數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)訣竅

1、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)訣竅聽一遍不如看一遍,看一遍不如做一遍,做一遍不如講一遍,講一遍不如辯一辯數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)(喻平編著)第一章 數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)研究的歷史沿革1.1國外數(shù)學(xué)教育心理學(xué)研究概況數(shù)學(xué)教育心理學(xué)作為專門研究領(lǐng)域始于20世紀(jì)70年代。在第3屆國際數(shù)學(xué)教育大會（icme）召開期間，國際數(shù)學(xué)教育心理學(xué)組織（pme）于1976年在德國的卡爾斯魯厄成立，第1屆數(shù)學(xué)教育心理學(xué)大會與1977年由弗賴登塔爾（freudenthal）在荷蘭的烏特列支組織召開。1.1.1代數(shù)的教與學(xué)的研究代數(shù)的教與學(xué)的研究始終是數(shù)學(xué)教育心理學(xué)共同體研究的重要分支，從1977年第1屆數(shù)學(xué)教育心理學(xué)大會到2005年第29屆數(shù)學(xué)教育心理學(xué)

2、大會，這個期間共有33篇關(guān)于代數(shù)研究的報告。早期的研究主要關(guān)注代數(shù)的概念和過程、解代數(shù)應(yīng)用題以及從算術(shù)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變到代數(shù)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生所遇到的困難。字母、符號的學(xué)習(xí)是被研究的主要課題，用于分析研究數(shù)據(jù)的基本理論框架多源于皮亞杰（piaget）的認(rèn)知發(fā)生原理。隨著進(jìn)一步的研究，研究的范圍進(jìn)一步拓展，它涵蓋了表征符號、技術(shù)工具的應(yīng)用、關(guān)于代數(shù)內(nèi)容的不同觀點，以及用于思考代數(shù)學(xué)習(xí)、教學(xué)和用于分析數(shù)據(jù)的各種不同理論框架。 1.算術(shù)學(xué)習(xí)到代數(shù)學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)變早期，一般把代數(shù)課程看成是給定的課程，主要關(guān)注學(xué)生在遇到代數(shù)符號和代數(shù)運(yùn)算時的思維和方法，因為從算術(shù)向代數(shù)的轉(zhuǎn)變過程中，這些符號和記號的意義會發(fā)生轉(zhuǎn)變。早期關(guān)

3、于學(xué)生解釋代數(shù)符號方式的研究趨向于關(guān)注認(rèn)知水平，關(guān)注算術(shù)體驗和思維方式，關(guān)注符號應(yīng)用的困難，如帶有乘法意義的等號，以及括號的使用。早期很多研究都關(guān)注初學(xué)代數(shù)的學(xué)生解方程的方法：本能方法，包括使用數(shù)字事實、計數(shù)技巧以及隱藏法。嘗試錯誤法。標(biāo)準(zhǔn)方法。學(xué)生在解方程中所出現(xiàn)的錯誤也是研究者的興趣所在，例如，忽視將這一對數(shù)字結(jié)合起來的減號運(yùn)算；方程變形的錯誤，以及錯誤的檢驗行為。之后，研究已經(jīng)開始深入探究學(xué)生解不等式的方法，學(xué)生解方程組的方法，他們發(fā)現(xiàn)已經(jīng)學(xué)習(xí)過一元一次方程的學(xué)生更樂于使用“加減法”而不是“代入法”。在解應(yīng)用題的過程中，有學(xué)者探討了真實的、現(xiàn)實的情境影響，也研究了在解決長度和面積問題的過

4、程中，畫不正確的直線圖所導(dǎo)致的后果，他們發(fā)現(xiàn)：真實性因素和畫圖活動對學(xué)生的解題活動沒有產(chǎn)生有益的影響，事實上，真實問題反而使學(xué)生遠(yuǎn)離了問題潛在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建構(gòu)主義的理論框架在20世紀(jì)80年代得到了蓬勃發(fā)展，建構(gòu)主義認(rèn)為知識是認(rèn)知主體主動建構(gòu)的，而不是從環(huán)境中被動接受的，這個觀點吸引了眾多數(shù)學(xué)教育心理學(xué)研究者的研究興趣，這一理論也使得代數(shù)研究者把注意力從學(xué)生所犯的錯誤轉(zhuǎn)移到他們是如何理解代數(shù)概念和過程的。盡管研究的焦點仍然屬于認(rèn)知的范疇，但是它比早期的研究范圍要更為廣闊。 20世紀(jì)90年代，社會文化理論觀點在數(shù)學(xué)教育心理學(xué)共同體之外發(fā)展起來，并開始在數(shù)學(xué)教育心理學(xué)共同體內(nèi)形成。對于很多從事代數(shù)教

5、學(xué)心理的研究者來說，較為早期的建構(gòu)主義、認(rèn)知方向的研究開始轉(zhuǎn)向研究影響代數(shù)學(xué)習(xí)的社會因素分析，并開始對文化工具的調(diào)節(jié)作用產(chǎn)生興趣。這種轉(zhuǎn)變也導(dǎo)致課堂文本的研究得到迅速發(fā)展，課堂文本的研究開始關(guān)注教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間的互動。 2代數(shù)學(xué)習(xí)中工具的作用20世紀(jì)80年代，代數(shù)研究主要關(guān)注字母和符號，這種研究開始經(jīng)歷一些變革，盡管函數(shù)研究在最初幾年一直被認(rèn)為是一個獨立的研究領(lǐng)域，但是，這兩個領(lǐng)域的研究開始在代數(shù)已經(jīng)領(lǐng)域中發(fā)生了融合。帶有圖形的、表格的、符號表征形式的函數(shù)開始被看成是真實的代數(shù)研究對象。尤其是圖形表征形式開始被看成是融合字母-符號表征形式和意義的工具。有些數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家主張：計算

6、技術(shù)對中學(xué)數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容和難度可能會產(chǎn)生重要影響。早期一些富有遠(yuǎn)見的研究者就已經(jīng)提出了這一觀點，即在數(shù)學(xué)教學(xué)中，計算技術(shù)有利于更為全面地整合數(shù)學(xué)對象的多元表征形式。對這個時期的研究產(chǎn)生重要影響的是技術(shù)工具的應(yīng)用，技術(shù)工具可以應(yīng)用于代數(shù)學(xué)習(xí)中。技術(shù)工具的使用不僅促進(jìn)函數(shù)研究從多元表征形式研究向?qū)W校代數(shù)領(lǐng)域發(fā)展，也成功地擴(kuò)大了學(xué)習(xí)代數(shù)的學(xué)生獲得代數(shù)意義的源泉。代數(shù)不僅僅成為關(guān)于方程式和解方程式的研究，也逐步發(fā)展成為涵蓋函數(shù)（及其表征形式）及其轉(zhuǎn)變的研究，并且也涵蓋了這些函數(shù)所能模擬的真實世界情境。社會-文化觀點也被應(yīng)用于學(xué)習(xí)研究設(shè)計和數(shù)據(jù)分析中，兩者的綜合產(chǎn)生了新的問題，這些問題主要涉及在課

