曲面方程的概念課件

1、曲面方程的概念一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、常見的二次曲面及其方程二、常見的二次曲面及其方程三、空間曲線的方程三、空間曲線的方程四、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影四、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第六節(jié)第六節(jié) 二次曲面與空間曲線二次曲面與空間曲線第八章第八章 向量代數(shù)向量代數(shù) 空間解析幾何空間解析幾何曲面方程的概念 若曲面若曲面 上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程 F( x, y, z ) = 0 (或或 z = f ( x , y )， 而不在曲面而不在曲面 上的點(diǎn)的坐標(biāo)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程都不滿足方程 F ( x , y , z ) = 0 ( 或或 z = f ( x , y

2、 )， 則則稱稱方程方程 F ( x , y , z ) = 0 ( 或或 z = f ( x , y ) 為為曲面曲面 的方程的方程. 而曲面而曲面 就稱為就稱為方程方程 F( x , y , z ) = 0 ( 或或 z = f ( x , y ) 的圖形的圖形.一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念曲面方程的概念1. .球面方程球面方程球心在球心在 M0 ( x0 , y0 , z0 )， 半徑為半徑為 R 的球面方程的球面方程 2202020)()()(Rzzyyxx半徑為半徑為 R 的球面方程為的球面方程為球心在原點(diǎn)時(shí)，球心在原點(diǎn)時(shí)，.2222Rzyx 二、常見的二次曲面及其方程二、常

3、見的二次曲面及其方程曲面方程的概念 半徑為半徑為 1 的的球面球面.例例 10122222222 zxzyx方方程程表示怎樣的曲面表示怎樣的曲面?解解原方程兩邊同時(shí)除以原方程兩邊同時(shí)除以 2 ， 并將常數(shù)項(xiàng)移到并將常數(shù)項(xiàng)移到等式右端，等式右端，得得21222 zxzyx配方得配方得.1)21()21(222 zyx所以，所以， 原方程表示球心在原方程表示球心在)21,0,21( 曲面方程的概念 定曲線定曲線 C 稱稱為柱面的為柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線.2. .母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程動直線動直線 L 沿給定曲線沿給定曲線 C 平行移動形成的曲面，平行移動形成的曲面，稱為稱為柱

4、面柱面，動直線動直線 L 稱為柱面的稱為柱面的母線母線， LC 柱面的形成柱面的形成 曲面方程的概念由于方程由于方程 f ( (x , y) )= 0 不含不含 z， 所所以點(diǎn)以點(diǎn) M( (x, y, z) )也滿足方程也滿足方程 f ( (x, y) )= 0 .設(shè)設(shè) M (x, y, z) )為柱面上的任一點(diǎn)，為柱面上的任一點(diǎn)， 過過M 作平行于作平行于 z 軸的直線交軸的直線交 x y 坐標(biāo)面于點(diǎn)坐標(biāo)面于點(diǎn)),(zyxM 由柱面定由柱面定義可知義可知 必在準(zhǔn)線必在準(zhǔn)線 C 上上.M 所以所以 的坐標(biāo)滿足曲線的坐標(biāo)滿足曲線 C 的方程的方程 f ( (x , y) )= 0 .M 而不在柱

5、面上而不在柱面上的點(diǎn)作平行于的點(diǎn)作平行于 z 軸的直線軸的直線 與與 x y 坐標(biāo)面的交點(diǎn)必不在曲線坐標(biāo)面的交點(diǎn)必不在曲線 C 上，上，也就是說不在柱面上的點(diǎn)的坐也就是說不在柱面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程標(biāo)不滿足方程 f ( (x , y) )= 0. 所以，所以，不含變量不含變量 z 的方程的方程xyzOM MLC 現(xiàn)在來建立以現(xiàn)在來建立以 x y 坐標(biāo)面上的曲線坐標(biāo)面上的曲線 C : f ( x , y ) = 0 為準(zhǔn)線，為準(zhǔn)線， 平行于平行于 z 軸的直線軸的直線 L 為母線為母線 的柱面方程的柱面方程. 曲面方程的概念 f ( (x , y) )= 0 在空間表示以在空間表示以 x y

