bb21，所以 y2bb4a2，則 ybb2a.因為 ab 的斜率為 3，所以b2aca3，則 b

14、23ac3a2.所以 c2a23ac3a2，所以 c23ac2a20，解得 ca(舍去)或 c2a.所以 c 的離心率 eca2.(2)因為f1bf2b0，所以 f1bf2b，如圖.所以|of1|ob|，所以bf1of1bo，所以bof22bf1o.因為f1aab，所以點 a 為 f1b 的中點，又點 o 為 f1f2的中點，所以 oabf2，所以 f1boa.因為直線 oa，ob 為雙曲線 c 的兩條漸近線，所以 tanbf1o1tanaof1ab，tanbof2ba.因為 tanbof2tan(2bf1o)，所以ba2ab1ab2，所以 b23a2，所以 c2a23a2，即 2ac.所以雙

15、曲線的離心率 eca2.答案(1)2(2)2探究提高1.第(1)題的易錯點有兩處： 一是忽視題眼“ab 的斜率為 3”， 由 y2bb4a2得 ybb2a；二是將雙曲線中 a，b，c 的關(guān)系式與橢圓中 a，b，c 的關(guān)系式搞混.2.確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍，其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于 a，b，c 的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后用 a，c 代換 b，進而求ca的值.3.求雙曲線漸近線方程的關(guān)鍵在于求ba或ab的值，也可將雙曲線方程中等號右邊的“1”變?yōu)椤?”，然后因式分解得到.【訓(xùn)練 2】 (1)(多選題)(2020青島統(tǒng)測)已知橢圓：x2a2y2b21(ab0)，則下列結(jié)論正確的是()a.若

16、 a2b，則橢圓的離心率為22b.若橢圓的離心率為12，則ba32c.若點 f1， f2分別為橢圓的左、 右焦點， 直線 l 過點 f1且與橢圓交于 a， b 兩點， 則abf2的周長為 4ad.若點 a1，a2分別為橢圓的左、右頂點，點 p 為橢圓上異于點 a1，a2的任意一點，則直線 pa1，pa2的斜率之積為b2a2(2)(多選題)(2020德州質(zhì)檢)雙曲線 c：x24y221 的右焦點為 f，點 p 在雙曲線 c 的一條漸近線上，o 為坐標原點，則下列說法正確的是()a.雙曲線 c 的離心率為62b.雙曲線y24x281 與雙曲線 c 的漸近線相同c.若 popf，則pfo 的面積為

17、2d.|pf|的最小值為 2解析(1)若 a2b，則 c 3b，所以 e32，a 不正確；若 e12，則 a2c，b 3c，所以ba32，b 正確；根據(jù)橢圓的定義易知 c 正確；設(shè)點 p(x0，y0)，則x20a2y20b21，易知 a1(a，0)，a2(a，0)，所以直線 pa1，pa2的斜率之積是y0 x0ay0 x0ay20 x20a2b21x20a2x20a2b2a2，d 正確.故選 bcd.(2)對于 a，因為 a2，b 2，所以 c a2b2 6，所以雙曲線 c 的離心率為62，所以 a正確；對于 b，它們的漸近線都是直線 y22x，所以 b 正確；對于 c，結(jié)合 popf，點 p

18、在雙曲線 c 的一條漸近線上，不妨設(shè)點 p 在漸近線 y22x 上，則直線 pf 的方程為 y02(x 6)，即 y 2(x 6)，由y 2（x 6） ，y22x，解得x2 63，y2 33，所以點 p2 63，2 33，所以pfo 的面積 s12 62 33 2，所以 c 正確；對于 d，因為點 f( 6，0)，雙曲線 c的一條漸近線為直線 y22x，所以|pf|的最小值就是點 f 到漸近線的距離，為 2，所以 d 錯誤.故選 abc.答案(1)bcd(2)abc熱點三有關(guān)弦的中點、弦長問題【例 3】 (2019全國卷)已知拋物線 c：y23x 的焦點為 f，斜率為32的直線 l 與 c 的

19、交點為a，b，與 x 軸的交點為 p.(1)若|af|bf|4，求 l 的方程；(2)若ap3pb，求|ab|.解設(shè)直線 l：y32xt，a(x1，y1)，b(x2，y2).(1)由題設(shè)得 f34，0，故|af|bf|x1x232.又|af|bf|4，所以 x1x252.由y32xt，y23x可得 9x212(t1)x4t20，其中144(12t)0，即 t0).所以 l 的方程為 y32x78.(2)由ap3 pb可得 y13y2.由y32xt，y23x可得 y22y2t0，所以 y1y22.由聯(lián)立，得 y13，且 y21.代入 c 的方程得 x13，x213.故|ab| （x1x2）2（y