7、堂中用這些工具進(jìn)行學(xué)習(xí)的本質(zhì)以及不同參與者的作用。 3.代數(shù)思維研究主題涉及小學(xué)生代數(shù)思維，關(guān)注代數(shù)教師及教學(xué)，關(guān)注物理環(huán)境的動態(tài)模式和其他動態(tài)代數(shù)環(huán)境。隨著以方程式為主題的代數(shù)研究逐步擴(kuò)展到研究函數(shù)和各種各樣的函數(shù)表征形式所模擬的真實世界情境，代數(shù)可以被更多的學(xué)生所理解，甚至小學(xué)生也可以理解代數(shù)，這個觀點被不斷地完善，關(guān)于小學(xué)階段代數(shù)思維發(fā)展的研究，在20世紀(jì)90年代中期的數(shù)學(xué)教育心理學(xué)大會上首次出現(xiàn)。大約同一時間，關(guān)于代數(shù)教師的研究也發(fā)展迅猛。在數(shù)學(xué)教育心理學(xué)發(fā)展的整個過程中，代數(shù)學(xué)習(xí)者成為代數(shù)研究者關(guān)注的焦點。與此同時，20世紀(jì)90年代中期，研究主要關(guān)注代數(shù)學(xué)習(xí)中的動態(tài)環(huán)境、物理環(huán)境的探

8、索和模式化與技術(shù)工具的整合，可以在這些研究中看到與技術(shù)相關(guān)的代數(shù)研究中出現(xiàn)的進(jìn)展。新的技術(shù)觀點正在形成，試圖更加準(zhǔn)確地思考代數(shù)學(xué)習(xí)的各個方面，這些方面正在被研究，尤其是手勢、身體運(yùn)動以及語言在代數(shù)學(xué)習(xí)中所起到的作用。早期的算術(shù)研究所關(guān)注的一些重要主題，大部分內(nèi)容主要涉及自然數(shù)、數(shù)列以及計數(shù)的學(xué)習(xí)。皮亞杰理論、計數(shù)為主的方法，主導(dǎo)著關(guān)于自然數(shù)概念的研究，但是這兩種方法并不是相互沖突的，在更廣的理論視野中，它們是互補(bǔ)的。皮亞杰理論把邏輯推理看成是自然數(shù)概念建構(gòu)的基礎(chǔ)，而計數(shù)為主的方法則主張數(shù)字概念衍生于計數(shù)技巧，但是這種計數(shù)技巧形成于數(shù)量化的過程之中。研究涉及范圍包括：第一，計算策略的認(rèn)知分析，如

9、兒童在個位數(shù)的乘法和除法研究領(lǐng)域中計算策略的特征和發(fā)展、兒童多位數(shù)的計算、學(xué)習(xí)成績較差的學(xué)生所獲得的簡單的算術(shù)策略。第二，在不同環(huán)境中發(fā)展算術(shù)能力，關(guān)注3個主題：具有高度教育意義的環(huán)境的設(shè)計、應(yīng)用和評價，這些環(huán)境兼容了數(shù)學(xué)專業(yè)知識的性質(zhì)觀和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作為社會文化情境中的主動的、聯(lián)合的意義建構(gòu)的觀點。教師知識、信念和活動在這類學(xué)習(xí)環(huán)境中的作用。校外情境中的算術(shù)知識和技巧的獲得和使用，這些知識與技巧與學(xué)校數(shù)學(xué)存在潛在的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)校數(shù)學(xué)的發(fā)展。顯然，所有這些內(nèi)容不僅僅在算術(shù)領(lǐng)域中非常重要，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中也是非常重要的。研究還涉及解決應(yīng)用問題。為了考查學(xué)生如何解應(yīng)用題，一些研究者始終關(guān)注基于圖式測

10、驗的方法。這些方法充分應(yīng)用了問題的圖形表征形式，借此來測試或提高小學(xué)生所要學(xué)習(xí)的概念知識結(jié)構(gòu)。同時，數(shù)學(xué)教育心理學(xué)研究共同體也越來越關(guān)注雜解數(shù)學(xué)問題的環(huán)境中認(rèn)知和元認(rèn)知（或者自我調(diào)節(jié)）策略的作用，以及不同類型的情感、情緒和信念之間的相互關(guān)系對解決問題的影響、開放性問題。數(shù)學(xué)建模也是一個重要的研究主題。主要強(qiáng)調(diào)問題的真實情境、解題策略和問題解決的態(tài)度。這些實驗方案的共同特征包括：使用比傳統(tǒng)教材中的問題更加實際的、更具挑戰(zhàn)性的任務(wù)。教學(xué)方法和學(xué)習(xí)者活動的多樣性，包括專家解題策略的模擬、小組研究和全班討論的策略性因素。課堂環(huán)境的創(chuàng)造，這種環(huán)境有助于小學(xué)生進(jìn)一步完善數(shù)學(xué)模式化的觀點。促進(jìn)小學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)

11、的信念和態(tài)度。 112幾何與空間思維關(guān)于幾何和空間思維的研究，主要關(guān)注的課題是思維水平、思維策略、視覺化、證明和技術(shù)等。1范希爾（van hiele）的幾何思維模式范希爾夫婦提出了幾何思維模式，這個模式由5個推理水平構(gòu)成：認(rèn)識（感知僅僅是視覺的）、分析（根據(jù)性質(zhì)辨別圖形）、分類或非正式的演繹（意識到性質(zhì)的重要性）、正式演繹（建構(gòu)幾何證明）、嚴(yán)密性（這個要素表明從前一個水平進(jìn)行運(yùn)算和辨別是很困難的）。思維發(fā)展源自格式塔式的視覺水平，主要經(jīng)過描述、分析、抽象和證明這幾個水平，這些水平的復(fù)雜程度是逐漸增加的。范希爾夫婦認(rèn)為：數(shù)學(xué)應(yīng)該適應(yīng)學(xué)生的思維水平，并提出了教和學(xué)的模式，這個模式提出了如何促進(jìn)學(xué)生

12、從一個思維水平發(fā)展到另一個思維水平的建議。隨后，許多學(xué)者對范希爾的幾何思維模式開展了不同側(cè)面的研究。有人研究了這些思維水平的層次性，認(rèn)為這些思維水平具有層次性，并etamt且是非連續(xù)的，每一個水平都取決于前一個水平的掌握，但是，布格（burger）和沙尼斯（shaughnessy）指出，這些水平是動態(tài)的、連續(xù)的，而不是靜止的、間斷的。范希爾的幾何思維模式描述了學(xué)生幾何能力的發(fā)展，因此對思維水平之間的轉(zhuǎn)變就成為若干研究的焦點。有人認(rèn)為很難對學(xué)生的思維水平進(jìn)行分類，尤其是從水平2到水平3的轉(zhuǎn)變，還有一些研究指出還存在一個更加基本的水平。這個思維水平要比范希爾的水平1（視覺思維）更為基本。 一些研究

13、者已經(jīng)提出了評價范希爾思維水平的不同方法，并且對這些不同方法進(jìn)行了評價。古鐵雷斯（gutierrez）和詹姆（jaime）對職前教師進(jìn)行了多邊形、測量和立方體的測驗，并證明了范希爾水平1到水平4的層次性，但是研究者認(rèn)為水平5（嚴(yán)密性) 要通過進(jìn)一步的研究去確認(rèn)。 2幾何問題解決策略格杰里奧（gorgorio）把空間問題的解決策略具體描述成以下幾類：結(jié)構(gòu)化策略，這種策略可以涉及過去的體驗或者簡化問題。過程化策略（視覺的或者語言的策略）。近似策略（整體策略或者部分策略）。她發(fā)現(xiàn)在使用結(jié)構(gòu)化策略的時候存在一些性別差異。關(guān)于元認(rèn)知策略的研究，有學(xué)者的研究表明，對于年紀(jì)較大的學(xué)生來說元認(rèn)知策略對于他們解

