第四章：理想流體動(dòng)力學(xué)

1、第四章 理想流體動(dòng)力學(xué)課堂提問：支持飛機(jī)升空，機(jī)翼的升力是怎么產(chǎn)生的？ 為什么在江河、海洋中游泳時(shí)不能在靠近船塢等岸邊建筑物附近下水？本章從力學(xué)的角度來研究理想流體的運(yùn)動(dòng)， 雖然工程技術(shù)中的實(shí)際流體并不是理想流體，工程中很多情況下流體的粘性力和其它力相比作用很小，理想流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律句有指導(dǎo)意義和實(shí)際意義。本章內(nèi)容： 1歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程式2拉格郎日積分式3. 伯努利積分式，幾何意義，物理意義4.動(dòng)量定理及動(dòng)量矩定理本章重點(diǎn)：1）理想流體運(yùn)動(dòng)所遵循的動(dòng)力學(xué)方程歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程（主要掌握微分體積法推導(dǎo)方程，了解各項(xiàng)的意義。2）拉格朗日積分以及伯努利積分的前提，各項(xiàng)的量綱，幾何意義，物理意義，位置水頭

2、、速度水頭、測(cè)管水頭，壓力水頭以及總水頭之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，要求熟練應(yīng)用伯努利方程解題，繪制測(cè)管水頭線以及總水頭線。3）皮托管測(cè)流速的原理，應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意的問題4）伯努利方程的應(yīng)用4）動(dòng)量定理應(yīng)用，動(dòng)量矩方程的應(yīng)用。本章難點(diǎn)：1）伯努利方程應(yīng)用中流線上兩點(diǎn)的選取，如何減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)。2）動(dòng)量定理應(yīng)用中各項(xiàng)符號(hào)的確定。3）伯努利方程中三個(gè)水頭之間的轉(zhuǎn)換。- 歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程式某瞬間在理想流體中取，的平行六面體，由牛頓第二定理： ii（，） （-）以方向?yàn)槔海┍砻媪Γ何⒃w左面上壓力（，），右面壓力（，）。由臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開，并略去高階微量后：向表面力的合力（理想流體，無切應(yīng)力）： ）質(zhì)量力：單位質(zhì)

3、量的質(zhì)量力分量，軸上的投影：）微元體的質(zhì)量：）加速度，方向：代入（-）式，同理得其余兩式 （-）矢量式式（-）即為理想流體的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程式。歐拉運(yùn)動(dòng)方程共有三個(gè)方程式，再加上連續(xù)方程式，四個(gè)方程式，給定所提問題的邊界條件和初始條件，求解四個(gè)未知函數(shù)x、y、z和。- 拉格朗日積分式歐拉方程在非定常無旋運(yùn)動(dòng)條件下的積分。假設(shè)：1）理想不可壓縮流體：const；2）質(zhì)量力具有勢(shì)函數(shù)：，（其中為質(zhì)量力的勢(shì)函數(shù)）；3）運(yùn)動(dòng)是無旋的，存在速度勢(shì)函數(shù)，滿足： 。由）有由）有由）有將以上關(guān)系代入歐拉方程：上式移項(xiàng)，同理可得另外兩式，則方括弧內(nèi)的函數(shù)不隨(，)變化，只可能是時(shí)間的函數(shù)。 （-）引入速度勢(shì)的另

4、一，定義： 仍不影響它與速度的關(guān)系： 所以和實(shí)質(zhì)上是一樣的。式（-）可改寫成如果質(zhì)量力只有重力，取軸鉛直向上，有U，故或上式為非定常無旋運(yùn)動(dòng)的拉格朗日積分式。對(duì)于定常無旋運(yùn)動(dòng)：(通用常數(shù))對(duì)于理想、不可壓、只有重力作用，定常，無旋運(yùn)動(dòng)，上式可寫成： (通用常數(shù)) 因通用常數(shù)：在整個(gè)流場都不變，該方程在整個(gè)流場建立了速度和壓力之間的關(guān)系。如果用理論或?qū)嶒?yàn)的方法得到流場的速度分布，應(yīng)用拉格朗日積分式得出流場的壓力分布，再將壓力分布沿固體表面積分，就可以計(jì)算出流體與固體之間的相互作用力。課堂舉討論：1）機(jī)翼產(chǎn)生升力的原因2）兩艘并排行駛而又靠得很近的船舶為什么會(huì)產(chǎn)生互相吸引的“船吸現(xiàn)象”；2）淺水航

