2024年1月高考適應性測試“九省聯(lián)考”數(shù)學 試題（學生版+解析版）

2024年1月普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試適應性測試（九省聯(lián)考）

數(shù)學試題

注意事項：

].答卷前，考生務必將自己的考生號、姓名、考點學校、考場號及座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需要

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為（）

A.14B.16C.18D.20

2.橢圓-7+丁2=1（〃〉1）的離心率為3，則。=（）

a

A.￥B.72c.73D.2

3.記等差數(shù)列｛a〃｝的前〃項和為5“,%+%=6,%2=17,則S]6=（）

A.120B.140C.160D.180

4.設名廠是兩個平面，機，/是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）

K.若a工B，m〃a,l〃0,則B.若mua,lu0,m〃I,則

C.若a/3=m,l//a,l///3,則加〃/D.若"z_L_L6,加〃/,則。

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（）

A.20種B.16種C.12種D.8種

6.已知。為直線/：x+2y+l=0上的動點，點「滿足QP=（1,—3）,記P的軌跡為E，貝U（）

A.E是一個半徑為班的圓B.E是一條與/相交的直線

C.E上的點到/的距離均為百D.E是兩條平行直線

7.已知[2，7i],tan2，=-4tan[，+^],貝[j—]；，析2"_=（）

14）I4）2cos20+sin29

133

A.-B.-C.1D.-

442

22

8.設雙曲線C:=-==1（。>0/>0）的左、右焦點分別為可，工，過坐標原點的直線與C交于A3兩點,

ab

國4=2閨4月1.辜=4。2,則C的離心率為（）

A.0B.2C.6D.不

二、選擇題：本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.

3兀3兀

9.已知函數(shù)/(x)=sin|2%+:-|+cos|2x+：則()

44

函數(shù)/卜一:

A.偶函數(shù)

B.曲線y=/（x）對稱軸為％=也,左?Z

兀71

/（%）在區(qū)間單調(diào)遞增

W'5

D./（%）的最小值為-2

10.已知復數(shù)z,w均不為0,則（）

Z

A.Z2=1zI2B.■=?

z

zz

C.z—w=z—wD.

W

11.已知函數(shù)了（%）的定義域為R,且//。，若/'（%+、）+/（%）/（?。?4母，則（）

A.0-2

c.函數(shù)/卜一gD.函數(shù)/x+g是減函數(shù)

是偶函數(shù)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知集合A={—2,0,2,4},3={x||x-3|<m},若AB=A,則加的最小值為

13.己知軸截面為正三角形的圓錐W的高與球0的直徑相等，則圓錐W的體積與球0的體積的比值

是，圓錐W的表面積與球。的表面積的比值是.

14.以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).設0＜。＜6＜。＜1,已知622?；騛+Z?Wl,則

max{》一a,c一41一c}的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/'(%)=11吠+/+依+2在點(2,/(2))處的切線與直線2%+3丁=0垂直.

(1)求。；

(2)求/(%)的單調(diào)區(qū)間和極值.

16.盒中有標記數(shù)字1,2,3,4的小球各2個，隨機一次取出3個小球.

(1)求取出3個小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；

(2)記取出的3個小球上的最小數(shù)字為X,求X的分布列及數(shù)學期望E(X).

17.如圖，平行六面體ABCD-44GR中，底面A3CD是邊長為2的正方形，。為AC與3D的交點,

懼=2,/qcB=ZQCD^QCO=45°.

(1)證明：平面A3CD；

(2)求二面角5-A4-。正弦值.

18.已知拋物線C：V=4x的焦點為歹，過歹的直線/交C于4,3兩點，過/與/垂直的直線交。于D,E

兩點，其中瓦。在x軸上方，M,N分別為的中點.

(1)證明：直線MN過定點；

(2)設G為直線AE與直線3D交點，求GMN面積的最小值.

19.離散對數(shù)在密碼學中有重要的應用.設。是素數(shù)，集合X={1,2,、。一1},若M,neX,7"eN^〃區(qū)v

為除以。的余數(shù)，M"偽為除以。的余數(shù)；設aex,1,a,1巴.修兩兩不同，若

an^=b(ne(0,1,；p-2}),則稱“是以。為底h的離散對數(shù)，記為〃=log(。)).