14、決問題的作用不大。有研究表明，在問題解決過程中，學(xué)生會使用各種話語和畫圖策略。他們以觀察為基礎(chǔ)作出簡圖，或者根據(jù)已知的概念形成一系列信息，通過畫圖和明確任務(wù)目標(biāo)的方法可以簡化一長串的信息。 3視覺推理古鐵雷斯總結(jié)了關(guān)于視覺化的諸多爭論。他注意到視覺化過程涉及以下幾點：解釋形成心理意象的外部表征。解釋心理意象，從而生成信息。兩種解釋都得到視覺化能力的支持，如對圖形的感知、心理旋轉(zhuǎn)、空間位置的感知、空間關(guān)系的感知、關(guān)注除其他性質(zhì)之外的圖形性質(zhì)的能力。這些視覺化過程（解釋能力和視覺化能力）形成了視覺推理。一些研究者發(fā)現(xiàn)：學(xué)生使用圖象來建構(gòu)數(shù)學(xué)意義，并假設(shè)在數(shù)學(xué)課堂中，圖像可以支持有意義的、聯(lián)系性的數(shù)

15、學(xué)發(fā)展。歐文斯（owens）指出：在解決空間問題的過程中，年紀(jì)較小的 學(xué)生所使用的圖像的范圍是相似的。她把這些圖像分成以下5個類型：初級的或者是正在形成的策略。感知策略（需要使用的材料）。靜止的圖像策略。模式和動態(tài)圖像。有效策略（使用視覺知識和語言知識可以解釋這個策略）。視覺圖像是若干認(rèn)知過程中的一個階段，它有助于解決空間問題。其他認(rèn)知過程是有選擇的介入，如感知、聆聽、觀察、思維、概念化以及啟發(fā)式方法，即確定問題的意義、發(fā)展緘默知識、自我監(jiān)督和檢驗。在這個過程中，也伴隨著成功、信心、興趣、對開放情境的包容等情感因素。歐文斯研究的重要意義就在于這項研究是以課堂為依據(jù)的，這就表明在空間-視覺思維方

16、面存在的分歧比之前所預(yù)測的還要大。近些年來，一些研究者已經(jīng)把關(guān)注的焦點放在了動態(tài)幾何技術(shù)上面。法國的格諾伯（grenoble）研究小組，把動態(tài)幾何軟件的應(yīng)用歸納為以下4種方法：借助于計算結(jié)果。使得畫圖變得更加簡便，這類似于紙筆畫圖。使得數(shù)學(xué)任務(wù)變得更加容易，這種任務(wù)涉及猜測和歸納諸多例子，以期找到解決方法。改變要求使用性質(zhì)而不是依靠感知來解決問題的狀況。在動態(tài)幾何軟件環(huán)境中可以使學(xué)生獲得新的數(shù)學(xué)任務(wù)。 113 高級數(shù)學(xué)思維20世紀(jì)80年代初，為了彌補(bǔ)之前數(shù)學(xué)教育心理學(xué)過度關(guān)注小學(xué)數(shù)學(xué)思維研究的缺陷，一些數(shù)學(xué)教育心理研究人員，主要是厄文克和塔爾（ervynck，tall），提出需要考慮“學(xué)校數(shù)學(xué)

17、進(jìn)一步促進(jìn)大學(xué)數(shù)學(xué)的發(fā)展，并且使之與數(shù)學(xué)家的思維相聯(lián)系”。這方面的研究最終促進(jìn)高級數(shù)學(xué)思維（advanced mathematics thinking ，amt）研究小組的成立，該研究小組會議于1986年首次召開，并開始著手撰寫同名學(xué)術(shù)專著高級數(shù)學(xué)思維（塔爾，1991）。因此，在數(shù)學(xué)教育心理學(xué)領(lǐng)域之內(nèi)，從中學(xué)高年級的數(shù)學(xué)一直延伸至以定義和證明為基礎(chǔ)的公理數(shù)學(xué)，其數(shù)學(xué)思維的整體范圍被涵蓋在術(shù)語“高級數(shù)學(xué)思維”之下。之后，在其他研究領(lǐng)域中，研究者就“高級數(shù)學(xué)思維”的意義各執(zhí)己見，術(shù)語“高級的”是指數(shù)學(xué)，還是思維，還是數(shù)學(xué)和思維？事實上，正如斯騰伯格（sternberg）在一本關(guān)于數(shù)學(xué)思維本質(zhì)的著作

18、中所做的結(jié)論那樣，迄今為止，數(shù)學(xué)思維到底是什么還沒有一個一致的說法。關(guān)于大學(xué)生學(xué)習(xí)不同特定主題的研究成果非常豐富，研究的范圍包括計算法、線性代數(shù)、微分方程、函數(shù)、等價關(guān)系、超越數(shù)等。而且，研究者對數(shù)學(xué)家進(jìn)行了觀察和訪談，了解他們教授各種高等數(shù)學(xué)科目的情況，也對大學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查研究，了解他們對數(shù)學(xué)的教與學(xué)的看法，還探討了數(shù)學(xué)專業(yè)博士生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。 1、概念意象和概念定義20世紀(jì)80年代初，當(dāng)心理學(xué)家還在重新思考概念的本質(zhì)和發(fā)展時，一些數(shù)學(xué)教育心理學(xué)者開始把關(guān)注的焦點轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)概念是如何定義和如何使用之間的區(qū)別。維納（vinner）和赫什科威茲（hershkowitz）提出了概念定義和概念意象這兩個

19、術(shù)語，以便于區(qū)分概念的正規(guī)的、公共的定義和個體相應(yīng)的心理結(jié)構(gòu)之間的差異，概念的心理結(jié)構(gòu)由學(xué)生頭腦中的所有相關(guān)例子、反例、事實和關(guān)系組成。概念意象是指與一個概念相聯(lián)系的個體所具有的全部認(rèn)知結(jié)構(gòu)，它包括所有相關(guān)的心理圖像、性質(zhì)和過程。個體的概念意象建立在多年的經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，在個體遇到心得刺激時，概念意象會隨之發(fā)生相應(yīng)的變化。概念定義則被用來界定一個概念的語句形式。概念定義可以是個人的、也可以用正規(guī)的方式進(jìn)行界定，用正規(guī)方式進(jìn)行界定的就是概念定義，它在很大程度上被數(shù)學(xué)共同體機(jī)構(gòu)化了，比如，極限的 定義就是一個例子。關(guān)于概念意象和概念定義的研究，研究者主要關(guān)心如何促進(jìn)學(xué)生概念意象的發(fā)展，從而促進(jìn)他們能

20、正確理解正規(guī)的概念定義。學(xué)生的概念意象不僅包括他們已有的重要知識，也建立在這種知識基礎(chǔ)之上。通過不同的經(jīng)驗，包括日常經(jīng)驗，學(xué)生可以獲得這種重要知識，在對不同的相關(guān)數(shù)學(xué)任務(wù)做出反饋時，很多學(xué)生容易生成（部分的）自己的概念意象，而不是概念定義，這種趨勢不一定是不好的。但是，很多數(shù)學(xué)概念，如一致的收斂函數(shù)序列的概念，都是通過正規(guī)的概念定義介紹給大學(xué)生的，并且使用這類定義給出正例和反例的能力有助于建立個體自己的概念意象。 2、數(shù)學(xué)定義和日常定義之間的區(qū)別德維利爾斯（de villiers）認(rèn)為定義有下列兩種類型：描述性定義，它通過通過選擇一些特殊性質(zhì)，描述已知物體。在這種情況下，概念是人所熟知的，并且

21、在之后才被定義。建構(gòu)性定義，它根據(jù)熟悉的事物模擬新的事物。通過排除、歸納、專門化、代替或增加定義的特征，一個概念的給定定義發(fā)生了變化，這時建構(gòu)性定義就會產(chǎn)生，在這個過程中，一個新的概念就會被建構(gòu)出來。數(shù)學(xué)定義的特征包括以下幾個方面：存在的（應(yīng)該存在的一個例子）。非矛盾的（內(nèi)部一致）。清晰的（定義一個唯一的概念）。與相同概念的其他定義是邏輯等價的。層次分明的（如僅僅根據(jù)基本的或者之前被定義的術(shù)語）。變化中的不變性，即表征的不變性。而且，定義應(yīng)該：關(guān)注創(chuàng)造定義的目的。被很好地定義。以可用的形式被陳述。雖然他們對其他觀點還尚未達(dá)成一致，但是他們認(rèn)為定義應(yīng)該是：最小的（簡潔的、沒有多余的條件）。精雕細(xì)

