一元一次不等式和一元一次不等式組單元知識總結(jié)上

1、教學(xué)內(nèi)容：一元一次不等式和一元一次不等式組單元知識總結(jié)(上)【基本目標要求】一、經(jīng)歷由具體實例建立不等式模型的過程，了解不等式和一元一次不等式的有關(guān)概念，掌握不等式的三條基本性質(zhì).二、了解不等式的解和解集的概念，掌握一元一次不等式的解法，會在數(shù)軸上表示不等式的解集三、初步認識一元一次不等式的應(yīng)用價值四、了解一元一次不等式組及其解集的概念，掌握一元一次不等式組的解法，會用數(shù)軸表示一元一次不等式組的解集五、會用不等式和不等式組解決有關(guān)不等關(guān)系的簡單實際問題，感知不等式、函數(shù)、方程的不同作用與內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生分析問題、解決問題的能力【基礎(chǔ)知識導(dǎo)引】一、不等式及其基本性質(zhì)1定義凡用符號“”(或“”)

2、，“”(或“”)連接的式子叫做不等式2性質(zhì)性質(zhì)1 不等式兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變性質(zhì)2 不等式兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變性質(zhì)3 不等式兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變二、不等式的解集1不等式的解集一般地說，一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解的集合，簡稱為這個不等式的解集2解不等式求不等式的解集的過程，叫做解不等式不等式的解集可在數(shù)軸上直觀地表示出來，如5x15的解集為x3，即在數(shù)軸上(圖1-1)用表示3的點及其右邊部分來表示，這里的黑點表示包括3這一點如果不等式的解集為-1x4(圖1-2)，則用數(shù)軸上表示

3、-1的點和點4的左邊之間的部分來表示，這里的黑點表示包括-1這一點在內(nèi)，而右邊的圓圈表示不包括4這一點在內(nèi)三、一元一次不等式和它的解法1一元一次不等式左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，像這樣的不等式叫做一元一次不等式2一元一次不等式標準形式ax+b0或ax+b0，ax+b0或ax+b0(a0)3同解不等式如果兩個不等式的解集相同，那么這兩個不等式叫做同解不等式4不等式的同解原理原理l 不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式，所得的不等式與原不等式是同解不等式；原理2 不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù)，所得的不等式與原不等式是同解不等式； 原理3 不等

4、式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù)，并且把不等號改變方向后，所得的不等式與原不等式是同解不等式5一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法步驟和解的情況與一元一次方程對比如表1-1所示表1-1解一元一次方程解一元一次不等式解法步驟（1）去分母；（2）去括號；（3）移項；（4）合并同類項；（5）系數(shù)化成1。（1）去分母；（2）去括號；（3）移項；（4）合并同類項；（5）系數(shù)化成1。在上面的步驟（1）和步驟（5）中，如果乘數(shù)或除數(shù)是負數(shù)，要把不等號改變方向解的情況一元一次方程只有一個解一元一次不等式的解集含有無限多個數(shù)四、一元一次不等式組和它的解法1一元一次不等式組的解集一般地，幾個一元一次不等式的

5、解集的公共部分，叫做由它們所組成的一元一次不等式組的解集2解不等式組求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組3解一元一次不等式組的兩個步驟(1)求出這個不等式組中各個不等式的解集；(2)利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即求出了這個不等式組的解集【重點難點點撥】本章的重點是一元一次不等式的解法本章的難點是了解不等式的解集和不等式組的解集，以及運用不等式基本性質(zhì)3，要注意變號另外，要特別重視搞清一元一次不等式與一元一次方程、一次函數(shù)三者之間的關(guān)系要掌握以上重點、難點，必須注意以下問題一、一元一次不等式與一元一次方程、一次函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系1一元一次不等式、一元一次方程含有一個未知數(shù)，一次函數(shù)含