20、1y2）24 133.探究提高1.涉及弦長的問題， 應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系與弦長公式|ab| 1k2|x2x1|，設(shè)而不求計算弦長；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解，以簡化運算，當 a，b 兩點坐標易求時也可以直接用|ab| （x1x2）2（y1y2）2求解.2.對于弦的中點問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，要注意使用條件0，在用“點差法”時，要檢驗直線與圓錐曲線是否相交.【訓(xùn)練 3】 (2020衡水質(zhì)檢)已知橢圓 c：x26y251 的左、右焦點分別為 f1，f2，過點 f2的直線 l 交橢圓 c 于 a，b 兩點.(1)若f1ab 的面

21、積為20 311，求直線 l 的方程；(2)若bf22f2a，求|ab|.解(1)當直線 l 斜率為 0 時，不滿足題意.當直線 l 斜率不為 0 時，設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，設(shè)直線 l 的方程為 xmy1，代入橢圓 c 的方程消去 x，得(5m26)y210my250，0mr，由根與系數(shù)的關(guān)系得 y1y210m5m26，y1y2255m26，則 sf1ab12|f1f2|y1y2|122 （y1y2）24y1y2100m2（5m26）24（25）5m2620 311.整理得 50m4m2490，解得 m21 或 m24950(舍去)，故直線 l 的方程為 xy10.(2)若b

22、f22f2a，則(1x2，y2)2(x11，y1)，所以 y22y1.代入上式得 y110m5m26，2y21255m26，消去 y1，得 210m5m262255m26，解得 m 2，所以|ab| 1m2|y1y2| 3|y1y2|3 3|y1|3 310 252615 68.熱點四與直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有關(guān)的綜合問題【例 4】 (2020北京卷)已知橢圓 c：x2a2y2b21 過點 a(2，1)，且 a2b.(1)求橢圓 c 的方程；(2)過點 b(4，0)的直線 l 交橢圓 c 于點 m，n，直線 ma，na 分別交直線 x4 于點 p，q，求|pb|bq|的值.解(1)由橢圓過點

23、 a(2，1)，得4a21b21.又 a2b，44b21b21，解得 b22，a24b28，橢圓 c 的方程為x28y221.(2)當直線 l 的斜率不存在時，顯然不合題意.設(shè)直線 l：yk(x4)，由yk（x4） ，x24y28得(4k21)x232k2x64k280.由0，得12k12.設(shè) m(x1，y1)，n(x2，y2)，則 x1x232k24k21，x1x264k284k21.又直線 am：y1y11x12(x2)，令 x4，得 yp2（y11）x121.將 y1k(x14)代入，得 yp（2k1） （x14）x12.同理 yq（2k1） （x24）x22.ypyq(2k1)x14x

24、12x24x22(2k1)2x1x26（x1x2）16（x12） （x22）(2k1)2（64k28）4k216（32k2）4k2116（x12） （x22）(2k1)128k216192k264k216（4k21） （x12） （x22）0.|pb|bq|，|pb|bq|1.探究提高1.求解此類問題往往要設(shè)出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.2.判斷直線與圓錐曲線的交點個數(shù)時，可直接求解相應(yīng)方程組得到交點坐標，也可利用消元后的一元二次方程的判別式來確定，需注意利用判別式的前提是二次項系數(shù)不為 0.【訓(xùn)練 4】 (2020天津卷)已知橢圓x2a2y2b21(ab0)的

25、一個頂點為 a(0，3)，右焦點為 f，且|oa|of|，其中 o 為原點.(1)求橢圓的方程；(2)已知點 c 滿足 3ocof，點 b 在橢圓上(b 異于橢圓的頂點)，直線 ab 與以 c 為圓心的圓相切于點 p，且 p 為線段 ab 的中點，求直線 ab 的方程.解(1)由已知得 b3.記半焦距為 c，由|of|oa|，得 cb3.由 a2b2c2，得 a218.所以橢圓的方程為x218y291.(2)因為直線 ab 與以 c 為圓心的圓相切于點 p，所以 abcp.依題意，直線 ab 和直線 cp 的斜率均存在，設(shè)直線 ab 的方程為 ykx3.聯(lián)立ykx3，x218y291，消去 y

26、，可得(2k21)x212kx0，解得 x0 或 x12k2k21.依題意，可得點 b 的坐標為12k2k21，6k232k21 .因為 p 為線段 ab 的中點，點 a 的坐標為(0，3)，所以點 p 的坐標為6k2k21，32k21 .由 3ocof，得點 c 的坐標為(1，0)，故直線 cp 的斜率 kcp32k2106k2k21132k26k1.又因為 abcp，所以 k32k26k11，整理得 2k23k10，解得 k12或 k1.所以，直線 ab 的方程為 y12x3 或 yx3.即直線 ab 的方程為 x2y60 或 xy30.a 級鞏固提升一、選擇題1.(2020北京卷)設(shè)拋物

