三重積分計(jì)算法

1、( , , )f x y z dv 其其中中是是空空間間有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域. . 可以用直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)來計(jì)算.計(jì)算方法是將三重積分化為三次積分. 三重積分 ( , , )GfP dgf x y z dv 第1頁/共44頁一、 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分dvdxdydz ( , , )( , , )f x y z dvf x y z dxdydz 即即用平行于坐標(biāo)面的平面族：常數(shù)常數(shù)常數(shù)，常數(shù)，常數(shù)，常數(shù)， zyx去分割積分區(qū)域, 除邊界外每個(gè)小塊都是一個(gè)長方形，于是得到體積元素第2頁/共44頁 12,zzx yzzx y 設(shè) 如圖,將 向xoy面投影，得 ,以 的邊界為準(zhǔn)線母線平

2、行于z軸的柱面把 分為下上兩個(gè)邊界：xyDxyD( , )x yxyD1z2z1( )yy x2( )yy x ab1S2S1( , )zz x y 2( , )zz x y 12,xyx yDzzx yzx y 從從變變到到y(tǒng)zxO 12:,xyzx yzzx yx yD于是第3頁/共44頁21( , )( , )( , , )( , , )xyzx yzx yDf x y z dvf x y z dz dxdy 則 12:,xyzx yzzx yx yD積分區(qū)域可表示為(先一后二）第4頁/共44頁根據(jù)D是X型域或Y型域確定二重積分的積分限，就得到三重積分公式.2211( )( , )( )

3、( , )( , , )( , , )bxzx yaxzx yf x y z dvdxdyf x y z dz 若D為X型域，則有這是先對z，次對y，最后對x的三次積分21( , )( , )( , , )( , , )xyzx yzx yDf x y z dvf x y z dz dxdy 第5頁/共44頁xdv例1 計(jì)算 ,其中 為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x2yz1所圍成的區(qū)域。 xyzO(0,0,1)C1(0,0)2B(1,0,0)AxyD :012 ,xyzxyx yD :012 ,xyzxyx yD解 在xoy面上的投影為xyD若 看成X型域，則xyD12xy 12zxy , x y第6頁/

4、共44頁123011(2)448xxxdx 10:012 ,:201xyxyzxy Dx 120 xyDxdvdxdyxdz 11122000 xxydxdyxdz 11200(12 )xxdxxy dy 第7頁/共44頁例2 將 化為直角坐標(biāo)系下的三次積分，其中 是由平面 xyz1，xy1，x0，y0，z1圍成的區(qū)域。 ( , , )f x y zdv 的下底是xyz1，上底是z1，x0y1xyxyD1解 的投影 是x+y=1，x=0，y=0圍成的三角形域，xyD第8頁/共44頁11( , , )( , , )xyxyDf x y z dvdxdyf x y z dz 111001( , ,

5、 )xxydxdyf x y z dz 01:11,:01xyyxxyzDx x0y1xyxyD1第9頁/共44頁2）截面法（先二后一）21( , )( , )( , , )( , , )zx yzx yDf x y z dvf x y z dz dxdy 1）投影法（先一后二） 計(jì)算三重積分時(shí)，先求一個(gè)二重積分，再求一個(gè)定積分的方法第10頁/共44頁 設(shè)區(qū)域 的z值的最大值過 內(nèi)任一點(diǎn)z，作水平平面與 交出截面 就是二重積分的積分區(qū)域.ZD ，12,c c和最小值為 和 ，1c2cxyzOzDz1c2c 先在 上對x,y積分然后在 上對z積分.12,c czD2）截面法（先二后一） 12:,

6、Zx yDczc第11頁/共44頁這樣得到21( , , )( , , )zccDf x y z dvdzf x y z dxdy 先求出 上的二重積分再求定積分.ZD 12:,Zx yDczc先二后一此法常用于 上的二重積分易求的情形zD第12頁/共44頁例3 計(jì)算 ，其中 是由橢球面 所圍成的空間閉區(qū)域。 2222221xyzabc2z dxdydz czc 222222:1-zxyzDczcabc（) )解 z的最小值和最大值為 和 ，即ccabcxyzO0DzDcz第13頁/共44頁222zzccccDDz dxdydzdzz dxdyz dzdxdy 的面積為zzDdxdyD 222