5、道的“吸底現(xiàn)象”。 4）為什么在江河、海洋中游泳時(shí)不能在靠近船塢等岸邊建筑物附近下水？-伯努利積分式及其應(yīng)用理想、不可壓縮流體，質(zhì)量力有勢(shì)，定常運(yùn)動(dòng)，沿流線積分。假設(shè)：）理想不可壓縮流體，質(zhì)量力有勢(shì)；）定常運(yùn)動(dòng)；）沿流線積分。由），）有 歐拉方程可寫成定常運(yùn)動(dòng)流線與軌跡重合，在軌跡上： xdyz式）、）、）兩邊分別乘以式）、）、）。以第一式為例：即 ()同理有 （） （）將()、（）、（）三式相加，考慮到速度的模2x2y2z2有：在流線上有括弧內(nèi)在流線上的全微分等于零，因此沿流線是一個(gè)不變的常數(shù)，即在重力場中，則或（沿流線成立，l稱為流線常數(shù)）這就是著名的伯努利方程。拉氏積分和伯氏積分的不同之

6、處：）應(yīng)用條件不同：拉格朗日積分只能用于無旋流運(yùn)動(dòng)，伯努利積分無限制。）常數(shù)性質(zhì)不同：拉格朗日積分中的常數(shù)為普遍常數(shù)，伯努利積分中的常數(shù)為流線常數(shù)。換句話說，拉氏積分在整個(gè)空間成立，伯氏積分只在同一條流線上成立。伯氏方程推廣于有限大的流束應(yīng)為：推導(dǎo)如下：在“漸變流動(dòng)”斷面上：=常數(shù)，為簡單計(jì)，我們約定取過水?dāng)嗝嫘涡奶幍臄?shù)值。近似地取過水?dāng)嗝娴钠骄魉俅?，即代替（），有限大流束的伯氏方程可寫?或應(yīng)用注意的條件：）流動(dòng)是定常的；）只有重力的作用；）流體是不可壓縮的；4）、截面處，流動(dòng)必須是“漸變流”。伯努利方程應(yīng)用舉例：例一 、小孔口出流圖-的容器裝有液體，在此兩截面上，各物理量分別為：截面：

7、1 10 1截面：2 20 2列立與截面、相應(yīng)的伯氏方程速度：因粘性影響一般用一個(gè)流速系數(shù)實(shí)際 圖-由實(shí)驗(yàn)確定，其值通常為0.96注意：由于慣性的作用，一般會(huì)產(chǎn)生“頸縮現(xiàn)象”。截面積要小于洞孔的面積，兩者的比值稱為收縮系數(shù)實(shí)際流量：實(shí)際實(shí)際e令為流量系數(shù)，上式可寫成實(shí)際系數(shù)由實(shí)驗(yàn)來測(cè)定。例如圓形孔口，其值為0.610.63。例二 文德利管，如圖-所示。取基準(zhǔn)線沿管的軸線，則12。列伯氏方程連續(xù)方程圖-聯(lián)立得解出體積流量為1111，測(cè)壓管測(cè)出；用形管（內(nèi)裝水銀）比壓計(jì)時(shí)因此 或 實(shí)際流動(dòng)中有能量損失，應(yīng)乘上流量系數(shù)，其值約為0.98。例三 汽化器如圖-所示取管軸為基準(zhǔn)線，把整個(gè)汽化器當(dāng)作一個(gè)流管

8、，將截面取在汽化器尚未入口前方的大汽中，截面取在最小截面處。截面：，0，截面：，待求，列立伯氏方程 圖-故求得汽化器的真空度為例四 皮托管和聯(lián)合測(cè)管，如圖-所示。皮托管測(cè)得的壓力稱為總壓力，皮托管又稱總壓管。流線上列立伯氏方程，考慮到點(diǎn) A UAUB點(diǎn) B UB因此 圖-可得只要測(cè)出總壓B和動(dòng)壓A之差，就可算出流速，在上述問題中BA（） 圖-因此 只要讀出皮托管與測(cè)壓管的液面高度差就可算出水流速度。為了方便，可將測(cè)壓管和皮托管結(jié)合在一起形成“聯(lián)合測(cè)管”，或稱普朗特管，其原理如圖-所示這時(shí)UAU UB管在處感受到動(dòng)壓，而管在處感受到總壓， 在測(cè)量空汽中的流速時(shí)，管和管要分別和形管測(cè)壓計(jì)的兩端連接