(1)若p=H,a=2,求嚴-?；

(2)對e{O,l,..,p-2},記外十性為叫+鈾除以。一1的余數(shù)(當外+根2能被P—1整除時,

叫十加2=0).證明：log5)03區(qū)c)=log(p)ab十log(p)aC,其中仇ceX；

(3)已知〃=log(“6.對xeX,左e{l,2,」.,p-2},令％=a*像,%=》兇。*偽.證明：

x=%"(k2),?.

2024年1月普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試適應性測試（九省聯(lián)考）

數(shù)學試題

注意事項：

].答卷前，考生務必將自己的考生號、姓名、考點學校、考場號及座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需要

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為（）

A.14B.16C.18D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由中位數(shù)定義即可得.

【詳解】將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,

則其中位數(shù)為16.

故選：B.

2.橢圓一+丁=1（?！?）的離心率為《，則。=（）

a

A.￥B.72c.73D.2

【答案】A

【解析】

【分析】由橢圓的離心率公式即可求解.

【詳解】由題意得e==解得a=2叵,

a23

故選：A.

3.記等差數(shù)列｛〃〃｝的前幾項和為51,%+%=6嗎2=17,貝！JSi6=（）

A.120B.140C.160D.180

【答案】c

【解析】

【分析】利用下標和性質(zhì)先求出%+。12的值，然后根據(jù)前〃項和公式結(jié)合下標和性質(zhì)求解出耳6的值.

【詳解】因為。3+%=2%=6,所以%=3,所以。5+%2=3+17=20,

所以S[6==8（%+《2）=160,

故選：C.

4.設名廠是兩個平面，機』是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）

A.韭a，B，m〃a,U/§,則B.若mua,lu0,m〃l,則a〃1

C.若a13=m,l//a,l///3,則加〃/D.若"z_La,/_L尸，加〃/,則tzl?尸

【答案】C

【解析】

【分析】由線面平行性質(zhì)判斷真命題，舉反例判定假命題即可.

【詳解】對于A,m,/可能平行，相交或異面，故A錯誤，對于B,名P可能相交或平行，故B錯誤，

對于D,名A可能相交或平行，故D錯誤，由線面平行性質(zhì)得C正確，

故選：C

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（）

A.20種B.16種C.12種D.8種

【答案】B

【解析】

【分析】分類討論：乙丙及中間2人占據(jù)首四位、乙丙及中間2人占據(jù)尾四位，然后根據(jù)分類加法計數(shù)原理

求得結(jié)果.

【詳解】因為乙和丙之間恰有2人，所以乙丙及中間2人占據(jù)首四位或尾四位，

①當乙丙及中間2人占據(jù)首四位，此時還剩末位，故甲在乙丙中間，

排乙丙有A；種方法，排甲有&種方法，剩余兩個位置兩人全排列有A；種排法，

所以有A；xA；xA：=8種方法；

②當乙丙及中間2人占據(jù)尾四位，此時還剩首位，故甲在乙丙中間,

排乙丙有A；種方法，排甲有6種方法，剩余兩個位置兩人全排列有A；種排法,

所以有人盹人"人；=8種方法；

由分類加法計數(shù)原理可知，一共有8+8=16種排法，

故選：B.

6.已知。為直線/：x+2y+l=0上的動點，點尸滿足。尸=（1,一3）,記尸的軌跡為E,則（）

A.E是一個半徑為石的圓B.E是一條與/相交的直線

C.E上的點到/的距離均為&D.E是兩條平行直線

【答案】C

【解析】

【分析】設？（羽y）,由QP=（1,-3）可得。點坐標，由。在直線上，故可將點代入坐標，即可得尸軌跡E,

結(jié)合選項即可得出正確答案.

【詳解】設尸（蒼y）,由QP=（1,—3）,則。（元—l,y+3）,

由。在直線/：x+2y+l=0上，故x—l+2（y+3）+l=0,

化簡得x+2y+6=0,即尸軌跡為E為直線且與直線/平行，

E上的點到/的距離=故A、B、D錯誤，C正確.

Vl2+22

故選：C.