22、琢的（很難清楚表達(dá)的、主觀的標(biāo)準(zhǔn)）。學(xué)生容易理解的（教學(xué)思想）。為了觀察中學(xué)數(shù)學(xué)教師和12年級的學(xué)生是如何看待定義的這些特征的，希爾（ shir）和扎斯拉維斯基（ zaslavsky）進(jìn)行了一項研究，他們建構(gòu)了正方形的8個等價定義，首先觀察個體對這個問卷的反饋，然后再觀察群體對該問卷的反饋，這項研究從屬于一個更大型的研究。在這些教師中，關(guān)于為什么接受或拒絕所提供的正方形定義，他們給出的理由各不相同，21%的教師同意：“所有的長方形都有固定的周長，正方形是具有最大面積的長方形”；92%的教師同意：“正方形是一個四邊形，在這個四邊形中，所有的邊都是相等的，所以的角度都是90度”。這兩種定義對于正方

23、形來說都是合適的。研究者認(rèn)為：盡管這種活動被設(shè)計成一種研究工具，但是這種活動有助于創(chuàng)造豐富的學(xué)習(xí)環(huán)境，從而便于學(xué)生更加容易地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定義的不同特征。 3、概念獲得除了解釋和理解形式的數(shù)學(xué)定義和使用下定義的活動，還有其他認(rèn)識概念的方法，如比較這個概念的各種各樣的等價定義、轉(zhuǎn)變這個概念的（多元的）表征形式、認(rèn)知這個概念的多元性質(zhì)、生成與其他概念之間的聯(lián)系。除此之外，個體可以獲得給定概念的運(yùn)算（過程）觀，或者那個概念的結(jié)構(gòu)（對象）觀。前者意指一個更加具有計算性質(zhì)和程序性質(zhì)的觀點，而后者意指一個更加正規(guī)的、靜止的、類似于物體的觀點。斯法德（sfard）注意到，結(jié)構(gòu)觀念的形成是一個漫長而痛苦的過程，他假

24、設(shè)結(jié)構(gòu)觀念體現(xiàn)在三個具有層次性的階段：內(nèi)化、凝聚、物體化。在內(nèi)化階段，學(xué)習(xí)者關(guān)注熟練地進(jìn)行計算和解題過程（如用各種各樣的特定函數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算）；在凝聚階段，學(xué)習(xí)者更加注意把過程作為一個整體進(jìn)行思考，而不是關(guān)注細(xì)節(jié)（如從輸入和輸出的角度觀察函數(shù)）。概念獲得的最初兩個階段發(fā)生的轉(zhuǎn)變是逐步的，而物體化需要一種本體論的轉(zhuǎn)變，即需要用一個全新的視野迅速辨別熟悉事物的能力。為此，斯法德提出了兩個教學(xué)原則：不應(yīng)該用結(jié)構(gòu)術(shù)語介紹新的概念。只要學(xué)生可以不用結(jié)構(gòu)方法就能解決問題，就不應(yīng)該使用結(jié)構(gòu)方法。杜賓斯基（dubinsky）等研究了類似的過程-對象之間的區(qū)別，提出概念形成的心理過程為：行動、過程、對象和圖式（

25、apos）。塔爾等人認(rèn)為，從算術(shù)到代數(shù)再到微積分，再到具有形式定義和證明公理數(shù)學(xué)，這之間需要一個漫長的過程。不同的過程概念以不同的方式發(fā)揮作用，這就導(dǎo)致在不同階段需要對認(rèn)知進(jìn)行再建構(gòu)。當(dāng)基本算術(shù)符號具有過程和概念的雙重意義時，它們之間存在微妙的差別。兩個整數(shù)的和是另一個整數(shù)，但是除法產(chǎn)生了一個全新的實體分?jǐn)?shù)。之后，從算術(shù)向代數(shù)的轉(zhuǎn)變導(dǎo)致一個新的過程概念的產(chǎn)生，在這個過程概念中， 這個表達(dá)式就是一個答案，這個答案含有求值的潛在過程。從代數(shù)向微積分的轉(zhuǎn)變產(chǎn)生了新的問題，如帶有極限符號的問題 ，表示有潛力的無限過程。然而，在形式水平上，過程概念所起到的作用是非常微弱的。群的概念，不是一個過程概念，而

26、是一個由定義所給出的更大的結(jié)構(gòu)，這個定義特別強(qiáng)調(diào)它必須具有的性質(zhì)。顯然，建構(gòu)形式意義的過程是邏輯過程，概念以形式的方式被建構(gòu)，這就產(chǎn)生了由計算和操作的初級數(shù)學(xué)思維向需要下定義和證明的高級數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)變。 114數(shù)學(xué)教與學(xué)中 的視覺化問題對數(shù)學(xué)直觀的研究跨越了心理學(xué)表象研究、思維科學(xué)研究以及數(shù)學(xué)科學(xué)研究之間的學(xué)科邊界，成為數(shù)學(xué)教育心理學(xué)研究中一個新命題。因而，在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，它是年輕的，大概從20世紀(jì)70年代末80年代初才開始，但是，到了20世紀(jì)90年代，它儼然已成為國際數(shù)學(xué)教育的一個重要的研究領(lǐng)域，并將繼續(xù)成為國際數(shù)學(xué)教育研究的焦點， pme屆次 年份 論文數(shù) 主題12 1988 1 研究綜述

27、13 1989 4 視覺心象，視覺記號，計算機(jī)技術(shù)的影響14 1990 5 大學(xué)生不愿意使用視覺加工，心象與數(shù)學(xué)推理，表征與數(shù)學(xué)直觀化 15 1991 15 心象圖式類型，視覺推理，影響視覺心象使用的課堂因素16 1992 11 問題解決中的直觀化，意象，直觀化與意象思維17 1993 12 幾何思維和空間思維，表征與直觀化，問題解決中的直觀化風(fēng)格18 1994 21 幾何思維和空間思維，表征與直觀化，課程發(fā)展中的直觀化19 1995 不詳 課程發(fā)展中的直觀化，學(xué)生不愿意使用直觀化20 1996 16 三維幾何中直觀化，學(xué)生不愿意使用直觀化21 1997 不詳 不愿意使用直觀化，計算機(jī)環(huán)境，測

28、量22 1998 19 幾何，表征，計算機(jī)，問題解決，測量，空間思維和直觀化23 1999 20 意象與直觀化，代數(shù)問題解決中的直觀化，動態(tài)幾何軟件，空間心象結(jié)構(gòu)24 2000 16 函數(shù)極限，數(shù)學(xué)模型，二次方程，幾何構(gòu)圖，概率，復(fù)數(shù)運(yùn)算等，特定數(shù)學(xué)內(nèi)容領(lǐng)域27 2003 19 計算機(jī)技術(shù)，記號表示，數(shù)學(xué)家對直觀策略的使用，隱喻，認(rèn)知模型，手勢28 2004 7 問題解決，實數(shù)，分?jǐn)?shù)和小數(shù)29 2005 9 手勢，符號學(xué)，直觀化能力的發(fā)展 1、認(rèn)知風(fēng)格維度從認(rèn)知風(fēng)格維度進(jìn)行的研究，主要表現(xiàn)為對學(xué)生個體差異的關(guān)注，以及按這種差異類型，對學(xué)生群體進(jìn)行分類。從這個角度切入直觀化的研究，始于20世紀(jì)7