9、，其原理如圖4-8所示。其中總壓力與動(dòng)壓力之差：PBA11為測(cè)壓計(jì)中所用液體的重度，速度計(jì)算公式中就是欲測(cè)流速的汽體重度。 圖4-8例五 虹吸管，如圖-取為基準(zhǔn)面，列立斷面和的伯氏方程。解方程得 圖-流量列和伯氏方程，求虹吸管頂點(diǎn)處的真空度。真空度水柱高真空度- 伯努利方程的幾何意義和能量意義一、幾何意義：長度量綱，表示流體質(zhì)點(diǎn)或空間點(diǎn)在基準(zhǔn)面以上的幾何高度，又稱位置水頭。：長度量綱，流體在壓力（這里理解為相對(duì)壓力）作用下，測(cè)壓管中液面上升的高度，稱為壓力高度、測(cè)管高度，或稱壓力水頭、測(cè)管水頭，記為。：長度的量綱，稱為“流速高度”或“速度水頭”。可用皮托管和測(cè)壓管中液面高度差來表示，記為。總水

10、頭線壓力水頭線理想不可壓縮流體定常運(yùn)動(dòng)，沿著流線有幾何高度、壓力高度和流速高度之和為一常數(shù)，也就是說三個(gè)高度（水頭）加起來的總水頭的端點(diǎn)的連線總水頭線為一條水平線。 二、能量意義：單位重量流體的位能，記為。 。：單位重量流體的動(dòng)能，記為 。：單位重量流體的壓力能，記為。一端封閉的玻璃管倒置在流體內(nèi)某一點(diǎn)，管內(nèi)抽為真空，液體在壓力作用下會(huì)上升的高度，其時(shí)單位重量流體卻增加了的位能?？梢婍?xiàng)轉(zhuǎn)變?yōu)槲荒?，所以稱為單位重量流體的壓力能。因此（常數(shù)）上式表示對(duì)于理想流體的定常運(yùn)動(dòng)而言，單位重量流體的位能，壓力能和動(dòng)能之和在流線上為一常數(shù)。因?yàn)樵诙ǔ＿\(yùn)動(dòng)中，流線與軌跡重合，所以伯努利方程就意味著：同一流體微

11、團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過程中，它的單位重量的位能、壓力能和動(dòng)能之和保持不變。因此，伯努利方程是能量守恒定律在流體力學(xué)中的體現(xiàn)。- 動(dòng)量定理及動(dòng)量矩定理一、動(dòng)量定理 工程中常要計(jì)算流體和物體之間的相互作用求作用力的合力或合力矩，應(yīng)用動(dòng)量定理較為合適與方便。理論力學(xué)中動(dòng)量定理是按拉格朗日觀點(diǎn)，質(zhì)系動(dòng)量變化率等于作用在這一質(zhì)點(diǎn)系上外力的總和，即針對(duì)控制面如圖-所示內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)系經(jīng)過時(shí)間后，移動(dòng)到了新的位置所產(chǎn)生的總動(dòng)量變化為+-+=（-）+（- ） 圖-運(yùn)動(dòng)定常，速度場將不隨時(shí)間改變。流體質(zhì)點(diǎn)離開空間區(qū)域后，將被具有同樣速度的另一質(zhì)點(diǎn)所占據(jù)。因此新舊邊界面之間的公共區(qū)域內(nèi)動(dòng)量是不變的，即=，因此-=0，則有=可得動(dòng)

12、量變化率為式中12就是控制體邊界面。上式中計(jì)算通過1的動(dòng)量時(shí)用的相對(duì)于來說是內(nèi)法線?，F(xiàn)統(tǒng)一用的外法線方向單位矢量來計(jì)算時(shí)，式（-）右邊第二項(xiàng)應(yīng)改為正號(hào)，則兩項(xiàng)積分可合并成在12上的積分根據(jù)動(dòng)量定理，此項(xiàng)控制面內(nèi)流體的動(dòng)量變化率應(yīng)等于作用于內(nèi)流體上外力的總和，即式中包括：）質(zhì)量力，尤其是重力；）控制面上表面力的合力。對(duì)于理想流體則就是壓力（負(fù)號(hào)是因?yàn)閴毫Φ姆较蚺c的外法線方向相反）；）物體施加于流體的作用力，這一項(xiàng)是用動(dòng)量定理要求出的力。動(dòng)量定理可寫成+略去重力，可改寫為為控制面的外法線方向單位矢量。進(jìn)行具體計(jì)算，可寫成投影式：特別注意：1）速度的含義和符號(hào)， 與的外法線方向一致時(shí)為正，反之為負(fù)，

