概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題7解答

1、習(xí)題七解答7.1.設(shè) 為抽自二項(xiàng)分布B(m,p) 的樣本 試求p 的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)。 解:（1）求p 的矩估計(jì)。，因此總體的一階原點(diǎn)矩為 按矩法估計(jì)有 因此p 的矩估計(jì) （2）求p 的極大似然估計(jì)。參數(shù)P的極大似然函數(shù)為令即 由此得P的極大似然估計(jì) 7.2設(shè)總體為指數(shù)分布 其概率密度函數(shù)為 求參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)。 解 設(shè)為X的一個(gè)樣本。（1）求的矩估計(jì)。因?yàn)榭傮w為指數(shù)分布，因此總體的一階原點(diǎn)矩為 按矩法估計(jì)有 因此的矩估計(jì)（2）求的極大似然估計(jì)。參數(shù)的極大似然函數(shù)為 lnL=似然方程為 =0解得 7.3設(shè)總體為上的均勻分布 求參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)。 解 設(shè)為X的一個(gè)樣本。（

2、1）求的矩估計(jì)?？傮w的一階原點(diǎn)矩為 按矩法估計(jì)有 因此的矩估計(jì)。（2）求參數(shù)的極大似然估計(jì)。由總體X的密度函數(shù)知的似然函數(shù)為 由此可以看出，要使似然函數(shù)達(dá)到最大，必須 所以的極大似然估計(jì)為 7.4設(shè)總體為上的均勻分布 求參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)。解：設(shè)為X的一個(gè)樣本。（1）求的矩估計(jì)?？傮w的一階原點(diǎn)矩為 按矩法估計(jì)有 因此的矩估計(jì)。（2）求參數(shù)的極大似然估計(jì)。由總體X的密度函數(shù)知的似然函數(shù)為 由此可以看出，要使似然函數(shù)達(dá)到最大，必須 所以的極大似然估計(jì)為 7.5假設(shè)為來自正態(tài)總體的樣本，其中已知，求 的極大似然估計(jì)。解 似然函數(shù)為 于是 似然方程是 解得的極大似然估計(jì)量為 7.6設(shè)總體的概率

3、密度函數(shù)為（這是指數(shù)分布的另一種形式）.從該總體中抽出樣本,考慮的如下四種估計(jì) (1)這四個(gè)估計(jì)中，哪些是的無偏估計(jì)？ （2試比較這些估計(jì)的方差。 解：(1)因?yàn)槭菑目傮w中抽出的樣本，所以因此都是的無偏估計(jì)。(2) 由上述各式知：。 7.7一個(gè)電子線路上電壓表的讀數(shù)X服從上的均勻分布,其中是該線路上電壓的真值,但它是未知的，假設(shè)是此電壓表上讀數(shù)的一組樣本，(1)證明樣本均值不是的無偏估計(jì)。(2) 求的矩估計(jì)，證明它是的無偏估計(jì)。解：（1）因?yàn)槭强傮w的一組樣本，所以 因此樣本均值不是的無偏估計(jì)。(2)令得的矩估計(jì)為 因?yàn)樗允堑臒o偏估計(jì)。 7.8 設(shè)都是的無偏估計(jì)，且，構(gòu)造一個(gè)新無偏估計(jì) 如果相

4、互獨(dú)立, 確定c 使得 達(dá)到最小。解：因?yàn)?都是的無偏估計(jì)，所以 因此是的無偏估計(jì)。又因?yàn)椋嗷オ?dú)立，所以 =當(dāng)時(shí)，可使得 達(dá)到最小。7.9從工廠產(chǎn)品庫中隨機(jī)抽取16只零件，測得它們的長度(單位：厘米)為 2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10, 2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11假設(shè)零件長度分布為，試分如下兩種情況求的置信系數(shù)為0.90的置信區(qū)間：(1)；(2)未知。 解：(1)因?yàn)榭傮w，對給定數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算可得，=2.125，n=16，對于置信系數(shù)0.9，可查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得臨界值，于是所求置信區(qū)間為 = (

5、2) 對給定數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算可得，S=0.017，因?yàn)榭傮w服從正態(tài)分布，n=16，所以 t(15)，對于置信系數(shù)0.9，可查t分布表，得臨界值，于是所求置信區(qū)間為 =(2.117,2.133) 7.10要比較兩個(gè)漢字錄入軟件A和B的性能，考慮它們對于錄入速度的影響。確定一篇文檔， 隨機(jī)挑選10名有3年工作經(jīng)驗(yàn)但都沒有使用過A和B的女性打字員，并請她們抽取使用A和B的順序，使得5先用A，另5人先用B然后交換，記錄下她們錄入文檔所用的時(shí)間(單位：分鐘)如下： A：12.4,7.6,10.7,13.1,11.2,8.5,10.9,10.3,11.2,8.4 B：12.9,10.9,11.2,10.8,12

6、.2,11.6,10.7,10.5,13.1,11.6 假設(shè)使用兩種軟件的錄入時(shí)間分別服從正態(tài)分布和.求 的置信系數(shù)為0.9的置信區(qū)間.(請讀者思考：為什么要抽取5先用A,另5人先用B？)解：對給定數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算可得，置信系數(shù)為0.9，可查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得臨界值，又因?yàn)?于是所求置信區(qū)間為 7.11 甲、乙兩組生產(chǎn)同種導(dǎo)線，現(xiàn)從甲組生產(chǎn)的導(dǎo)線中隨機(jī)抽取4根 從乙組生產(chǎn)的導(dǎo)線中隨機(jī)抽取5根，它們的電阻值(單位：歐姆)分別為 甲組：0.143,0.142,0.143,0.137 乙組：0.140,0.142,0.136,0.138,0.140, 假設(shè)兩組電阻值分別服從正態(tài)分布和,其中未知試求的置信系數(shù)為0.95的置信區(qū)間 . 解：首先我們查t分布表得，對給定數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算可得，所以 故所求的二總體均值差1-2的99%置信區(qū)間為 =7.12某市隨機(jī)抽取1000個(gè)家庭,調(diào)查知道其中有228家擁有小汽車.試據(jù)此數(shù)據(jù)求該市擁有小汽車家庭比例p的置信區(qū)間，取置信系數(shù)為0.95.解：n=1000，=228，所求置信區(qū)間為 = =0.202,0254 7.13 根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)可以認(rèn)為，任一地區(qū)單位時(shí)間內(nèi)(如一天或一個(gè)月或一年)火災(zāi)發(fā)生次數(shù)服從泊松