29、0年代末，首推克魯切茨基（kruteskii）的研究，他應(yīng)用臨床研究方法，發(fā)現(xiàn)存在3種不同的數(shù)學(xué)氣質(zhì)：分析型，幾何型，調(diào)和型緊隨其后的是莫斯（moses）等人的研究，他們提出，依據(jù)直觀能力，學(xué)生所構(gòu)成的群體應(yīng)是一連續(xù)體。蘇維森（suwarsono）研制了測量學(xué)生個體數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的量表mpi （mathematical processing instrument）。此后，大多數(shù)關(guān)于直觀化研究的學(xué)者都在調(diào)查中采用這個工具。與此同時，展開了心理學(xué)家和教育學(xué)家對直觀者-言語者這種認(rèn)知風(fēng)格分類價值的爭論，并一直持續(xù)著。這緣起于有些學(xué)者將直觀者等同于高表象表征能力，言語者等同于低表象表征能力。于是，研究轉(zhuǎn)

30、而圍繞“直觀傾向性與空間能力”的關(guān)系研究。一直到2002年，這方面的研究才有了新的突破?？茲煞蚰峥品颍╧ozhevnikov）與赫加蒂（hegarty）等提出并證實了存在兩種不同的直觀表征：圖像的與圖示的，并認(rèn)為，將學(xué)生分為直觀分析者（即上述的幾何型）與言語分析者（即上述的分析型）的分法過于籠統(tǒng)了。他們的系統(tǒng)研究進(jìn)一步證實并深化了這個結(jié)論，存在兩種不同性質(zhì)的直觀者肖像型和空間型。 2認(rèn)知策略維度將直觀化作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種認(rèn)知策略的研究，具體：分析它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)乃至某一具體內(nèi)容學(xué)習(xí)中的價值，研究直觀策略或能力與數(shù)學(xué)成績、問題解決成績、概念建構(gòu)等相關(guān)性，剖析其作用是如何體現(xiàn)的，等等。比如謝爾曼（sh

31、erman）的研究，考慮的是數(shù)學(xué)成績的差異與空間直觀化能力的相關(guān)性。德利法斯（dreyfus）在論直觀推理在數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育中地位一文中闡述直觀化在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位。路斯（lucy）的實驗考慮新穎算術(shù)問題的可視化程度（難與易兩個水平）與問題解決成績的相關(guān)性，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，對于新穎的算術(shù)應(yīng)用題，容易直觀化的問題比難直觀化的問題出錯少，但這一規(guī)律不適用于有經(jīng)驗的問題解決者。格杰里奧的實驗聚焦于空間旋轉(zhuǎn)問題，分析問題特點（比如復(fù)雜性）對不同策略（直觀與非直觀）選擇的影響。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)問題（指空間旋轉(zhuǎn)問題）只要求學(xué)生進(jìn)行解釋（有可供選擇的解答）時，如果已給對象是簡單的，那么學(xué)生趨向于使用直觀加工策略；如果對

32、象是復(fù)雜的，那么學(xué)生趨向于使用非直觀策略。當(dāng)問題要求學(xué)生進(jìn)行建構(gòu)時（比如繪圖），如果已給對象是復(fù)雜而且沒有任何提示，學(xué)生往往使用直觀策略，反之，則使用非直觀策略。勞瑞（lowrie）的主要研究目的也是圍繞問題的復(fù)雜性與策略選擇之間的關(guān)系，但他同時還考慮不同策略使用以及性別差異對解題成功的影響。研究發(fā)現(xiàn)，在解難題或新的問題時，學(xué)生往往采用直觀方法；在解不難的問題時，則采用非直觀方法；問題解決的直觀方法與非直觀方法的選擇，與性別無關(guān)。麥克理（mcleay）的研究設(shè)計則將問題的呈現(xiàn)方式（語言、閱讀、圖表）與學(xué)生的策略選擇（語言、圖表、繪圖書面解釋）結(jié)合起來考慮。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)問題是以自然語言表述，要求

33、以心象形式加工，最后以言語形式表述結(jié)果時，這種情況是最難的，而其余3種組合形式之間沒有顯著差異。他認(rèn)為，造成這一現(xiàn)象的原因有兩個：首先，拙劣的直觀者形成心象存在困難；其次，某些學(xué)生可能不能理解問題情境。問題解決的研究，主要考慮的是群體的差異而不是個體之間的差異。它往往以某一種學(xué)習(xí)能力的學(xué)生為對象，比如朗達(dá)（rhonda）主要考慮數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難生（高空間能力組與低空間能力組）的直觀化問題，研究發(fā)現(xiàn)，不管問題以什么方式呈現(xiàn)給學(xué)生，高空間能力組的直觀者在問題解決成績上都顯著高于低空間能力組的直觀者。加爾德倫（garderen）以學(xué)習(xí)困難（ld）、學(xué)習(xí)中等（aa）、學(xué)習(xí)優(yōu)秀（g）3種能力水平的學(xué)生為被試

34、，結(jié)果表明，對于3種水平的學(xué)生而言，g組學(xué)生比另兩組學(xué)生更多地使用圖式表征；ld組學(xué)生比其余兩組學(xué)生更多地使用圖形表征。德斯皮娜（despina）等在專家與新手之間進(jìn)行比較研究。他們的研究結(jié)果表明，專家和新手都將直觀表征作為可行的解題策略，但是認(rèn)為其有效性所作用的問題域卻不一樣。新手大多認(rèn)為直觀化在幾何問題中的應(yīng)用效果是最明顯的，而專家認(rèn)為它所作用的問題范圍更大。此外，專家比新手更頻繁地運(yùn)用直觀表征，比如，利用直觀表征有效地探究問題，更好地理解問題情境，指導(dǎo)解決方案的確立。有人從直觀解題過程角度研究問題，包括直觀表征類型、作用及功能，直觀解題過程的認(rèn)知分析等。歐文斯依據(jù)普雷斯梅杰（presme

35、g）對心象的5種分類，依次分析了案例中個體的表現(xiàn)，并論證每種心象的作用。他得出的結(jié)論是，每一種心象都是重要的，他們分別在不同場合以不同方式發(fā)揮著重要作用，不能錯誤地認(rèn)為某種心象比另一種心象處于更高的水平。赫加蒂認(rèn)為，應(yīng)將直觀表征分為視覺表征與空間表征，然后再探討它們與問題解決成績的關(guān)系。視覺表征是空間對象視覺外貌的編碼，是一種圖形表象，空間表征是問題中所表述的空間關(guān)系的編碼，屬于圖式表象。直觀表象形式的差異可以以某一種理論為基礎(chǔ)進(jìn)行編碼，也可以對具體問題進(jìn)行分類、整理，從中提取出類別。因此，這種類別可以是一般化的，也可以是非常具體的與問題的情境緊密相關(guān)。普雷斯梅杰等研究影響直觀化使用的認(rèn)知因素

36、，她以任務(wù)訪談的個案分析法，對數(shù)學(xué)教育研究班的4名研究生解答mpi中的3個問題的過程，進(jìn)行詳細(xì)的田野考察記錄與分析。數(shù)據(jù)來源由3部分組成：訪談的文字記錄稿，田野考察記錄稿，以及被訪談?wù)叩念}目解答。通過分析，得出了下列結(jié)論：直觀化存在于問題解決的4個階段準(zhǔn)備、解答、結(jié)論、回顧；先前知識、空間推理能力和隱喻是影響學(xué)生直觀化的認(rèn)知因素，同時，解題過程中的情感及元情感也影響了學(xué)生的直觀化的運(yùn)用。 115數(shù)學(xué)中的技術(shù)使用使用技術(shù)來支持?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)成為一種趨勢，技術(shù)的出現(xiàn)帶來了學(xué)習(xí)視野的轉(zhuǎn)變，技術(shù)逐步給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來互動性和動態(tài)性的體驗。在早期的研究中，研究者的主要興趣在于使用編程來理解特定的情境知識。例