7、22211(1)zzzababccc2222(1)cczz dxdydzzabdzc 42324()15cczabzdzabc 第14頁/共44頁二 用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分zOxy ( , )P z在xoy面上 就是極坐標(biāo). , 設(shè)M（x,y,z）為空間一點(diǎn)，如果將x，y，z改用另外三個(gè)數(shù)來表示，則稱為點(diǎn)M 的柱面坐標(biāo)。z , , ,z （）( , , )M x y z第15頁/共44頁三組坐標(biāo)面：柱面與直角坐標(biāo)的關(guān)系是 ( , )P zOzxy( , , )Mz z常數(shù) （水平平面）常數(shù) （半平面） 常數(shù) （圓柱面）( , , )M x y z由圖可知zz cosx siny (0,02 ,

8、)z ),(yxP第16頁/共44頁三組坐標(biāo)面族去分割空間區(qū)域 ，其任一小塊的體積 可以近似看成以 為底， 為高的柱體體積。vdzd d 體積元素dvd d dz ( , , )cos ,sin , )f x y z dvzfzd d d （ d xyzodzd d 第17頁/共44頁( , , )( cos , sin , )f x y z dvfzd d dz 21( , )( , )( , , )( cos , sin , )Df x y zdvd dfz dz 因此 12:,xyzx yzzx yx yD設(shè)設(shè)則積分區(qū)域在柱面坐標(biāo)系下的表示為： 12:,zD 在柱面坐標(biāo)系下區(qū)域由直角變?yōu)?/p>

9、柱面坐標(biāo)表示第18頁/共44頁則三重積分化為柱面坐標(biāo)的三次積分：若 12:,D 2211(, )(, )( , , )(cos ,sin , )f x y z dvddfz dz 21( , )( , )( , , )( cos , sin , )Df x y zdvd dfz dz 第19頁/共44頁例4 計(jì)算 其中 是由上半球面 和旋轉(zhuǎn)拋物面 ,zdv 2224xyz(0)z 223xyz所圍成的區(qū)域.解 將積分區(qū)域 向xoy面投影，得22:3xyDxy 第20頁/共44頁22034-,:,302zD ：2222224,3:3xyxyzxyDxy ：xyD223xyz 224zxy23z

10、柱面坐標(biāo)24z zxyO第21頁/共44頁zdvz d d dz 224-,03,023z ：4232001(4)29dd 462302454 22234003ddzdz 134 第22頁/共44頁例5 計(jì)算 其中 是由曲面 與平面 圍成的區(qū)域.,zdxdydz22zxy4z 解 在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域:22:4xyDxy02,022z xzy22zxyD4z 2:4,02,02z 第23頁/共44頁所以24Dzdxdydzd dzdz 222400ddzdz 222001(16)2dd 22201642 8263 2:4,02,02z 第24頁/共44頁22()Ixydv 例6 計(jì)算其

11、中 222,0,00 xyzxyza a由由錐錐面面和和所所圍圍成成第第一一卦卦限限部部分分. .xD yzaza 222zyx ,z :,zaD 0,02a 第25頁/共44頁2200aadddz 30()2aad 45245aaa 5.40a:, 0, 0,2zaa 22()Ixydv 第26頁/共44頁問題 2220 xyzza a 由由錐錐面面和和所所圍圍成成. .若例6中的積分區(qū)域改為則22()?xydv 答 由對稱性，有2222()4()Ixydvxydv yza第27頁/共44頁思考題 在柱面坐標(biāo)系下求三重積分可以看作在直角坐標(biāo)系對 作單積分，然后在投影區(qū)域 上用極坐標(biāo)作二重積分