6、有兩個未知數(shù)，它們的左右兩邊都是整式2一元一次不等式表示不等關(guān)系，一元一次方程表示相等的關(guān)系，一次函數(shù)不僅表示相等關(guān)系，更重要的它表示因變量關(guān)于自變量的依存關(guān)系3一元一次方程和一次函數(shù)的圖象都是一條直線，一元一次不等式的圖象是直線一側(cè)(有時包含直線，有時不包含直線)的區(qū)域4一元一次方程的解是其圖象(直線)與x軸交點的橫坐標的值，至于一次函數(shù)y=kx+b(k0)的解析式，只須依據(jù)兩個獨立條件確定k、b，即可求出一次函數(shù)二、一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間的互相轉(zhuǎn)化作用令一次函數(shù)y=kx+b(k0)中的y=0，即可得一元一次方程，將一元一次方程中的等號改為不等號，一元一次方程則轉(zhuǎn)化為一元

7、一次不等式【發(fā)散思維導(dǎo)練】 發(fā)散思維分析本章的主要內(nèi)容是一元一次不等式和它的解法，及一元一次不等式組和它的解法它們是在有理數(shù)大小比較、等式及其性質(zhì)、解一元一次方程、研究一次函數(shù)的基礎(chǔ)上引入的、一元一次不等式是表示不等關(guān)系的最基本的工具，是學(xué)習(xí)其它不等式的基礎(chǔ)正確地解一元一次不等式，關(guān)鍵在于正確地理解不等式的解的集合的意義和準確運用不等式的三個同解原理學(xué)習(xí)不等式、一元一次不等式的有關(guān)內(nèi)容可與等式、一元一次方程、一次函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容對比，找出它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，用數(shù)軸表示不等式的解集，利用數(shù)軸求不等式的解集等，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法本章安排了一定數(shù)量的遷移發(fā)散題，遷移發(fā)散利用數(shù)學(xué)式、圖形在不同

8、的數(shù)學(xué)分科中的不同含義與等價形式，把一個分科里的公式、定理、原則或方法，巧妙地遷移到另一個分科中，達到化難為易的目的 發(fā)散思維應(yīng)用1不等關(guān)系2不等式的基本性質(zhì)3不等式的解集4一元一次不等式【典型例題】1解下列不等式，并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來(1)；(2)。.解 (1)去分母，得，去括號，得，合并同類項，得x-2.它在數(shù)軸上表示為(圖1-5)3求使方程組的解x,y都是正數(shù)的m的取值范圍解 解方程組得 它的解為正數(shù)， .故當時，原方程的解都是正數(shù)【題型發(fā)散】發(fā)散1 選擇題 把正確答案的代號填入題中的括號內(nèi)(1)下面列出的不等式中，正確的是 ( )(a)a不是負數(shù)，可表示成a0(b)x不大于3

9、，可表示成x3(c)m與4的差是負數(shù)，可表示成m-40(d)x與2的和是非負數(shù)，可表示成x+20(2)下列不等式中一定成立的是 ( )(a)4a3a (b)3-x4-x(c)-a-2a (d)(3)不等式5(x+1)-3x2x+3的解集為 ( )(a)x-1 (b)x1 (c)無解 (d)一切實數(shù)(4)如果關(guān)于x的方程x+2m-3=3x+7的解為不大于2的非負數(shù)，那么(a)m=6 (b)m等于5，6，7(c)無解 (d)5m7(5)不等式14x-7(3x+8)4(2x-5)的負整數(shù)解是 ( )(a)-3，-2，-1，0 (b)-4，-3，-2，-1(c)-2，-1 (d)以上答案都不對(6)已