37、如，理解與變量概念相聯(lián)系的知識。那時，在數(shù)學(xué)表達(dá)式和變量的教學(xué)中，計算機(jī)語言，如logo、pascal、basic和其他軟件得到了廣泛的應(yīng)用，計算機(jī)語言的繁榮對這個領(lǐng)域中的研究產(chǎn)生了影響，這時研究者主要把編程看成是學(xué)習(xí)表達(dá)式和變量的媒介進(jìn)行研究，20世紀(jì)80年代末發(fā)生了一個重要轉(zhuǎn)變，那時的研究開始關(guān)注多元表征和代數(shù)教學(xué)之間的聯(lián)系。20世紀(jì)80年代后期，多元表征及其相互聯(lián)系的重要性愈發(fā)突出，那時，研究者開始探討代數(shù)學(xué)習(xí)困難的原因，以及合適的課程和教學(xué)應(yīng)對可能是什么。因為代數(shù)本身的結(jié)構(gòu)及其表征的多元性是非常復(fù)雜的。但是，表征因素是最基本的。數(shù)學(xué)意義可以被自然而然地理解：在不參考另外一個表征系統(tǒng)的情

38、況下，一個特定表征系統(tǒng)內(nèi)的轉(zhuǎn)換；數(shù)學(xué)表征系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)譯；數(shù)學(xué)表征和非數(shù)學(xué)表征系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)變（如自然語言、直觀表象，等等）；把行為、過程和概念凝聚和物化為現(xiàn)象性對象，之后，現(xiàn)象性對象可以作為新的活動、過程和概念的基礎(chǔ)。因此，意義形成于特殊表征系統(tǒng)之內(nèi)，或者與特殊表征相聯(lián)系。從這些觀點來看，代數(shù)研究的核心目的就是判斷個體是如何學(xué)習(xí)和應(yīng)用這些表征性，從而生成有用的心理表征形式。對于明顯設(shè)計技術(shù)的內(nèi)容來說，基于計算機(jī)的模型使得多元表征形式具有可用性，另外不僅有助于呈現(xiàn)表征形式，而且尤其有助于作用那些表征形式上活動的實現(xiàn)。因此，出現(xiàn)了所謂的“動態(tài)代數(shù)”，動態(tài)的代數(shù)觀得到了迅速發(fā)展，很多軟件和游戲被設(shè)計用

39、來支持這個觀點，動態(tài)性是新開發(fā)媒體的基本特征。另外，符號-圖形計算器已經(jīng)被應(yīng)用于初等代數(shù)的教學(xué)當(dāng)中，并得到了進(jìn)一步的擴(kuò)展，研究者關(guān)注的是圖形計算器的使用在多大程度上有助于學(xué)生學(xué)習(xí)。許多研究指出，計算器語言作為獲得表達(dá)數(shù)學(xué)模式的一般規(guī)則的工具，有助于學(xué)生掌握代數(shù)編碼。有的研究主題集中在學(xué)習(xí)者與技術(shù)的互動方面，這就促使研究者對基于技術(shù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行理論反思。然后，研究關(guān)注的焦點轉(zhuǎn)變到設(shè)計合理的任務(wù)以便達(dá)到一些教學(xué)目標(biāo)，研究也開始關(guān)注教師的作用以及技術(shù)融入教師日常的教學(xué)實踐。最后，為了更好地理解學(xué)生在怎樣的環(huán)境下更利于學(xué)習(xí)，因而關(guān)注日常教學(xué)實踐，教學(xué)約束開始成為分析技術(shù)整合的焦點。 116社會-

40、文化視角從社會-文化視角研究數(shù)學(xué)教育心理學(xué)，主要是理論的研究，討論的主要內(nèi)容包括：文化心理學(xué)，包括以維果斯基（vygotsky）理論、活動理論、情境認(rèn)知實踐共同體、社會互動、符號協(xié)調(diào)為理論基礎(chǔ)的研究。人種學(xué)數(shù)學(xué)。社會學(xué)、教育社會學(xué)、后結(jié)構(gòu)主義、解釋學(xué)、批判理論。話語，包括心理分析觀、社會語言學(xué)、符號學(xué)。數(shù)學(xué)教育中平等和社會公正問題。數(shù)學(xué)教育心理學(xué)發(fā)展的中間10年（19871996）出現(xiàn)了基于社會-文化觀研究心理學(xué)的文獻(xiàn)，特別是對建構(gòu)主義的討論刺激并激發(fā)了諸多爭論，并且社會建構(gòu)主義成為主要的研究焦點。相繼出現(xiàn)了語言和溝通、性別和學(xué)習(xí)、學(xué)習(xí)的社會和文化情境等相關(guān)研究。這個領(lǐng)域的研究一直持續(xù)到現(xiàn)在，

41、而且方興未艾。 1.1.7數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的非智力因素自從數(shù)學(xué)教育心理學(xué)建立以來，在近30年的研究中，越來越多的數(shù)學(xué)教育團(tuán)體對情感的研究產(chǎn)生了濃厚的興趣。從1970年到1994年，發(fā)表在數(shù)學(xué)教育研究雜志的文章，大約有100篇文章是關(guān)于情感問題的。魯賓斯基（lubienski）（1999）在eric數(shù)據(jù)庫中搜索到3000多篇文章，大約有12%是與學(xué)生的情感相聯(lián)系，她認(rèn)為這是一個吸引了“眾多研究者的注意力”的研究領(lǐng)域。事實上，對情感的重視不僅引起學(xué)術(shù)界的關(guān)注，而且也引起了各國政府的關(guān)注，例如，可以在具有重大影響的課程文件中找到對這個問題的論述。 情感的研究主要在情感因素測量、描述性研究、情感變量和認(rèn)知變

42、量的比較等方面。從研究方面來看，測量方法是用得最多的，所測量的情感變量的范圍包括對數(shù)學(xué)的態(tài)度或關(guān)于數(shù)學(xué)的信念（如數(shù)學(xué)、問題解決的作用）以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的自我觀念（如喜歡數(shù)學(xué)、信心、興趣）。其他被研究的情感維度包括焦慮、動機(jī)和成功導(dǎo)向。收集數(shù)據(jù)的方法主要是傳統(tǒng)的紙筆方法和訪談法，也包括日志方式。隨后，質(zhì)性研究方法逐步增多。奇克森特米哈伊（csikszentmihalyi）提出了經(jīng)歷取樣法（the experience sampling method , esm），這種方法使得人們可以長期持續(xù)觀察個體的活動，觀察個體對這些活動的反饋和信念。這種數(shù)據(jù)的整合允許我們洞察與學(xué)生的行為活動相聯(lián)系的動機(jī)、態(tài)度

43、以及信念。此外，網(wǎng)上調(diào)查和訪談也成為研究情感的一種有效方法1.1.8 數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展1教師的數(shù)學(xué)知識蘇爾曼（shulman）提出了知識的7個分類，即學(xué)科知識、一般教學(xué)知識、課程知識、學(xué)科教學(xué)知識、學(xué)生的知識、教育環(huán)境知識、教育目標(biāo)和價值的知識。他強(qiáng)調(diào)在教學(xué)研究中，學(xué)科教學(xué)知識是需要研究的一個重要領(lǐng)域。艾爾巴斯（elbaz）重點關(guān)注教師所知道的、而其他人不知道的內(nèi)容，她把它稱為實踐知識，同時她也關(guān)注教師如何概括這些知識。她認(rèn)為這種知識建立在第一手的經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，包括自我知識、環(huán)境知識、學(xué)科內(nèi)容知識、課程發(fā)展和教學(xué)的知識，在實踐中，這種知識作為規(guī)則、實踐原則呈現(xiàn)。這些研究采用的是一種因素分解方法

