八年級(jí)最短路徑問(wèn)題歸納小結(jié)

1、八年級(jí)數(shù)學(xué)最短路徑問(wèn)題【問(wèn)題概述】最短路徑問(wèn)題是圖論研究中的一個(gè)經(jīng)典算法問(wèn)題， 旨在尋找圖（由結(jié)點(diǎn)和路徑組成的）中兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑算法具體的形式包括：確定起點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題 - 即已知起始結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問(wèn)題確定終點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題 - 與確定起點(diǎn)的問(wèn)題相反，該問(wèn)題是已知終結(jié)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問(wèn)題確定起點(diǎn)終點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題 - 即已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑全局最短路徑問(wèn)題 - 求圖中所有的最短路徑【問(wèn)題原型】“將軍飲馬”，“造橋選址”，“費(fèi)馬點(diǎn)”【涉及知識(shí)】“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，“垂線(xiàn)段最短”，“三角形三邊關(guān)系”，“軸對(duì)稱(chēng)”，“平移”【出題背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、

2、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線(xiàn)等【解題思路】找對(duì)稱(chēng)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線(xiàn)”轉(zhuǎn)“直”等變式問(wèn)題考查【十二個(gè)基本問(wèn)題】【問(wèn)題1】作法圖形原理在直線(xiàn)l上求一點(diǎn)p，使pa+pb值最小連ab，與l交點(diǎn)即為p兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短pa+pb最小值為ab【問(wèn)題2】“將軍飲馬”作法圖形原理在直線(xiàn)l上求一點(diǎn)p，使pa+pb值最小作b關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)b連a b，與l交點(diǎn)即為p兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短pa+pb最小值為a b【問(wèn)題3】作法圖形原理在直線(xiàn)、上分別求點(diǎn)m、n，使pmn的周長(zhǎng)最小分別作點(diǎn)p關(guān)于兩直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)p和p，連pp，與兩直線(xiàn)交點(diǎn)即為m，n兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短pm+mn+pn的最小值為線(xiàn)段pp的長(zhǎng)【問(wèn)題4】作

3、法圖形原理在直線(xiàn)、上分別求點(diǎn)m、n，使四邊形pqmn的周長(zhǎng)最小分別作點(diǎn)q 、p關(guān)于直線(xiàn)、的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)q和p連qp，與兩直線(xiàn)交點(diǎn)即為m，n兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短四邊形pqmn周長(zhǎng)的最小值為線(xiàn)段pp的長(zhǎng)【問(wèn)題5】“造橋選址”作法圖形原理直線(xiàn)，在、，上分別求點(diǎn)m、n，使mn，且am+mn+bn的值最小將點(diǎn)a向下平移mn的長(zhǎng)度單位得a，連ab，交于點(diǎn)n，過(guò)n作nm于m兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短am+mn+bn的最小值為ab+mn【問(wèn)題6】作法圖形原理在直線(xiàn)上求兩點(diǎn)m、n（m在左），使，并使am+mn+nb的值最小將點(diǎn)a向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位得a，作a關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)a， 連ab，交直線(xiàn)于點(diǎn)n，將n點(diǎn)向左平移個(gè)單位得m兩點(diǎn)之間線(xiàn)段

4、最短am+mn+bn的最小值為ab+mn【問(wèn)題7】作法圖形原理在上求點(diǎn)a，在上求點(diǎn)b，使pa+ab值最小作點(diǎn)p關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)p，作pb于b，交于a點(diǎn)到直線(xiàn)，垂線(xiàn)段最短pa+ab的最小值為線(xiàn)段pb的長(zhǎng)【問(wèn)題8】作法圖形原理a為上一定點(diǎn)，b為上一定點(diǎn)，在上求點(diǎn)m，在上求點(diǎn)n，使am+mn+nb的值最小作點(diǎn)a關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)a，作點(diǎn)b關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)b，連ab交于m，交于n兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短am+mn+nb的最小值為線(xiàn)段ab的長(zhǎng)【問(wèn)題9】作法圖形原理在直線(xiàn)l上求一點(diǎn)p，使的值最小連ab，作ab的中垂線(xiàn)與直線(xiàn)l的交點(diǎn)即為p垂直平分上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等0【問(wèn)題10】作法圖形原理在直線(xiàn)l上求一點(diǎn)p，使的值最大