6、坐標(biāo)面上的曲線為準(zhǔn)線，坐標(biāo)面上的曲線為準(zhǔn)線， 平行于平行于 z 軸的直線為母線的柱面軸的直線為母線的柱面.類似地，類似地， 不含變量不含變量 x 的方程的方程f( ( y , z) )= 0 平行于平行于 x 軸的直線為母線的柱面軸的直線為母線的柱面.在空間表示以在空間表示以 y z 坐標(biāo)面上的曲線為準(zhǔn)線，坐標(biāo)面上的曲線為準(zhǔn)線，而不含變量而不含變量 y 的方程的方程f ( (x , z) )= 0在空間表示以在空間表示以 x z 坐標(biāo)面上的曲線為準(zhǔn)線，坐標(biāo)面上的曲線為準(zhǔn)線， 平行于平行于 y 軸的直線為母線的柱面軸的直線為母線的柱面.曲面方程的概念 例如方程例如方程 在空間表示以在空間表示以

7、x y 坐標(biāo)面坐標(biāo)面上的圓為準(zhǔn)線、上的圓為準(zhǔn)線、222Ryx 平行于平行于z 軸的直線為母線的柱面軸的直線為母線的柱面. 稱為稱為圓柱面圓柱面xyzO曲面方程的概念 方程方程 y = x2 在空間表示以在空間表示以 x y 坐標(biāo)面上的拋物坐標(biāo)面上的拋物線為準(zhǔn)線、線為準(zhǔn)線、 平行于平行于z 軸的直線為母線的柱面軸的直線為母線的柱面. 稱為稱為拋物柱面拋物柱面.xyzO曲面方程的概念1422 zx 平行于平行于 y 軸的直線為母線的柱面軸的直線為母線的柱面, 方程方程 在空間表示以在空間表示以 x z 坐標(biāo)面上的橢坐標(biāo)面上的橢圓為準(zhǔn)線，圓為準(zhǔn)線， 稱為橢稱為橢圓柱面圓柱面.xyzO2曲面方程的概念

8、 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面 的方程的方程. 現(xiàn)在來建立現(xiàn)在來建立 y z 面上曲線面上曲線 C : f ( y , z ) = 0 設(shè)設(shè) M( x, y, z ) 為旋轉(zhuǎn)曲為旋轉(zhuǎn)曲面上任意一點(diǎn)，面上任意一點(diǎn)， 過點(diǎn)過點(diǎn) M 作平作平面垂直于面垂直于 z 軸，軸， 交交 z 軸于點(diǎn)軸于點(diǎn) P ( 0, 0, z )， 交曲線交曲線 C 于點(diǎn)于點(diǎn)M0( 0, y0, z0 ). 由于點(diǎn)由于點(diǎn) M 可可以由點(diǎn)以由點(diǎn) M0 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)得到，軸旋轉(zhuǎn)得到，因此有因此有3. .以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程平面曲線平面曲線 C 繞同一平面上定

9、直線繞同一平面上定直線 L 旋轉(zhuǎn)所形旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，成的曲面， 稱為旋轉(zhuǎn)曲面，稱為旋轉(zhuǎn)曲面， 定直線定直線 L 稱為旋轉(zhuǎn)軸稱為旋轉(zhuǎn)軸.xyzOMM0PC曲面方程的概念f ( y0 , z0 ) = 0所以所以又因?yàn)橛忠驗(yàn)?M0 在曲線在曲線 C 上，上，將將 、 代入代入 f ( y0 , z0 ) = 0， 即得旋轉(zhuǎn)曲面方程即得旋轉(zhuǎn)曲面方程:. 0),(22 zyxf同理，曲線同理，曲線 C 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)成的曲面方程為軸旋轉(zhuǎn)成的曲面方程為. 0),(22 zxyf,00zzPMPM ,22yxPM 因因?yàn)闉?00yPM 所以所以,220yxy yzOMM0PC 旋轉(zhuǎn)曲面的形成旋轉(zhuǎn)曲面的