44、，從靜態(tài)角度研究教師的知識結(jié)構(gòu)缺乏與教學(xué)實踐的聯(lián)系。舍恩（schon）辨別了反思性實踐和技術(shù)理性之間的區(qū)別，他把前者歸因于實踐者。當(dāng)實踐者被要求開展行動時，如果他們沒有把知識或正規(guī)知識與實踐知識相互分離，那么他們就會在自己所知道的知識基礎(chǔ)上行動。對于教師來說，這意味著實踐反思必須處理學(xué)科知識和學(xué)科相關(guān)的教學(xué)知識。當(dāng)教師解決專業(yè)問題時，他們就會進(jìn)行實踐反思，因此，實踐反思可以看成是教師知識的主要部分。從這個意義上說，教師知識不僅“知道事情”，也知道如何辨別和解決專業(yè)問題，即知道“如何建構(gòu)知識”。這些教師知識觀也包括教師的信念和觀念，把它看成是理解教師知道什么的相關(guān)因素。 2教師的數(shù)學(xué)教學(xué)知識許多

45、研究是圍繞在教學(xué)中了解學(xué)生認(rèn)知狀況開展的。例如，伊萬（even）和馬科維斯（markovits）研究了初中教師的學(xué)科教學(xué)知識，這些知識主要涉及教師對學(xué)生根據(jù)函數(shù)主題的問題、評論和假設(shè)所做出的反饋。他們指出：教師經(jīng)常無法意識到學(xué)生的困難：“一些教師忽視了學(xué)生的思維方式和根源。相反，他們把學(xué)生的學(xué)習(xí)僅僅評價為正確的活錯誤的。”教師經(jīng)常不會思考，如學(xué)生的錯誤觀念、形式導(dǎo)向和意義導(dǎo)向、教師中心和學(xué)生中心、反饋的豐富性等問題。他們認(rèn)為教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到理解學(xué)生思維的核心作用，但是大部分的教師沒有這種意識。20世紀(jì)90年代，建立在認(rèn)知心理學(xué)基礎(chǔ)上的新的理論建構(gòu)在數(shù)學(xué)教育心理學(xué)中出現(xiàn)。如建立在卡彭特（carpe

46、nter）和芬內(nèi)瑪（fennema）的研究基礎(chǔ)上的認(rèn)知指導(dǎo)教學(xué)理論，這一理論的主要觀點就是理解學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的知識是數(shù)學(xué)教師知識的重要組成部分。平特（ponte）提出了“專業(yè)知識”的概念，從本質(zhì)上來說，就是行動中的認(rèn)知，它建立在經(jīng)驗、對經(jīng)驗的反思和理論知識基礎(chǔ)之上。在平特看來，專業(yè)知識與學(xué)術(shù)知識和常識截然不同，它應(yīng)該在自己的領(lǐng)域內(nèi)被研究，而不應(yīng)該被看成是“有缺陷的”學(xué)術(shù)知識。他對3個初中教師和高中教師的案例進(jìn)行了討論，并分析了關(guān)于問題解決的不同觀點和實踐的可能原因，并指出：特殊認(rèn)知和信心與課堂中的行為方式的普通一致的觀點相互交織在一起。他提出了專業(yè)知識的4個基本組成部分：教師的觀點和個人對數(shù)學(xué)的

47、認(rèn)識相聯(lián)系。教師對學(xué)生認(rèn)知的知識。教師關(guān)于課程的知識和態(tài)度。教師專業(yè)化發(fā)展的方式。 3專家和新手的比較20世紀(jì)90年代，基于信息-加工理論研究范式，很多研究者使用專家-新手的對比來辨別教師思維和決策。例如，羅賓遜（robinson）等對初中教師和高中教師進(jìn)行了研究，考察兩個新手和一個專家教師使用聯(lián)系方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)資料的過程。研究者得出結(jié)論：聯(lián)系性對教師代數(shù)課的設(shè)計和教學(xué)產(chǎn)生影響，并且在教師對自己的課堂進(jìn)行反思的過程中，專家教師在很大程度上與新手教師是不同的。專家型教師會考慮到教學(xué)中橫向聯(lián)系和縱向聯(lián)系的重要性，相比之下，新手教師并不在他們的教學(xué)計劃和具體教學(xué)中強(qiáng)調(diào)聯(lián)系性。他們也趨向于關(guān)注自己的教學(xué)

48、計劃，不管發(fā)生什么事情，得出適合于自己的計劃的結(jié)論，但是這個結(jié)論與課堂中實際發(fā)生什么事情沒有絲毫聯(lián)系。 4教師的信念和觀念研究的第一個問題是關(guān)于信念和觀念的概念。平特在研究教師關(guān)于數(shù)學(xué)問題解決的觀念和實踐的時候，描述了知識、信念和觀念之間的區(qū)別。他解釋道：“我把知識看成是人類所擁有的概念、意象和智能的一個廣泛網(wǎng)絡(luò)。信念就是每個人所掌握的無可辯駁的個人真理，這些信念衍生于經(jīng)驗或者幻想，它具有一個強(qiáng)大的、有效的、評價的組成部分觀念是潛在的概念的組織框架，從本質(zhì)上來看，觀念具有認(rèn)識的本質(zhì)。信念和觀念是知識的一部分?！庇械难芯空甙研拍羁闯墒窍鄬Σ煌晟频闹R的組成部分，它不是經(jīng)驗現(xiàn)實所遇到，不要求內(nèi)部一

49、致性。在另外一方面，觀念被看成是組織化的建構(gòu)，它構(gòu)成人們解決任務(wù)的方法，在思維和行動中，它起到了根本作用。研究的第二個問題是用于評價信念和觀念的理論模式。關(guān)于信念和觀念的研究方法，大部分的研究使用傳統(tǒng)的問卷和量化分析，也有學(xué)者使用訪談和課堂觀察。這些研究往往基于特定的理論模式，尤其是佩里（perry）的圖式理論和歐內(nèi)斯特（ernrst）的模式。從20世紀(jì)90年代開始，歐內(nèi)斯特的觀點被許多研究作為基礎(chǔ)?？ɡ锫澹╟arrillo）和康特里拉斯（contreras）報告了這項研究，他們測驗了分析教師的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)教學(xué)觀的框架。這個框架包括了4種“教學(xué)趨勢”的數(shù)學(xué)教學(xué)觀念的模式傳統(tǒng)的、技術(shù)的、自發(fā)的、

50、研究性的，并把每個趨勢的35個案例分成6類方法論、學(xué)科重要性、學(xué)習(xí)觀念、學(xué)生的作用、教師的作用和評價。這個框架也包含歐內(nèi)斯特提出的3個趨勢的數(shù)學(xué)觀念的模式：工具主義的、柏拉圖式的、問題解決的，每個趨勢包含21個案例，這21個案例可以分成3類：知識類型、數(shù)學(xué)知識的目標(biāo)、數(shù)學(xué)發(fā)展的方式。研究者對6名職前中學(xué)教師進(jìn)行了個案研究，這些個案具體解釋了這種分析性工具的使用。維勒爾（valer）和戈麥斯（gomez），對一位大學(xué)教師的信念系統(tǒng)的影響進(jìn)行了研究，這名大學(xué)教師參加了一項關(guān)注圖形計算器的課程改革方案。他們主要思考了教師信念系統(tǒng)的5個要素：數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)觀、學(xué)習(xí)觀、教學(xué)觀、教學(xué)資源的作用觀。他