_,八八13兀）".（八兀l+sin26、

7.已知丁，兀，tan26=-4tan:，則--------------二（）

14）I4）2cos2e+sin29

.I3

A.—B.—C.1

44

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)正弦、余弦、正切二倍角公式，將就湍力齊次化即可得出答案

【詳解】由題，4手,兀"112，=-短11］，+：7C）,

4

4曰2tan3—4(tan^+l)/八?n

得---------=——----------^>-4(tan6^+1)=2tan8,

1-tan2^1—tan。v7

則(2tan8+D(tan6+2)=0=>tan8=-2或tan9=-g,

371所以tan9=—!,

因為?！?tan<9G(-1,0)

T,7L2

l+sin26_sin2^+cos2^+2sin^cos0_tan2^+l+2tan^

2cos28+sin262cos2^+2sin^cos^2+2tan0

~2+(-1)~4

故選：A

22

8.設雙曲線C:\-斗=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為耳，工，過坐標原點的直線與C交于兩點,

ab

出同=2閨4月A書8=4°2,則c的離心率為()

A.72B.2C.喬D.5

【答案】D

【解析】

【分析】由雙曲線的對稱性可得忸A|=|6隊閨用=|%4|且四邊形至5巴為平行四邊形，由題意可得出

NFIBF、,結(jié)合余弦定理表示出與。、C有關齊次式即可得離心率.

由雙曲線的對稱性可知閨旬=月耳，閨同=住H，有四邊形AK3鳥為平行四邊形,

令閨川=|耳目=加，則閨國=|與4|=2m,

由雙曲線定義可知|巴川一|￡旬=2a,故有2m-加=2a,即m=2a,

即閨旬=隹_8]=m=2a,閨因=|gA1=4a,

2

F2AF^B=|F,A|-|2^B|COSZAF、B=lax4acosZAF^B=4a,

則cosNAEB=；,即乙明3=告，故/乙期=留

山砰+優(yōu)同2_山用2

(4a)2+(2a)2-(2c)21

則有cosAFBF=

2X2忸碼工邳2x4?x2tz2

Rri20tz"—4c"1nn204e?11ml，

即-------——=——，即--------=一一，貝I]/=7，由e>l,故,e=幣.

16a2216162

故選：D.

【點睛】關鍵點睛：本題考查雙曲線的離心率，解題關鍵是找到關于“、b.C之間的等量關系，本題中

結(jié)合題意與雙曲線的定義得出陽H、怩到與。的具體關系及/月期的大小，借助余弦定理表示出與

。、c有關齊次式，即可得解.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

3兀3兀

9.已矢口函數(shù)/(x)=sin2%+——+cos2x+——,貝1J()

44

A.函數(shù)/—為偶函數(shù)

B.曲線y=/(x)對稱軸為％=E，4wZ

C."%)在區(qū)間單調(diào)遞增

D.〃尤)的最小值為-2

【答案】AC

【解析】

【分析】利用輔助角公式化簡〃x)=sin2x+7+cos2x+彳，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即

可.

【詳解】/(x)=sinl2x+—+cos2x+型

I4

sin2xcos—+sin-cos2x+cos2xcos--sin2xsin-

4444

——d-sin2x+cos2x————cos2x-sin2x-—，

2222

即/(x)=—0sin2九,

對于A,/[x—：J=—J5sin[2x—]J=A/5cos2x,易知為偶函數(shù)，所以A正確；

對于B,/'(%)=—0sin2尤對稱軸為2%=巴+碗,左eZ=>x=3+&二左eZ,故B錯誤;

v7242

對于C,y=sin2x單調(diào)遞減，則

/(%)=—啦sin2x單調(diào)遞增，故C正確；

對于D,/(%)=-V2sin2%,則sin2xe[—1,1],所以〃x)e[—行,行],故D錯誤；

故選：AC

10.已知復數(shù)z,w均不為o,則()

9.OZZ2

A.z=|z|B,-=-~~v

ZZ

__Z_z

C.z—w=z—wD.—=

WW

【答案】BCD

【解析】

【分析】設出z="+歷、w=c+di,結(jié)合復數(shù)的運算、共輾復數(shù)定義及復數(shù)的模的性質(zhì)逐個計算即可得.

