直線與圓錐曲線的綜合問題

1、第32練直線與圓錐曲線的綜合問題題型分析高考展望本部分重點考查直線和圓錐曲線的綜合性問題，從近幾年的高考試題來看，除了在解答題中必然有直線與圓錐曲線的聯(lián)立外，在填空題中出現(xiàn)的圓錐曲線問題也經(jīng)常與直線結(jié)合起來.本部分的主要特點是運算量大、思維難度較高，但有時靈活地借助幾何性質(zhì)來分析問題可能會收到事半功倍的效果.預(yù)測在今后高考中，主要圍繞著直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行命題，有時會與向量的共線、模和數(shù)量積等聯(lián)系起來；對于方程的求解，不要忽視軌跡的求解形式，后面的設(shè)問將是對最值、定值、定點、參數(shù)范圍的考查，探索類和存在性問題考查的概率也很高.?？碱}型精析題型一直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用例1(1)(

2、2015福建改編)已知橢圓e：1(ab0)的右焦點為f，短軸的一個端點為m，直線l：3x4y0交橢圓e于a，b兩點.若afbf4，點m到直線l的距離不小于，則橢圓e的離心率的取值范圍是_.(2)設(shè)焦點在x軸上的橢圓m的方程為1 (b0)，其離心率為.求橢圓m的方程；若直線l過點p(0,4)，則直線l何時與橢圓m相交？點評對于求過定點的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一是利用方程的根的判別式來確定，但一定要注意，利用判別式的前提是二次項系數(shù)不為零；二是利用圖形來處理和理解；三是直線過定點位置不同，導(dǎo)致直線與圓錐曲線的位置關(guān)系也不同.變式訓(xùn)練1已知橢圓c：1(ab0)的焦距為4，且過點p(，).(1

3、)求橢圓c的方程；(2)設(shè)q(x0，y0)(x0y00)為橢圓c上一點，過點q作x軸的垂線，垂足為e.取點a(0,2)，連結(jié)ae，過點a作ae的垂線交x軸于點d.點g是點d關(guān)于y軸的對稱點，作直線qg，問這樣作出的直線qg是否與橢圓c一定有唯一的公共點？并說明理由.題型二直線與圓錐曲線的弦的問題例2設(shè)橢圓c：1 (ab0)的左，右焦點分別為f1，f2，且焦距為6，點p是橢圓短軸的一個端點，pf1f2的周長為16.(1)求橢圓c的方程；(2)求過點(3,0)且斜率為的直線l被橢圓c所截得的線段中點的坐標(biāo).點評直線與圓錐曲線弦的問題包括求弦的方程，弦長，弦的位置確定，弦中點坐標(biāo)軌跡等問題，解決這些

4、問題的總體思路是設(shè)相關(guān)量，找等量關(guān)系，利用幾何性質(zhì)列方程(組)，不等式(組)或利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，使問題解決.變式訓(xùn)練2在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓c的中心在原點o，焦點在x軸上，短軸長為2，離心率為.(1)求橢圓c的方程；(2)a，b為橢圓c上滿足aob的面積為的任意兩點，e為線段ab的中點，射線oe交橢圓c于點p.設(shè)t，求實數(shù)t的值.高考題型精練1.(2015北京)已知橢圓c：x23y23，過點d(1,0)且不過點e(2,1)的直線與橢圓c交于a，b兩點，直線ae與直線x3交于點m.(1)求橢圓c的離心率；(2)若ab垂直于x軸，求直線bm的斜率；(3)試判斷直線bm與直

5、線de的位置關(guān)系，并說明理由.2.如圖，已知拋物線c的頂點為o(0，0)，焦點為f(0,1).(1)求拋物線c的方程；(2)過點f作直線交拋物線c于a，b兩點.若直線ao、bo分別交直線l：yx2于m、n兩點，求mn的最小值.3.(2015南京模擬)已知拋物線c的頂點為原點，其焦點f(0，c)(c0)到直線l：xy20的距離為.設(shè)p為直線l上的點，過點p作拋物線c的兩條切線pa，pb，其中a，b為切點.(1)求拋物線c的方程；(2)當(dāng)點p(x0，y0)為直線l上的定點時，求直線ab的方程；(3)當(dāng)點p在直線l上移動時，求afbf的最小值.4.已知點a，b是拋物線c：y22px (p0)上不同的

6、兩點，點d在拋物線c的準(zhǔn)線l上，且焦點f到直線xy20的距離為.(1)求拋物線c的方程；(2)現(xiàn)給出以下三個論斷：直線ab過焦點f；直線ad過原點o；直線bd平行于x軸.請你以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題，并加以證明.答案精析第32練直線與圓錐曲線的綜合問題?？碱}型典例剖析例1(1)解析設(shè)左焦點為f0，連結(jié)f0a，f0b，則四邊形afbf0為平行四邊形.afbf4，afaf04，a2.設(shè)m(0，b)，則，1b2.離心率e .(2)解因為橢圓m的離心率為，所以2，得b22.所以橢圓m的方程為1.()過點p(0,4)的直線l垂直于x軸時，直線l與橢圓m相交.(

