《正比例和反比例的意義》探究性教學(xué)設(shè)計(jì)

1、正比例和反比例的意義教學(xué)設(shè)計(jì)探究學(xué)目標(biāo)：經(jīng)歷從具體實(shí)例中認(rèn)識(shí)成正比例和反比例的量的過程，理解正比例、反比例的意義，學(xué)會(huì)判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例或反比例。探究重難點(diǎn)： 正確理解并判斷正反比例探究過程：( 一) 導(dǎo)引探究，由表及里教學(xué)例 1，認(rèn)識(shí)成正比例的量。1談話引出例1 的表格。一輛汽車在公路上行駛，行駛的時(shí)間和路程如下表。時(shí)間（時(shí)）123456路程（千米）80160240320400480在讓學(xué)生說一說表中列出了哪兩種量之后，教師引導(dǎo)學(xué)生逐步探究：行駛的時(shí)間和路程有關(guān)系嗎 ?行駛的時(shí)間是怎樣隨著路程的變化而變化的?行駛的時(shí)間和路程的變化有什么規(guī)律 ?( 學(xué)生探究第 3 個(gè)問題時(shí)， 教師

2、可進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，如引導(dǎo)學(xué)生寫出幾組路程和時(shí)間對(duì)應(yīng)的比，并要求學(xué)生求出比值。)2引導(dǎo)學(xué)生交流并聚焦以下內(nèi)容：路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，路程隨著時(shí)間的變化而變化；時(shí)間擴(kuò)大、路程也擴(kuò)大，時(shí)間縮小、路程也縮??；路程和時(shí)間的比值總是一定的，也就是“路程時(shí)間=速度(一定)” ( 板書關(guān)系式 )。3教師對(duì)兩種量之間的關(guān)系給予具體說明：路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，時(shí)間變化，路程也隨著變化。當(dāng)路程和對(duì)應(yīng)時(shí)間的比值總是一定( 也就是速度一定 ) 時(shí)，我們就說行駛的路程和時(shí)間咸正比例 ( 板書“路程和時(shí)間成正比例” ) ，行駛的路程和時(shí)間是成正比例的量。4 讓學(xué)生根據(jù)板書完整地說一說表中路程和時(shí)間成什么關(guān)系。數(shù)

3、學(xué)概念是客觀現(xiàn)實(shí)中數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。數(shù)學(xué)概念的來源一般有兩個(gè)方面：一是直接從實(shí)際經(jīng)驗(yàn)中概括得出；二是在原有的初級(jí)概念基礎(chǔ)上通過新舊概念的相互作用而獲得。正比例概念的形成屬于前者，因此例1 的教學(xué)可以充分利用表格，讓學(xué)生通過對(duì)表中數(shù)據(jù)的觀察和分析，由淺入深，由表及里，逐步認(rèn)識(shí)成正比例的量的特點(diǎn)。本環(huán)節(jié)先讓學(xué)生觀察例題中的表格，說一說表中列出的是哪兩種量；接著用三個(gè)引探性的問題逐步引導(dǎo)學(xué)生在探究學(xué)習(xí)活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)路程與時(shí)間之間的關(guān)系及變化趨勢；最后，聚焦、明晰這兩種量之間的關(guān)系，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)正比例的特點(diǎn)。這樣的教學(xué)有利于學(xué)生經(jīng)歷正比例概念的形成過程。(二) 自主探究，嘗試歸

4、納出示例 2：汽車從甲地開往乙地，行駛的速度和所用時(shí)間如下表，它們之間有什么規(guī)律 ?速度（千米 / 時(shí)）406080100120時(shí)間（時(shí)）30201512101出示供學(xué)生自主探究的問題：當(dāng)速度變化時(shí)，時(shí)間是否也隨著變化?這種變化與例 1 中兩種量的變化有什么不同?速度和時(shí)間的變化有什么規(guī)律?2引導(dǎo)學(xué)生在自主探究、交流中認(rèn)識(shí)成反比例的量的特點(diǎn)：速度和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，速度變化，時(shí)間也隨著變化；例2 中兩種量的變化規(guī)律是：一種量擴(kuò)大，另一種量反而縮??；速度和時(shí)間的變化規(guī)律是它們的乘積一定，可以表示為“速度時(shí)間=路程(一定)” (板書關(guān)系式 )。3在發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生仿照正比例的意義，

5、嘗試歸納反比例的意義，引出反比例概念 ( 板書“速度和時(shí)間成反比例”) 。 從生活原型中逐步抽象，從已有概念中衍生，從數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中遷移等，都是建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的有效方法。有了學(xué)習(xí)正比例的基礎(chǔ)，反比例意義的學(xué)習(xí)應(yīng)更加體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)自主性。 本環(huán)節(jié)除了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)成反比例的量之間的關(guān)系，還讓學(xué)生仿照正比例的意義，嘗試歸納反比例的意義。這樣能真正發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，讓學(xué)生在自主探究過程中經(jīng)歷反比例概念的形成過程。( 三 ) 對(duì)比探究，把握本質(zhì)規(guī)律1將例 1、例 2 教學(xué)時(shí)探究發(fā)現(xiàn)的內(nèi)容用多媒體呈現(xiàn)出來，揭示正比例、反比例的內(nèi)涵本質(zhì)。多媒體呈現(xiàn)：例 1路程時(shí)間 =速度 ( 一定 )路程和時(shí)間成正比例例