27、線的頂點為 o，焦點為 f，準線為 l，p 是拋物線上異于 o 的一點，過 p作 pql 于 q.則線段 fq 的垂直平分線()a.經(jīng)過點 ob.經(jīng)過點 pc.平行于直線 opd.垂直于直線 op解析如圖所示，連接 pf，則|pf|pq|，qf 的垂直平分線過點 p.故選 b.答案b2.(多選題)(2020新高考山東、海南卷)已知曲線 c：mx2ny21，則下列結(jié)論正確的是()a.若 mn0，則 c 是橢圓，其焦點在 y 軸上b.若 mn0，則 c 是圓，其半徑為 nc.若 mn0，則 c 是雙曲線，其漸近線方程為 ymnxd.若 m0，n0，則 c 是兩條直線解析對于 a，當 mn0 時，有

28、1n1m0，方程化為x21my21n1，表示焦點在 y 軸上的橢圓，故 a 正確；對于 b，由 mn0，方程變形為 x2y21n，該方程表示半徑為1n的圓，b 錯誤；對于 c，由 mn0 知曲線表示雙曲線，其漸近線方程為 ymnx，c 正確；對于 d，當 m0，n0 時，方程變?yōu)?ny21 表示兩條直線，d 正確.答案acd3.(多選題)(2020青島一模)已知拋物線 c：y22px(p0)的焦點為 f，直線 l 的斜率為 3且經(jīng)過點 f，直線 l 與拋物線 c 交于 a，b 兩點(點 a 在第一象限)，與拋物線的準線交于點 d，若|af|8，則以下結(jié)論正確的是()a.p4b.dffac.|b

29、d|2|bf|d.|bf|4解析如圖，分別過點 a，b 作拋物線 c 的準線的垂線，垂足分別為點 e，m，連接 ef.設(shè)拋物線 c 的準線交 x 軸于點 p，則|pf|p，由直線 l 的斜率為 3，可得其傾斜角為 60.aex軸，eaf60.由拋物線的定義可知，|ae|af|，則aef 為等邊三角形，pef30，|af|ef|2|pf|2p8，得 p4，a 正確.|ae|2|pf|，pfae，f 為 ad 的中點，則dffa，b 正確.又dae60，ade30，|bd|2|bm|2|bf|，c 正確.由 c 選項知|bf|13|df|13|af|83，d 錯誤.故選 abc.答案abc4.(2

30、020東北三省三校聯(lián)考)已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的左右焦點分別為 f1，f2，點 p在雙曲線上，且有pf1pf20，若點 p 到 x 軸的距離為14|f1f2|，則雙曲線的離心率為()a. 2b. 3c.2d. 5解析因為pf1pf20，所以 pf1pf2，則f1pf290，|pf1|2|pf2|2|f1f2|24c2.由雙曲線定義，得|pf1|pf2|2a，|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|4a2.因此 2(c2a2)|pf1|pf2|，在 rtpf1f2中，|pf1|pf2|14|f1f2|f1f2|c2.代入式，得 2(c2a2)c2，則 c22a2，故雙曲線

31、的離心率 ecac2a2 2.答案a5.(2020成都診斷)已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)，f1，f2分別為橢圓的左右焦點，若橢圓 c上存在點 p(x0，y0)(x00)使得pf1f230，則橢圓的離心率的取值范圍為()a.0，12b.0，32c.12，1d.32，1解析依題設(shè) x00 時，當點 p 在橢圓的上(下)頂點時，pf1f2最大.若在橢圓 c 上存在 p(x0，y0)(x00)使得pf1f230，則 90(pf1f2)max30，tan(pf1f2)maxtan 3033，則bc33，即 b33c.又 a2b2c2，得 3a24c2，所以 ecac2a23432.故橢圓離

32、心率的取值范圍為0，32 .答案b二、填空題6.(2020北京卷)已知雙曲線 c：x26y231，則 c 的右焦點的坐標為_；c 的焦點到其漸近線的距離是_.解析由x26y231，得 c2a2b29，解得 c3，又焦點在 x 軸上，所以雙曲線 c 的右焦點坐標為(3，0).雙曲線的一條漸近線方程為 y36x，即 x 2y0，所以焦點(3，0)到漸近線的距離為 d312（ 2）2 3.答案(3，0)37.(2020全國卷改編)設(shè)雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦點分別為 f1，f2，離心率為 5.p 是 c 上一點，且 f1pf2p.若pf1f2的面積為 4，則 a_.解析法一設(shè)|pf1|m，|pf2|n，p 為雙曲線右支上一點，則 spf1f212mn4，mn2a，m2n24c2，從而 c2a24，又 eca 5，從而 a1.法二由題意