10、形成 曲面方程的概念例例 2 將下列平面曲線繞指定坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，試求將下列平面曲線繞指定坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，試求所得旋轉(zhuǎn)曲面方程所得旋轉(zhuǎn)曲面方程:(1) y z 坐標(biāo)面上的直線坐標(biāo)面上的直線 z = ay( a 0 )， 繞繞 z 軸軸.(2) y z 坐標(biāo)面上的拋物線坐標(biāo)面上的拋物線 z = ay2( a 0 )， 繞繞 z 軸軸.(3) x y 坐標(biāo)面上的橢圓坐標(biāo)面上的橢圓 ,12222 cyax分別繞分別繞 x、y 軸軸.曲面方程的概念解解 (1) y z 坐標(biāo)面上的直坐標(biāo)面上的直線線 z = ay( a 0 )繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)，軸旋轉(zhuǎn)，故故 z 保持不變，將保持不變，將 y 換成換成,22yx

11、則得則得).(22yxaz 曲面方程的概念 即所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為即所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為),(2222yxaz 表示的曲面稱為表示的曲面稱為圓錐面圓錐面， 點(diǎn)點(diǎn) O 稱為圓錐的頂點(diǎn)稱為圓錐的頂點(diǎn).曲面方程的概念 (2) y z 坐標(biāo)面上的拋物線坐標(biāo)面上的拋物線 z = ay2 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面方程為得的曲面方程為),(22yxaz 該曲面稱為該曲面稱為旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面. 其特征是其特征是: 當(dāng)當(dāng) a 0 時(shí)，旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)拋物面的開口向下拋物面的開口向下. 一般地，一般地， 2222byaxz 所表示的曲面稱為所表示的曲面稱為橢圓拋物面。橢圓拋物面。方程方程xyzO曲面方程的概

12、念 (3) x y 坐標(biāo)面上的橢圓坐標(biāo)面上的橢圓 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)，軸旋轉(zhuǎn)，12222 byax故故 x 保持不變，保持不變，而將而將 y 換成換成,22zy 得旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為曲面的方程為. 1222222 bzbyax該曲面稱為該曲面稱為旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面.類似地，該橢圓繞類似地，該橢圓繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)橢球面軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)橢球面的方程為的方程為 . 1222222 azbyax曲面方程的概念一般地，方程一般地，方程1222222 czbyax所表示的曲面稱為所表示的曲面稱為橢球面橢球面. 其特征是其特征是: 用坐標(biāo)面或平用坐標(biāo)面或平行于坐標(biāo)面的平面行于坐標(biāo)面的平面 x =

13、 m ， y = n， z = h ( a m a ， b n b ， c h c) 截曲面所得到的交線均為截曲面所得到的交線均為橢圓橢圓. 當(dāng)當(dāng) a，b，c 中有中有 a = b 或或 b = c或或 a = c 時(shí)，時(shí)，即為旋轉(zhuǎn)橢球面，即為旋轉(zhuǎn)橢球面，當(dāng)當(dāng) a = b = c 時(shí)，即為球面時(shí)，即為球面.xyzO曲面方程的概念1.1.空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 0),(0),(21zyxFzyxF稱為空間稱為空間曲線的一般方程曲線的一般方程例例 3 下列方程組表示什么曲線下列方程組表示什么曲線? ;3,25)1(222zzyx .0,25)2(222zzyx三、空間曲線的方程三、空

14、間曲線的方程曲面方程的概念 z = 3 是平行于是平行于 x y 坐標(biāo)面的平面，坐標(biāo)面的平面， 因而它們的交線是在平面因而它們的交線是在平面 z = 3 上的圓上的圓. (1) 因?yàn)橐驗(yàn)?x2 + y2 + z2 = 25 是球心在原點(diǎn)，是球心在原點(diǎn)， 半徑為半徑為 5 的球面，的球面， 解解xyzO曲面方程的概念 因而它們的交線是在因而它們的交線是在 x y 坐標(biāo)面上坐標(biāo)面上的圓的圓 z = 0 是是 x y 坐標(biāo)面，坐標(biāo)面，( (2) )因?yàn)榈谝粋€(gè)方程所表示的球面與因?yàn)榈谝粋€(gè)方程所表示的球面與( (1) )相同，相同，.2522 yx若把若把( (2) )寫成同解方程組寫成同解方程組 ,