5、作直線(xiàn)ab，與直線(xiàn)l的交點(diǎn)即為p三角形任意兩邊之差小于第三邊ab的最大值ab【問(wèn)題11】作法圖形原理在直線(xiàn)l上求一點(diǎn)p，使的值最大作b關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)b作直線(xiàn)a b，與l交點(diǎn)即為p三角形任意兩邊之差小于第三邊ab最大值ab【問(wèn)題12】“費(fèi)馬點(diǎn)”作法圖形原理abc中每一內(nèi)角都小于120，在abc內(nèi)求一點(diǎn)p，使pa+pb+pc值最小所求點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”，即滿(mǎn)足apbbpcapc120以ab、ac為邊向外作等邊abd、ace，連cd、be相交于p，點(diǎn)p即為所求兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短pa+pb+pc最小值cd【精品練習(xí)】adepbc1如圖所示，正方形abcd的面積為12，abe是等邊三角形，點(diǎn)e在正方形abcd

6、內(nèi)，在對(duì)角線(xiàn)ac上有一點(diǎn)p，使pd+pe的和最小，則這個(gè)最小值為（ ） a b c3 d2如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形abcd中，abc60，若將acd繞點(diǎn)a旋轉(zhuǎn)，當(dāng)ac、ad分別與bc、cd交于點(diǎn)e、f，則cef的周長(zhǎng)的最小值為（ ）a2bcd43四邊形abcd中，bd90，c70，在bc、cd上分別找一點(diǎn)m、n，使amn的周長(zhǎng)最小時(shí)，amn+anm的度數(shù)為（ ）a120 b130 c110 d1404如圖，在銳角abc中，ab4，bac45，bac的平分線(xiàn)交bc于點(diǎn)d，m、n分別是ad和ab上的動(dòng)點(diǎn)，則bm+mn的最小值是 5如圖，rtabc中，c90，b30，ab6，點(diǎn)e在ab邊上，點(diǎn)d在bc

7、邊上（不與點(diǎn)b、c重合），且edae，則線(xiàn)段ae的取值范圍是 6如圖，aob30，點(diǎn)m、n分別在邊oa、ob上，且om1，on3，點(diǎn)p、q分別在邊ob、oa上，則mppqqn的最小值是_（注“勾股定理”：直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即rtabc中，c90，則有）7如圖，三角形abc中，oabaob15，點(diǎn)b在x軸的正半軸，坐標(biāo)為b(，0)oc平分aob，點(diǎn)m在oc的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)n為邊oa上的點(diǎn)，則mamn的最小值是_8已知a（2，4）、b（4，2）c在軸上，d在軸上，則四邊形abcd的周長(zhǎng)最小值為 ，此時(shí) c、d兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 9已知a（1，1）、b（4，2）（1）p為軸上一動(dòng)點(diǎn)，求pa+pb的最小值和此時(shí)p點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）p為軸上一動(dòng)點(diǎn)，求的值最大時(shí)p點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）cd為軸上一條動(dòng)線(xiàn)段，d在c點(diǎn)右邊且cd1，求當(dāng)ac+cd+db的最小值和此時(shí)c點(diǎn)的坐標(biāo)；10點(diǎn)c為aob內(nèi)一點(diǎn)（1）在oa求作點(diǎn)d，ob上求作點(diǎn)e，使cde的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)畫(huà)出圖形； （2）在（1）的條件下，若aob30，oc10，求cde周長(zhǎng)的最小值和此時(shí)dce的度數(shù)11（1）如圖，abd和ace均為等邊三角形，be、ce交于f，連af，求證：af+bf+cfcd；（2）在abc中，abc30，ab6，bc8，a，c