12、呢？zxyD答：可以第28頁/共44頁三、用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 設(shè)M(x,y,z)為空間一點(diǎn)，如果將x, y, z 改用另外三個(gè)數(shù) r， ， 來表示,則稱 (r， ， )為點(diǎn)M 的球面坐標(biāo)。xyzPxOyzMr常數(shù)（球面族）常數(shù)（球面族） r常數(shù)（圓錐族）常數(shù)（圓錐族） 常數(shù)（半平面）常數(shù)（半平面） (0,0,02 )r 第29頁/共44頁球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系是sin cossin sincosxryrzr xOyzxyzrAPMsinOPr (0,0,02 )r 第30頁/共44頁分割空間區(qū)域 ，其任一小塊的體積v可以近似地看成是長為 、寬為 、高為 的長方體體積rd sinrd dr

13、 drxyzodr dsinr rd d d sinr2sinvdvrdrd d 積分元素drrdsinrd drrd sinrd 第31頁/共44頁2sindvrdrd d 體體積積元元素素2( , , )( , ,s)inf x y z dvF rrdrd d 其中( , , )( sin cos , sin cos , cos )F rf rrr 一般將右端的形式化為先對r、次對 、最后對 的三次積分來計(jì)算。三重積分在球面坐標(biāo)系下的形式：第32頁/共44頁 一般地，空間區(qū)域 包含原點(diǎn)在其內(nèi)部，邊界曲面為 則有 ,rr (2)2000, ,( , , )sinrfx y z dvddF r

14、rdr 例如 當(dāng) 為球面 時(shí)2222xyza22000( , , )sinaddF rrdr ( , , )f x y z dv ra 球球面面方方程程：第33頁/共44頁例7 求半徑為 的球面與半頂角為 的內(nèi)接圓錐面所圍成的立體的體積(如圖). aOxyz2arM第34頁/共44頁解 根據(jù)積分性質(zhì)： 的度量，GdgG Vdv 有有 將 用球面坐標(biāo)表示成不等式：02 cos ,002ra Oxyz2arM第35頁/共44頁2sinVdvrdrd d 22 cos2000sinaddr dr 323008sincos3add 344(1cos)3a 22 cos2000sinaddrdr 第36

15、頁/共44頁思考題：球面方程柱面球面2222xyza222za ra 柱面方程222xybsinrb b 直角坐標(biāo)系1.填寫下表中的空格：第37頁/共44頁2. 計(jì)算重積分應(yīng)怎樣選擇合適的坐標(biāo)系？應(yīng)考慮哪兩個(gè)方面？哪個(gè)方面更重要些？（1）積分區(qū)域）積分區(qū)域（2）被積函數(shù)）被積函數(shù)積分區(qū)域邊界的積分區(qū)域邊界的表達(dá)式簡單，便表達(dá)式簡單，便于定限于定限被積函數(shù)的表達(dá)被積函數(shù)的表達(dá)式簡單，便于積式簡單，便于積分分相對而言，便于積分更重要一些.第38頁/共44頁小結(jié)1.柱面坐標(biāo)系下兩種坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算由柱面與直角坐標(biāo)的關(guān)系cossin(0,02 ,)xyzz z 有( , )(cos,sin, )

16、f x y z dvzfdzd d 體積元素第39頁/共44頁 2211(, )(, )( , , )(cos ,sin , )f x y z dvddfz dz 若 12:,D 則 222:xyDxyR且被積函數(shù)含有 常用極坐標(biāo) 22,yxyx 且被積函數(shù)含有 常用極坐標(biāo) 22,yxyx 的側(cè)面由圓柱面或222:xyDxyR 且被積函數(shù)含有 常用柱坐標(biāo) 第40頁/共44頁2.球面坐標(biāo)由球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：sincos0sinsin,0cos02xrryrzr 2( , , )( , ,s)inf x y z dvF rrdrd d 三重積分在球面坐標(biāo)系下的形式：體積元素其中( , , )(