【詳解】設z=〃+歷（Q,beR）、w=c+M（c,dwR）；

對A：設2=〃+歷（Q,b￡R）,則z?=（〃+藥y="+2〃歷一人2=々2一人2+2〃歷，

22222

|z|=pa+/,=a+b,故A錯誤；

對B：W、又Jz=|目2,即有5=3"，故B正確；

zz-zZ\z\

對C：z-w=a+bi-c-di=a-c+(b-d^i,則z-w=a-c-3一d)i,

z=a—bi，w—c—di貝!Jz—w=a—bi—c+di=a—c—(/?—d)i,

即有z—w=z—w，故C正確;

za+歷")(c—di)ac+bd-(ad-bc)i

對D：

wc+di(c+di)(c-di)c2+d2

\(ac+bd^ad-be，Ia?。?+2abed+b?d?+〃2d?-2abed+b?，

+口+/1-4(c2+J2)2

_la2c2+b2d2+a2d2+b2c2_yla2c2+lrd-+(rd-+b2c2

—{(c2+J2)2—八/'

|Z|=V^7^向^義廬彳#2+/匠+屋)

H芯+/c2+J2c2+d2

_1a2c2+6*+a2d2+b2d,

c1+d2

,zz

故一故D正確.

ww

故選：BCD.

11.已知函數(shù)八％)的定義域為R,且/1g＞0,若/■(x+y)+/(x)/(y)=4孫，則()

A.f0-2

C.函數(shù)/卜一gD.函數(shù)/x+g是減函數(shù)

是偶函數(shù)

【答案】ABD

【解析】

【分析】對抽象函數(shù)采用賦值法，令》=^、＞=°，結(jié)合題意可得/(o)=—1，對A：令x=g、＞=°，

代入計算即可得；對B、C、D：令y=-g,可得(x—2x,即可得函數(shù)/[x—g及函數(shù)/x+g

函數(shù)的性質(zhì)，代入x=l,即可得了

【詳解】令x=；、y=o,則有1/〃。)=/出口+/(。)]=

x0,

2

又了w0,故1+/(0)=0,即/(0)=—1,

令x=；、y=—g，則有了

1.14x-x

222

由/(O)=T，可得=

又故/|一；)=0,故A正確;

令y=-g,則有小_gj+〃x)d=4xx

即/[x-g)=-2x,故函數(shù)是奇函數(shù)，

有/1x+1—2）=—2（x+1）=—2x—2,即fx+—j=—2x—2,

即函數(shù)+是減函數(shù)，

令x=l,有/[3]=-2*1=一2,

故B正確、C錯誤、D正確.

故選：ABD.

【點睛】關鍵點睛：本題關鍵在于利用賦值法解決抽象函數(shù)問題，借助賦值法，得到/(o)=-1，再重新

賦值，得到=0,再得到/[x—；]=-2x.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合4={—2,0,2,4},3={用尤—3區(qū)m},若AB=A,則m的最小值為.

【答案】5

【解析】

【分析】由A5=A可得A。5,解出集合3后結(jié)合集合的關系計算即可得.

【詳解】由AB=A,故AgB,

由上一3|〈根，得一"+3<%〈加+3,

4<m+3fm>1

故有《c，即〈廠，即加25,

-2>-m+3[m>5

即為的最小值為5

故答案為:5.

13.已知軸截面為正三角形的圓錐MM'的高與球0的直徑相等，則圓錐腦0'的體積與球。的體積的比值

是,圓錐W的表面積與球。的表面積的比值是.

2

【答案】j②.1

【解析】

【分析】設圓錐的底面圓半徑廠以及球的半徑R，用廠表示出圓錐的高/?和母線/以及球的半徑R，然后根

據(jù)體積公式求出體積比，根據(jù)表面積公式求得表面積之比.

【詳解】設圓錐的底面半徑為「，球的半徑為R，

因為圓錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高=母線/=2r,

由題可知：h=2R,所以球的半徑H=走一

2

所以圓錐的體積為匕

4a

球的體積匕=—兀斤

3

v3/

所以凸=今——=T

%近兀/3

2

圓錐的表面積S1-nrl+=3兀/,

球的表面積S?=4兀氏2=4兀

,S3>nr

所CCI以TTl=―?=1，

2

S23nr

..2

故答案為：—;1.