51、們也思考了歐內(nèi)斯特對教師的分類。在第一學(xué)期，她被認(rèn)為是“工業(yè)訓(xùn)練者”的教師類型，因為她的信念是把數(shù)學(xué)看成是不可置疑的、被接受的真理，認(rèn)為數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)就是基本技巧的機(jī)械化訓(xùn)練。在第二學(xué)期，這個教師的行為轉(zhuǎn)變成“公共教育者”，但是她的信念系統(tǒng)仍然反映了她是一個“工業(yè)訓(xùn)練者”。研究的第三個問題是教師的信念和觀念的要素。格勞斯（grouws）古德（good）等對初中高年級的教師進(jìn)行了訪談，試圖判斷這些教師關(guān)于問題解決及其教學(xué)的觀念。他們發(fā)現(xiàn)了4種解題觀念，即把問題解決理解為：應(yīng)用題，問題情境的表征模式是決定性因素。解決問題，學(xué)生發(fā)現(xiàn)他們正在解決的數(shù)學(xué)問題的答案。解決實際問題，教師能察覺到真實的生活情

52、境。解決思維問題，需要把思維滲透到解題過程中。前三種解題觀念關(guān)注問題的本質(zhì)及其計算要素，而最后一種解題觀念主要涉及如何找到解題方法的過程。對于技術(shù)的使用來說，平特研究了參加教學(xué)改革研究方案的中學(xué)數(shù)學(xué)教師的觀念和態(tài)度，研究指出：參與者主要關(guān)注計算機(jī)融入課堂的動態(tài)性，其中一些參與者對使用這個工具進(jìn)行跨學(xué)科活動感興趣。伯蒂諾（bottion）等人的研究表明：教師關(guān)于計算機(jī)作用的信念主要是他們數(shù)學(xué)教學(xué)信念的投影。如果數(shù)學(xué)教學(xué)被解釋成知識的傳遞，而不是學(xué)生實際參與，此時與計算機(jī)的使用似乎毫無聯(lián)系。對建構(gòu)知識感興趣的教師發(fā)現(xiàn)：計算機(jī)會對他們的需要做出反饋。關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的信念在接受或拒絕計算機(jī)中影響較小，但

53、是對選擇所使用的軟件工具類型起到作用。 5數(shù)學(xué)教師的實踐有的研究者基于認(rèn)知心理學(xué)視角進(jìn)行研究。比如，研究數(shù)學(xué)教師的認(rèn)知水平及其與問題解決教學(xué)實踐的關(guān)系。更多的是針對課堂互動的研究，探討課堂教學(xué)中教師與學(xué)生的交流、學(xué)生與學(xué)生的交流會給教學(xué)效果帶來怎樣的影響。格洛夫斯（groves）等人討論了“進(jìn)步性話題”的本質(zhì)，并且考察了教師活動的關(guān)鍵特征，這些活動對作為研究共同體的數(shù)學(xué)課堂產(chǎn)生影響。他們得出結(jié)論：教師的以下活動應(yīng)當(dāng)?shù)玫焦膭?，即關(guān)注課程的概念性要素和使用復(fù)雜的、具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。開展課堂互動以便促進(jìn)所有學(xué)生解決問題。關(guān)注數(shù)學(xué)推理和證明，并且把它作為學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。20世紀(jì)90年代，社會文化理論建立在

54、維果斯基的研究基礎(chǔ)上，它在數(shù)學(xué)教育心理學(xué)共同體中非常顯著，并且演化成其中一個更具發(fā)展前景的關(guān)于教師實踐的研究分支。阿德勒（adler）應(yīng)用這個框架分析數(shù)學(xué)教學(xué)的復(fù)雜性，這些復(fù)雜性包括了多元語言課堂中的民主理想，他也關(guān)注教師干預(yù)的本質(zhì)。他研究了六年級的課堂教學(xué)事件，也討論了研究參與型教學(xué)是否能夠體現(xiàn)自身，因為它簡化了數(shù)學(xué)知識的發(fā)展。研究者得出結(jié)論：在一些情形中，教師沒有把自己扮演成學(xué)生的參照點，教師不能協(xié)調(diào)課堂上的數(shù)學(xué)交流，這種狀況不利于形成參與型課堂文化?！澳_手架”的概念、社會文化建構(gòu)、社會文化觀等理論用于實踐的研究也比較多，得到一些有一定意義的結(jié)果，如腳手架能夠在不同的水平上發(fā)揮作用，因為腳

55、手架始于物理學(xué)習(xí)環(huán)境的創(chuàng)造，首先在認(rèn)知需要的低水平上進(jìn)行互動，然后向更加復(fù)雜的互動形式發(fā)展，如生成聯(lián)系、發(fā)展表征工具、生成概念話語，最成功的腳手架是動態(tài)腳手架和反思腳手架。基斯蒂（khisty）認(rèn)為“有效教師”具有以下共同特征：鼓勵學(xué)生之間的相互支持。形成高期望。擅長把數(shù)學(xué)的概念情境化。使用探索性問題和陳述，把讀和寫作為學(xué)習(xí)工具。教師實踐的一些研究涉及教師研究自我或者與研究者的合作工作。例如，杰維斯基（jaworski）發(fā)展了“教學(xué)三人組”的理論框架，用它來模擬教師的作用，考慮到課堂的復(fù)雜性。教學(xué)三人組包括：學(xué)習(xí)管理，它描述了教師在自己和學(xué)生所構(gòu)成的課堂學(xué)習(xí)環(huán)境中的作用，還包括課堂小組、任務(wù)和

56、活動的設(shè)計、標(biāo)準(zhǔn)的確定。對學(xué)生的敏感性，這種敏感性主要涉及教師關(guān)于學(xué)生的知識，關(guān)于他們的需要和教師與學(xué)生的互動方式以及指導(dǎo)小組互動的方式。數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)，這個挑戰(zhàn)就是指讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中生成數(shù)學(xué)思維，包括任務(wù)設(shè)計、問題提出和對元認(rèn)知監(jiān)控。他們認(rèn)為這3個領(lǐng)域緊密聯(lián)系，并且相互依賴，當(dāng)3個類別最為和諧時，教學(xué)最有效。教師實踐的一些研究定位在課程的實施方面。例如，研究課程目標(biāo)的實現(xiàn)、教師對課程內(nèi)容的有效組織形式、教師對課程改革的適應(yīng)性等問題。 6教師合作和共同體建構(gòu)最近一些研究者已經(jīng)開始使用溫格（wenger）“實踐共同體”的觀點。參與這個共同體的成員共同研究問題，這種研究把群體作為分析的單元來使用，這有助于考察教師參與專業(yè)發(fā)展的活動，考察卷入到共同體形成過程中所遇到的挑戰(zhàn)，有助于探索參與專業(yè)活動的方式所發(fā)生的變化。研究者假設(shè)：實踐共同體中的參與是鼓勵教師發(fā)展的一個因素，實踐共同體中的這些活動能夠提高數(shù)學(xué)教師水平，提高教學(xué)效率。這些方案強(qiáng)調(diào)學(xué)校社區(qū)作為數(shù)學(xué)教育和專業(yè)發(fā)展變化的單元，可以與校本發(fā)展的研究聯(lián)系起來。其中一個研究領(lǐng)域是關(guān)注這些共同體如何形成，關(guān)注教師之間的網(wǎng)絡(luò)如何建立，他們?nèi)绾蔚玫街С?，以及什么因素影響或阻礙他們的創(chuàng)造。共同體和網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)成和支持是一項困難的任務(wù)，因為它涉及個體的、社會的、組織的因素。例如，麥克格羅（mc graw）