10、知中，b為正數(shù)，則n的取值范圍是( )(a)n2 (b)n3 (c)n4 (d)n5解 (1)用直接法. a不是負數(shù)，可表示成a0；x不大于3，應(yīng)表示成x3；x與2的和是非負數(shù)應(yīng)表示成x+20， 只有(c)正確故本題應(yīng)選(c)(2)用排除法由不等式的性質(zhì)，若a0，則(a)，(c)，(d)三個選項都不正確，可排除(a)，(c)，(d)故本題應(yīng)選(b)(3)用直接法解不等式，經(jīng)移項、合并同類項，得o-2上面不等式與x無關(guān)，它的解集為一切實數(shù)故本題應(yīng)選(d)(4)用直接法 x+2m-3=3x+7解得 x=m-5依據(jù)題意得0x2，即 0m-52， 5m7故本題應(yīng)選(d)(5)用排除法14x-7(3x十

11、8)4(2x-5)，14x-21x-568x-20，14x-21x-8x-20+56，-15x36，,所以，(a)，(b)，(d)均可排除故本題應(yīng)選(c)(6)用直接法 .得 a-2=0，則 a=22a-3b-n=0，以a=2代入，得 ， b為正數(shù)， 4-n0， n4故本題應(yīng)選(c)發(fā)散2填空題(1)若方程kx+1=2x-1的解是正數(shù)，則k的取值范圍是_(2)若2a+32a+3，則實數(shù)a的取值范圍是_(3)在下面橫線上填上等號或不等號設(shè)mn，那么m-5_n-5；-5m_-5n；_；mp_np。(4)有一個兩位數(shù)，其個位數(shù)字比十位數(shù)字大2，已知這個兩位數(shù)大于20而小于40，則這個兩位數(shù)為_(5)

12、已知0a15，且ax15，則當x_時，式子x-a+x-15+x-a-15的值最小解 (1) kx+1=2x-1， (k-2)x=-2，當k2時，由題意得 k-20， k2當k=2時，方程變?yōu)?=-1，不成立 k2(2)依據(jù)絕對值的概念，如果2a+30時，2a+3=2a+3，只有2a+30時，才有2a+32a+3，解不等式2a+30得.(3)設(shè)mn，那么m-5n-5(根據(jù)不等式性質(zhì)1)；-5m-5n(根據(jù)不等式性質(zhì)3)；(根據(jù)不等式性質(zhì)2)：當p0時，mpnp，當p=0時，mp=np，當p0時，mpnp(4)設(shè)十位數(shù)為x，由題意，可得2010x+(x+2)40，得 20llx+240，即1811

13、x38， x為整數(shù)， x=2或x=3， 所求的兩位數(shù)為24，35(5) 0a15，且ax15， a+1515，x-(a+15)0，又 ax15， x-a0，x-150， x-a+x-15+x-a-15=(x-a)+(15-x)+(a+15-x)=x-a+15-x+a+15-x=30-x 要使上式值最小，只需x最大，而ax15 當x=15時，上式取最小值為15發(fā)散3 解答題(1)解不等式3(2x-5)-5(1-x)x-2(x-6)；(2)解不等式；(3)解不等式解 (1)3(2x-5)-5(1-x)x-2(x-6)，去括號，得 6x-15-5+5xx-2x+12，移項，得 6x+5x+2x-x1

14、5+5+12，合并同類項，得 12x32，系數(shù)化為1，得 ；(2)，去分母，得 3(3x-1)42(x-2)+12，去括號，得 9x-38x-16+12，移項，得 9x-8x-16+12+3，合并同類項，得 x-1(3)，將小數(shù)全部變?yōu)榉謹?shù)，得，去分母，得 4(2x-1)-6(3x-5)-2(x+1)+350，去括號，得 8x-4-18x+30-2x-2+150，合并同類項，得 -12x+390，移項，得 -12x-39，系數(shù)化為1，得 解法指導(dǎo) 既含有分母又含有小數(shù)的不等式，可將小數(shù)化為分數(shù)，也可將分數(shù)化為小數(shù)，但后者有可能出現(xiàn)無限小數(shù)，會使運算答案不準確，故常將小數(shù)全部化成分數(shù)后再解縱橫發(fā)