14.以maxM表示數(shù)集Af中最大的數(shù).設0＜。＜匕＜。＜1,已知b22a或,則

max｛。一a,c—仇1-c｝的最小值為

【答案】5#0.2

【解析】

Z?—1—n—p

【分析】利用換元法可得＜?，進而根據(jù)不等式的性質(zhì)，分情況討論求解.

a=l—m—n—p

【詳解】令人一〃二機,。一人=〃,1一。=P,其中機,〃,。＞。，

b=l-n-p

所以

a=l-m-n-p

若則6=1—八一022（1—加一72—2），故27〃+"+p21,

☆M=max{b-a,c-b』-c}=max{m,",p},

2M>2m

因此＜M>n，故4M22wi+〃+p?1,則Af2工，

4

M>p

若a+bWl,貝！|1一”一，+1-祖一”-。＜1,即根+2〃+2P21,

M=max[b-a,c-b,l-c]=max[m,n,p],

M>m

則<2M>2〃，故5M2m+2〃+2P21,則Af21，

2M>2p'：

當根=2"=2P時，等號成立,

綜上可知max｛。-a,c-d1—c｝的最小值為g,

故答案

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用換元法，在622。和a+bVl前提下進行合理分類討論，根據(jù)題意

得到相對應的不等式組，注意題目的條件關鍵詞是“或”.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/（X）=1IIV+X2+G；+2在點（2,/（2））處的切線與直線2x+3y=0垂直.

（1）求。；

（2）求/（九）單調(diào)區(qū)間和極值.

【答案】（1）a=-3

（2）單調(diào)遞增區(qū)間為［o,；］、。,轉(zhuǎn)），單調(diào)遞減區(qū)間為（：』），極大值ln2,極小值0

【解析】

【分析】(1)結(jié)合導數(shù)的幾何意義及直線垂直的性質(zhì)計算即可得;

(2)借助導數(shù)可討論單調(diào)性，即可得極值.

【小問1詳解】

11g

=—+2x+a,則—+2x2+a=—+a,

x22

——1,解得a=—3；

【小問2詳解】

由。二一3,故/(x)=lnx+九2-31+2,

則人力」+21=4一3巾=(2上川23，

XXX

故當O<X<J時，用或>。，當工<X<1時，r(x)<0,當X>1時，>0,

22

故“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為［o,g］、(L+8),"%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(glj

故了(%)有極大值=+-3x-+2=--ln2,

y2)212)24

有極小值/(1)=Inl+儼—3x1+2=0.

16.盒中有標記數(shù)字1,2,3,4的小球各2個，隨機一次取出3個小球.

(1)求取出的3個小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；

(2)記取出的3個小球上的最小數(shù)字為X,求X的分布列及數(shù)學期望￡(X).

4

【答案】(1)-

7

(2)分布列見解析，E(X)=；

【解析】

【分析】(1)先確定3個不同數(shù)字的小球，然后再從確定的每種小球中取1個，通過計算可求符合要求的取

法數(shù)，再除以總的取法數(shù)可得結(jié)果；

(2)先確定X的可取值為1,2,3,然后計算出不同取值的概率，注意X的每種取值對應兩種情況，由此可

求分布列和期望E(X).

【小問1詳解】

記“取出的3個小球上的數(shù)字兩兩不同”為事件M，

先確定3個不同數(shù)字的小球，有C；種方法，

然后每種小球各取1個，有C；xC；xC；種取法,

所以

8

【小問2詳解】

由題意可知，X的可取值為1,2,3,

當X=1時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為1的小球、有兩個數(shù)字為1的小球，

所以p(x=i)=^K12a=:；

8

當X=2時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為2的小球、有兩個數(shù)字為2的小球,

所以P(X=2)=弋耳=：

8

當X=3時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為3的小球、有兩個數(shù)字為3的小球，

c1c2r2rli

所以P(X=3)=。2工9=(,

所以X的分布列為：

X123

921

P———

14714

921in

所以石(X)=lx五+2x,+3x值=7.

17.如圖，平行六面體ABC?！?底面A3CD是邊長為2的正方形，。為AC與3D的交點,

〃=2,NC[CB=ZQCD^QCO=45°.

AB

(1)證明：平面ABCD；

(2)求二面角3-A4-￡＞的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明即可.

(2)建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角的正弦值.

【小問1詳解】

連接Be”。。],

因為底面A3CD是邊長為2的正方形，所以BC=Z)C,

又因NC〔CB=Z,CyCD,CC,=CQ,

所以C[CB三CCD,所以3G=DC],

點0為線段BD中點，所以

在△C]CO中，=2,CO=；AC=0,NC]CO=45°,

所以cosZQCO=—=G02+℃2-G02=CQ=e,

122xQCxOC

則qc2=oc2+CO=>cpioc,

又OCBD=O,OCu平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以G。，平面A3CD.