7、)過點p(0,4)的直線l與x軸不垂直時，可設(shè)直線l的方程為ykx4.由消去y，得(12k2)x216kx280.因為直線l與橢圓m相交，所以(16k)24(12k2)2816(2k27)0，解得k.綜上，當(dāng)直線l垂直于x軸或直線l的斜率的取值范圍為時，直線l與橢圓m相交.變式訓(xùn)練1解(1)由已知條件得橢圓c的焦點為f1(2,0)，f2(2,0)，pf121，pf221，2apf1pf24，則a2.b2a2c24，因此橢圓c的方程為1.(2)設(shè)d(x1,0)，(x1,2)，(x0,2)；由，得0，則g(x1,0)x1x080，則x1，kqg，直線qg的方程為y(x0x8)，又1，y4(8x)，

8、可得y(x0x8)，將代入1整理得8x216x0x8x0，(16x0)2464x0，直線qg與橢圓c一定有唯一的公共點.例2解(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，則由題意，可得解得所以b2a2c2523216.故所求橢圓c的方程為1.(2)方法一過點(3,0)且斜率為的直線l的方程為y(x3)，將之代入c的方程，得1，即x23x80.因為點(3,0)在橢圓內(nèi)，設(shè)直線l與橢圓c的交點為a(x1，y1)，b(x2，y2)，因為x1x23，所以線段ab中點的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為(3).故所求線段的中點坐標(biāo)為.方法二過點(3,0)且斜率為的直線l的方程為y(x3)，因為(3,0)在橢圓內(nèi)，所以直線l與橢圓有兩個交

9、點，設(shè)兩交點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，中點m的坐標(biāo)為(x0，y0)，則有由，得，即.又y0(x03), 所以故所求線段的中點坐標(biāo)為.變式訓(xùn)練2解(1)設(shè)橢圓c的方程為1(ab0)，則解得a，b1，故橢圓c的方程為y21.(2)當(dāng)a，b兩點關(guān)于x軸對稱時，設(shè)直線ab的方程為xm，由題意得m0或0m0，所以t2或t.當(dāng)a，b兩點關(guān)于x軸不對稱時，設(shè)直線ab的方程為ykxn，由得(12k2)x24knx2n220.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，由16k2n24(12k2)(2n22)0得12k2n2.此時x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2n.所以ab2 .又點o到

10、直線ab的距離d.所以saobdab2 .|n|.令r12k2代入上式得：3r216n2r16n40.解得r4n2或rn2，即12k24n2或12k2n2.又tt()t(x1x2，y1y2).又點p為橢圓c上一點，所以t21，即t21.由得t24或t2.又t0，故t2或t.經(jīng)檢驗，適合題意.綜合得t2或t.?？碱}型精練1.解(1)橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21，所以a，b1，c.所以橢圓c的離心率e.(2)因為ab過點d(1,0)且垂直于x軸，所以可設(shè)a(1，y1)，b(1，y1)，直線ae的方程為y1(1y1)(x2)，令x3，得m(3,2y1)，所以直線bm的斜率kbm1.(3)直線bm與直線d

11、e平行，證明如下：當(dāng)直線ab的斜率不存在時，由(2)可知kbm1.又因為直線de的斜率kde1，所以bmde，當(dāng)直線ab的斜率存在時，設(shè)其方程為yk(x1)(k1)，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則直線ae的方程為y1(x2).令x3，得點m，由得(13k2)x26k2x3k230，所以x1x2，x1x2，直線bm的斜率kbm，因為kbm10所以kbm1kde.所以bmde，綜上可知，直線bm與直線de平行.2.解(1)由題意可設(shè)拋物線c的方程為x22py(p0)，則1，所以拋物線c的方程為x24y.(2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，直線ab的方程為ykx1.由消去y，整理得

12、x24kx40，所以x1x24k，x1x24.從而|x1x2|4.由解得點m的橫坐標(biāo)xm.同理點n的橫坐標(biāo)xn.所以mn|xmxn|8.令4k3t，t0，則k.當(dāng)t0時，mn2 2.當(dāng)t0，解得c1.所以拋物線c的方程為x24y.(2)由yx2得yx，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則切線pa，pb的斜率分別為x1，x2，所以切線pa的方程為yy1(xx1)，即yxy1，即x1x2y2y10.同理可得切線pb的方程為x2x2y2y20，又點p(x0，y0)在切線pa和pb上，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)為方程x0x2y02y0 的

13、兩組解，所以直線ab的方程為x0x2y2y00.(3)由拋物線定義知afy11，bfy21，所以afbf(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，聯(lián)立方程消去x整理得y2(2y0x)yy0，所以y1y2x2y0，y1y2y，所以afbfy1y2(y1y2)1yx2y01y(y02)22y012y2y0522，所以當(dāng)y0時，afbf取得最小值，且最小值為.4.解(1)拋物線c：y22px (p0)的焦點為f，依題意得d，解得p2，拋物線c的方程為y24x.(2)命題.若直線ab過焦點f，且直線ad過原點o，則直線bd平行于x軸.設(shè)直線ab的方程為xty1，a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得y24ty40，y1y24.直線ad的方程為yx，點d的坐標(biāo)為.y2.直線bd平行于x軸.命題：若直線ab過焦點f，且直線bd平行于x軸，則直線ad過原點o.設(shè)直線ab的方程為xty1，a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得y24ty40，y1y24