13、而、與，一樣，與坐標(biāo)軸一致為正，反之為負(fù)。 2），是物體作用在控制面內(nèi)流體上的合力的個(gè)分量，要求流體作用在物體上的合力，反號(hào)即可。3）邊界面或流面（流線所組成的面）。這些面上沒有動(dòng)量進(jìn)出，因而動(dòng)量的通量等于零；4）速度及壓力分布已知的面。二、動(dòng)量矩定理用同樣的方法，我們可以推導(dǎo)出理想流體作定常運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩定理即繞某一點(diǎn)或某一軸的動(dòng)量矩變化率等于外力對(duì)同一點(diǎn)或軸的力矩之和。式中為取矩點(diǎn)到流體質(zhì)點(diǎn)的矢徑。與前面動(dòng)量定理一樣，外力包括質(zhì)量力、表面力以及流體中物體對(duì)流體的作用力。寫成直角坐標(biāo)形式為 （-）上面的動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理雖然是針對(duì)理想流體導(dǎo)出的，但它們也可用于實(shí)際流體，此時(shí)只要在表面力項(xiàng)中

14、把作用于控制面上的切向力包括進(jìn)去即可。注意：1）兩個(gè)定理均不能用于非定常流動(dòng)。因?yàn)閷?duì)于非定常流動(dòng)，除了進(jìn)出控制面的動(dòng)量流會(huì)引起動(dòng)量變化之外，速度場的非定常性也會(huì)引起動(dòng)量的變化。式（-）的右邊還要增加一項(xiàng) （-），2）單知道控制面上物理量的分布而不知道內(nèi)部的物理量的分布時(shí)，這一體積分是不能計(jì)算的。也就是說，雖然對(duì)于非定常流動(dòng)可以把動(dòng)量定理寫成式（-），但它并無多大實(shí)用價(jià)值。動(dòng)量定理的應(yīng)用例六 流體對(duì)彎管管壁的壓力如圖-，取管壁和截面1、2組成的封閉面為控制面，對(duì)此控制面內(nèi)流體應(yīng)用動(dòng)量定理右邊是控制面內(nèi)流體單位時(shí)間的動(dòng)量變化。因此即 圖-在所研究的問題中重力比其他各項(xiàng)小許多，可略去 例七 射流對(duì)傾

15、斜平板的沖擊力 如圖-，由伯氏方程知 12取如圖中虛線所示的封閉曲面為控制面，列立方向和方向的動(dòng)量定理：由連續(xù)性方程 圖-考慮到，有012所以 式中：為流體對(duì)平板作用的切向分力。因?yàn)榧僭O(shè)為理想流體，故切向分力為零?？倹_擊力n沿平板法向。1、2分別是流束沖擊平板后分為兩股流束的厚度?？梢钥闯霎?dāng)是銳角時(shí)，12。這時(shí)因?yàn)?，在拐彎曲率小的那邊，流體能順地流過去，因此有更多的流體擁向這邊，使得曲率小的這邊流束較厚。取為參考點(diǎn)，用動(dòng)量矩定理來求n作用點(diǎn)離開點(diǎn)的距離。注意寫出動(dòng)量矩和力矩時(shí)，反時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。列出動(dòng)量矩方程式整理可得上式中的負(fù)號(hào)表示n作用點(diǎn)位于軸的負(fù)向上。例八 氣墊船基本原理氣墊船結(jié)構(gòu)

16、如圖-所示。設(shè)艇底作用的壓力為，以單位厚度的噴柱為討論對(duì)象，討論右邊單個(gè)噴柱，取控制體如圖所示，沿水平方向列動(dòng)量方程。在方向垂直方向，所以 或 圖-式中：為噴出的流體動(dòng)量，由風(fēng)扇的功率所決定。氣墊船重量越大時(shí)，間隙越小。而底面積增大時(shí)，則增大。所以氣墊船的形狀比較扁平，以使較大。例九 滑行艇的基本原理滑行艇如圖-所示。 除了滑行艇的底部外，自由上處處為大氣壓力0，根據(jù)伯努利方程得120 圖-由連續(xù)方程0水平方向列動(dòng)量方程：=sin所以 或 式中：為艇對(duì)流體的作用力。為負(fù)值表示它的方向與圖-所示的方向相反。根據(jù)作用與反作用的關(guān)系可知，則圖示的正好就是流體對(duì)滑行艇的作用力。例4.2 阻力測(cè)定的試驗(yàn) 見圖4-18，