【小問2詳解】

由題知正方形A3CD中AC13D,平面A3CD,所以建系如圖所示,

則用0,倉0),￡>(0,一應,0),A(立0,0),汽―仁,0,0),G(0,0,72),

則A41=CC；=(四,0,&),

AB=(-V2,A0),AD=(-A-V2,0),

設面BAA的法向量為m=（%,%,zj,面DAAX的法向量為“=（無2，%*2）,

AA-m=05/2%1+A/^Z]=0

則｛二>n加二（1』,一1）,

AB-m=0—yf2xy+A/^必=0

設二面角B-AA】-。大小為e,

m-n11nsin。=A/1-COS20=^2L

則“穴萬村3

3'

所以二面角5-A4-D的正弦值為述.

3

18.已知拋物線C:/=4x的焦點為歹，過歹的直線/交C于43兩點，過B與/垂直的直線交C于。,E

兩點，其中瓦。在X軸上方，M,N分別為A3,OE的中點.

（1）證明：直線MN過定點；

（2）設G為直線AE與直線3D的交點，求一GMN面積的最小值.

【答案】（1）證明見解析

(2)8

【解析】

【分析】（1）設出直線A3與直線CD的方程，聯(lián)立曲線后得到與縱坐標有關韋達定理，結(jié)合題意，表示出

直線后即可得定點坐標；

（2）設出直線AE與直線8。的方程，聯(lián)立兩直線后結(jié)合第一問中韋達定理得出點G的橫坐標恒為T,再

結(jié)合面積公式及基本不等式即可得.

【小問1詳解】

由C:y2=4x,故尸（1,0）,由直線AB與直線CD垂直，

故兩只直線斜率都存在且不為0,

設直線AB、C￡>分別為％=叫丁+1、x^m2y+l,有叫，九2=T，

人（石,M）、5（超,%）、E（W，%）、。（玉，”），

y2=4JC

聯(lián)立C：y2=4x與直線AN,即有廠,

x=m1y+1

消去無可得y?—4加］y一4=0,A=16琳+16>0,

故%+%=4叫、%%=-4，

則菁+兄2=見％+1+班％+1=仍（%+%）+2=4懷+2,

故與三=2喈+1,巧匹=2嗎，

即加（2而+1,2仍），同理可得N（2潴+1,2^

當2mf+1w2局+1時，

則/2=2京7武+1）（1喈-1）+2%

即尸竽4—1）+2叫=^-小+汕…

7

用一列'叱+m1m2+叫

x2訴+1-2mm2-2而x1-2州g

—l—,

m

m2+叫g+班生+班2+叫

x1+21/

由叫加2=_］，即,=-----------------=--------（冗—3）,

m2+m1Hi2+叫根2+叫

故x=3時，有'=（3-3）=0,

m2+叫

此時過定點，且該定點為（3,0）,

當2"+1=2冽；+1時，即訴=酒時，由叫加2=-1，即叫=±1時,

有“v：x=2+l=3,亦過定點（3,0）,

故直線過定點，且該定點為（3,0）；

【小問2詳解】

由4（%，%）、3（%2，%）、石（七，%）、。（匕，為），

則金：y=8”.（x—xJ+弘,由才=4占、￡=4.

九3—石

下一%—X仆yf),.._4xyr￡+4xM%

i7y——2---5%----十X----------------1---------------1------

改為_2￡l4)%+%為+%為+%%+%%+%'

44

4x?丁。3

y二

74xy?y4%+X%+x

同理可得，Bo：y=+，聯(lián)立兩直線，即

%+%%+%4x?%%

y二

%+%

有上+4=上+4

%+%%+%%+乂/+%

即4x(%+%)+%%(%+%)=4x(%+X)+%%(%+X)，

七%%(為+%)—%%(%+%),4口由/

有了=----S----------———L,由斗乂二-4，同理y3y4=-4,

4(%+%—%—%)

故%=%%(%+/)-%%(%+%)=%%乂+2y4—xy3y4—

1-4(%+%—%—%)4(乂+為一%一X)

=-4(%+%-%-%)=]

4(%+%-%—X)^

故%=-1，

過點G作GQ〃x軸，交直線MV于點。，則SGW=；N—W岡X?！猉G|,

由Af(2*+1