換元法計算三重積分

1、第三節(jié)三重積分 換元法計算三重積分換元法計算三重積分一、柱面坐標求三重積分二、球面坐標求三重積分回顧回顧 三重積分的概念三重積分的概念 類似二重積分解決問題的思想, 采用kkkkv),( ),(kkkkv引例引例: 設在空間有限閉區(qū)域 內分布著某種不均勻的物質,),(czyx求分布在 內的物質的可得nk 10limm“分割分割, 近似近似, 求和求和, 取極限取極限”解決方法解決方法:質量 m .密度函數(shù)為定義定義. . 設,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(稱為體積元素體積元素, vd.dddzyx若對 作任意分割任意分割:

2、 任意取點任意取點則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分三重積分.在直角坐標系下常寫作),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘 積和式” 極限記作記作1. 利用直角坐標計算三重積分利用直角坐標計算三重積分方法方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后一”) ,0),(zyxf先假設連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 通過計算該物體的質量引出下列各計算最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計算. 的密度函數(shù) , 方法:方法方法1 . 1 . 投影法 (“先一后二”) 找 及在 面投影區(qū)域d。過d上一點 “穿線”確定 的積分上下限，完成了“先一”這一步（定積分）；進而按照二重積分的計算

3、步驟計算投影區(qū)域d上的二重積分，完成”后二“這一步。xoy( , )x yz21( , )( , )d d( , , )dzx ydzx yx yf x y zzvzyxfd),(cd方法方法2. 2. 截面法截面法 (“(“先二后一先二后一”) )( ,):zx ydczd為底, d z 為高的柱形薄片質量為zd以xyz該物體的質量為vzyxfd),(bazdyxzyxfdd),(zdbayxzyxfzdd),(dzdzzdzdyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd記作oxyz2. 2. 利用柱坐標計算三重積分利用柱坐標計算三重積分 ,r),(3zyxm設,代替用極坐標將yx),

4、z（則就稱為點m 的柱坐標.z200sinyzz cosx直角坐標與柱面坐標的關系:常數(shù)坐標面分別為圓柱面常數(shù)半平面常數(shù)z平面oz),(zyxm)0 ,(yx 如圖所示, 在柱面坐標系中體積元素為，在二重積分的時候我們講過極坐標的轉化 面積微元為 zzdddzvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zf其中),sin,cos(),(zfzf適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單方程簡單 ;2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用柱面坐標表示時變量互相分離變量互相分離.zdddxyzodddd d 體積微元其中為由例例1. 1. 計算三重積分zyxyxzddd22xyx2220)

5、,0(, 0yaazz所圍解解: 在柱面坐標系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzo20dazz0dzzddd2原式398a柱面cos2成半圓柱體.先二后一o oxyz例例2.2. 計算三重積分解解: 在柱面坐標系下h:24drhzhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中由拋物面24原式 =22241d d1hrdx ydzxy例例3. 3. 計算三重積分,)(222zdydxdzyx22yxz為錐面2222rzyx解解: 在柱面坐標系

6、下:zyxzyxddd)(222所圍立體.02r222zr 20其中 與球面2222(z ) drz)22(515r20drr20dxyzo4rr 注：這個式子雖容易寫出，但是要求積分結果非常難，我們能不能找到更加簡便的方法來研究這道題目呢？3. 3. 利用球坐標計算三重積分利用球坐標計算三重積分 ,r),(3zyxm設),(z其柱坐標為就稱為點m 的球坐標.直角坐標與球面坐標的關系,zommoxyzzr),(r則0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐標面分別為常數(shù)r球面常數(shù)半平面常數(shù)錐面, rom 令),(rmsinrcosrz xyzo如圖所示, 在球面坐標系中體積元

7、素為ddrrddddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rf其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrf適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用球面坐標表示時方程簡單方程簡單;2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用球面坐標表示時變量互相分離變量互相分離.dddsin2rrd例例5. 5. 計算三重積分,)(222zdydxdzyx22yxz為錐面2222rzyx解解: 在球面坐標系下:zyxzyxddd)(222所圍立體.40rr 020其中 與球面dddsind2rrv rrr04d)22(515r40dsin20dxyzo4rr 這種方法簡單多了！內容小結內容小結z

8、yxdddzddddddsin2rr積分區(qū)域多由坐標面被積函數(shù)形式簡潔, 或坐標系 體積元素 適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐標系* * 說明說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式換元積分公式:),(),(wvuzyxj對應雅可比行列式為*ddd),(ddd),(wvujwvufzyxzyxf變量可分離.圍成 ;（1）若空間閉區(qū)域關于平面 對稱, 即即被積函數(shù)關于z為偶函數(shù)時，xoy( , , ), ( , ,),x y zvx yzv( , , )0vf x y z dxdydz ( , ,)( , , )f x yzf x y z 即被積函數(shù)關于z 為奇函數(shù)時,則當( , ,)(

9、, , )f x yzf x y z當1( , , )2( , , )vvf x y z dxdydzf x y z dxdydz其中 是 位于 平面上側的部分. 1vvxoy積分區(qū)域關于其它坐標平面： ,yoz zox 對稱，且被積函數(shù)分別是 的奇、偶函數(shù)，也有上述類似的結論, ,x y 一、利用空間區(qū)域的對稱性或被積函數(shù)的奇偶性計算三重積分 （2）若空間區(qū)域具有輪換對稱性，即( , , ), ( , , ),( , , ),x y zvy z xz x yv111( , , )( , , )( , , )( , , )f x y zf x y zf y z xf z x y11( , , )3( , , ).vvf x y z dxdydzf x y z dxdydz則也就是三字母輪換積分區(qū)域不改變，zoxy24. 設由錐面22yxz和球面4222zyx所圍成 , 計算.d)(2vzyxi提示提示:4利用對稱性vzyxd)(222vzxzyyxzyxid)222(222用球坐標 rr d420dsin4020d22156