6、 2速度時(shí)間；路程( 一定 )速度和時(shí)間成反比例2探究活動(dòng)。(1)讓學(xué)生仿照例1 完成教材第62 頁“試一試”(題略 ) ，仿照例 2 完成教材第65 頁“試一試” ( 題略 ) 。(2) 引導(dǎo)學(xué)生將成正比例的量與成反比例的量進(jìn)行對(duì)比探究，找出它們的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。 例1 中路程和時(shí)間相依互變，速度不變，例2 中速度和時(shí)間相依互變，路程不變，這樣的對(duì)比有利于學(xué)生從變中看到不變；例1 中速度是不變量，例2 中路程是不變量，同樣都有不變量，例1 中路程和時(shí)間成正比例，而例2 中速度和時(shí)間成反比例，這樣的對(duì)比有利于學(xué)生從不變中看到變。 變與不變關(guān)鍵要抓住本質(zhì) “比值一定” 還是“積一定”。對(duì)比探究活

7、動(dòng)旨在讓學(xué)生把握概念內(nèi)在的聯(lián)系與區(qū)別，形成正比例、反比例概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 (3) 引導(dǎo)學(xué)生嘗試用字母表達(dá)式對(duì)正比例的意義和反比例的意義進(jìn)行抽象概括。啟發(fā)學(xué)生思考： 如果用字母 x 和 y 分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量、 用 k 表示它們的比值，正比例關(guān)系可以怎樣表示?如果用字母x 和 y 表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k 表示它們的積，反比例關(guān)系可以怎樣表示?根據(jù)學(xué)生的回答， 板書關(guān)系式 “正比例 y x=k ( 一定 ) ”，“反比例 x y=k( 一定 ) ”。概念符號(hào)化在概念教學(xué)中很重要。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出，符號(hào)感主要表現(xiàn)之一是能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號(hào)來表示。學(xué)生概念形成的主

8、要過程為：感知具體對(duì)象階段、嘗試建立表象階段、抽象本質(zhì)屬性階段、符號(hào)表征階段、概念運(yùn)用階段。在符號(hào)表征階段，學(xué)生嘗試用語言或符號(hào)對(duì)同類對(duì)象的本質(zhì)屬性進(jìn)行概括。本階段教學(xué)是概念符號(hào)表征階段，在這個(gè)階段之前，學(xué)生對(duì)正比例、反比例的本質(zhì)屬性及特征有一定的認(rèn)識(shí)，可以開始嘗試用符號(hào)對(duì)正比例、反比例進(jìn)行概括?！皔x=k(一定 ) ”，“ x y=k( 一定 ) ”，是對(duì)正比例、反比例意義的抽象表達(dá)，是揭示正比例、反比例數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。3組織對(duì)比性練習(xí)。(1) 成正比例、反比例的對(duì)比練習(xí)。筆記本的單價(jià)、購買的數(shù)量和總價(jià)如下表：表 1數(shù)量/本2030405060總價(jià)/元3045607590表2

9、單價(jià)/元數(shù)量/本1.524403015512610在表1 中，相關(guān)聯(lián)的量是和，隨著變化，是一定的。因此，數(shù)量和總價(jià)成關(guān)系。!在表2 中，相關(guān)聯(lián)的量是和 ，隨著變化，是一定的。因此，單價(jià)和數(shù)量成關(guān)系。將獲得的新概念推廣到其他的同類對(duì)象中去，是概念運(yùn)用的過程，也是進(jìn)一步理解概念的過程。表1 是成正比例的量，表2 是成反比例的量，這種正比例與反比例的對(duì)比，有利于學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)正比例、反比例意義的認(rèn)識(shí)，對(duì)正比例或反比例中兩種量變化趨勢和規(guī)律的把握。 (2) 成比例與不成比例的對(duì)比練習(xí)。下面每題中的兩個(gè)量哪些成正比例，哪些成反比例?哪些既不成正比例也不成反比例?圓的直徑和周長。小麥每公頃產(chǎn)量一定，小麥的公頃數(shù)和總產(chǎn)量。書的總頁數(shù)一定，已經(jīng)看的頁數(shù)和未看的頁數(shù)。 這一類型題比較抽象，學(xué)生只有對(duì)正比例、反比例的意義有了較深刻的理解，才能正確地作出判斷。 這樣的練習(xí)有助于學(xué)生從整體上把握各種量之間的關(guān)系，有助于進(jìn)一步提高學(xué)生判斷成正比例、 反比例的量的能力。此題型