15、散發(fā)散1 已知6m12，求m+n的取值范圍分析 由已知得出和3m的取值范圍，再確定m+n的范圍解 6m12， ，183m36，又， 2n36，故 8m+n48發(fā)散2 p為何值時，方程有負數(shù)解分析 先解方程，求出x的值在本題中，這是關(guān)于字母p的表達式，然后再由x0的條件，解關(guān)于p的不等式，確定p的取值范圍解 解方程，得19x=30-3p， 方程有負數(shù)解，即 xo，即，解此不等式，得 p10發(fā)散3 當y取什么值時，代數(shù)式的值滿足下面條件：(1)大于的值；(2)不大于的值；(3)是非負數(shù)解 (1)根據(jù)題意，得 ，2y-14+6y，-54y， 當時，代數(shù)式的值大于的值(2)根據(jù)題意，得 ，2y-16y

16、-4，34y， 當時，的值不大于的值(3)根據(jù)題意，得 ，2y-1o，當時，的值是非負數(shù)【變形發(fā)散】發(fā)散題 a取什么值時，關(guān)于x的方程的解大于1分析 本題將原方程變形，以含a的代數(shù)式來表示x，從而利用x1的條件解關(guān)于a的不等式解， ，故 【轉(zhuǎn)化發(fā)散】發(fā)散1 當x分別為何值時，代數(shù)式的值，(1)不小于1；(2)為正數(shù)解 (1)根據(jù)題意，有 ，解這個不等式，得 x1 當x取小于或等于1的值時，代數(shù)式不小于1；(2)根據(jù)題意，有 ，解這個不等式，得 x3 當x取小于3的值時，代數(shù)式的值為正數(shù)發(fā)散2 當x取何值時，代數(shù)式的值，(1)小于的值；(2)不小于的值分析 依題意，將比較2個代數(shù)式之值大小的問題

17、轉(zhuǎn)化為解不等式問題解 (1)根據(jù)題意，要求不等式的解集解這個不等式，得 24-2x2x+1，234x得 所以當x取大于的值時，的值小于的值；(2)根據(jù)題意，要求不等式的解集，解這個不等式，得 所以當x取不大于的值時，的值不小于的值【逆向發(fā)散】發(fā)散1 已知(1)當m為何值時，y0；(2)當m為何值時，y-2解 x-20， 只有在x-2=0且時，它們的和才能等于0，因此，x=2，3x-y+m=0， 將x=2代入，得 -y+m=-6 即 y=m+6(1)要使y0，即m+60，得 m-6 當m-6時，y0；(2)要使y-2，即m+6-2，得 m-8 當m-8時，y-2發(fā)散2 若(1)當y0時，求m的范

18、圍；(2)當yo時，求m的范圍；(3)當y=0時，求m的值解 ， 3x-12=0，5x-y-m=0， x=4，y=5x-m=20-m(1) y=20-m0 m20即當yo時，m20；(2) y=20-mo m20即當yo時，m20；(3) y=20-m=0 m=20即當y=0時，m=20【變更命題發(fā)散】發(fā)散1 當k取何值時，方程的解是正數(shù)分析 先解方程，求x解 ，2x-9k=15(x-k)+3，2x-9k=15x-15k+3，13x=6k-3，令， 6k-30， 即當時，原方程的解為正數(shù)發(fā)散2 當k取何值時，方程的解是負數(shù)分析 先解方程，求x解 ，2x-9k=15(x-k)+3，2x-9k=15x-15k+3，13x=6k-3， 令，6k-30 即當時，原方程的解為負數(shù)【構(gòu)造發(fā)散】發(fā)散1 求同時滿足不等式6x-23x-4和的整數(shù)x分析 本題構(gòu)造數(shù)軸分別將2個不等式的解集在其上表示出來，然后觀察其公共解集的范圍內(nèi)有哪些整數(shù)不等式6x-23x-4的解集是；不等式的解集是