15、0,2522zyx 它表示母線平行于它表示母線平行于 z 軸的軸的圓柱面與圓柱面與 x y 坐標(biāo)面的交線坐標(biāo)面的交線. 這這樣更清楚地看出它是樣更清楚地看出它是 x y 坐標(biāo)坐標(biāo)面上的圓面上的圓.2522 yxxyzO曲面方程的概念 t 為參數(shù)為參數(shù). 2. .空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程空間曲線空間曲線 上動點(diǎn)上動點(diǎn) M 的坐標(biāo)的坐標(biāo) x，y，z 也可以用也可以用另一個(gè)變量另一個(gè)變量 t 的函數(shù)來表示，的函數(shù)來表示， 即即 .)(),(),(tzztyytxx形如形如上上的方程組稱為的方程組稱為曲線曲線 的參數(shù)方程的參數(shù)方程，曲面方程的概念 則從則從 P0 到到 P 所轉(zhuǎn)所轉(zhuǎn)過的角過

16、的角 = t，質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在 P0(R, 0, 0) 處，處，向平行于向平行于 z 軸的方向上升軸的方向上升.例例 4 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在圓柱面設(shè)質(zhì)點(diǎn)在圓柱面 上以均勻的上以均勻的角速度角速度 222Ryx 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)，軸旋轉(zhuǎn)， 同時(shí)又以均勻的線速度同時(shí)又以均勻的線速度 v運(yùn)動開始，即運(yùn)動開始，即 t = 0 時(shí)，時(shí)，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程.解解 設(shè)時(shí)間設(shè)時(shí)間 t 時(shí)，時(shí)， 質(zhì)點(diǎn)的位置為質(zhì)點(diǎn)的位置為 P( x, y, z )，由由 P 作作 x y 坐標(biāo)面的垂線坐標(biāo)面的垂線垂足為垂足為 Q (x, y , 0) 上升的高度上升的高度 QP = vt ，即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為：即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為

17、：此方程稱為此方程稱為螺旋線方程螺旋線方程. ,sin,cosvtztRytRx zyxP0QP O曲面方程的概念設(shè)設(shè) 為已知空間曲線，為已知空間曲線， 則以則以 為準(zhǔn)線，為準(zhǔn)線， 平行于平行于 z 軸的直線為母線的柱面，軸的直線為母線的柱面， 稱為空間曲線稱為空間曲線 關(guān)于關(guān)于 x y 坐標(biāo)面的坐標(biāo)面的投影柱面投影柱面. 而投影柱面與而投影柱面與 x y 坐標(biāo)面的交線坐標(biāo)面的交線 C稱為曲線稱為曲線 在在 x y 坐標(biāo)面的坐標(biāo)面的投影曲線投影曲線. 類似地，類似地， 可可以定義曲線以定義曲線 關(guān)于關(guān)于 y z 坐標(biāo)面、坐標(biāo)面、z x 坐標(biāo)面的投影坐標(biāo)面的投影柱面及投影曲線柱面及投影曲線.設(shè)空

18、間曲線設(shè)空間曲線 的方程為的方程為 , 0),(, 0),(21zyxFzyxF消去消去 z ，得，得G( x , y )= 0.四、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影四、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲面方程的概念 就就可得到可得到 關(guān)于關(guān)于 yz 坐標(biāo)面坐標(biāo)面 或者或者 zx 坐標(biāo)面的投影柱面坐標(biāo)面的投影柱面方程，方程， 可知滿足曲線可知滿足曲線 的方程一定滿足方程的方程一定滿足方程 G( x, y) = 0 ， 而而 G( (x , y) )= 0 是母線平行于是母線平行于 z 軸的柱面方程，軸的柱面方程，因此，柱面因此，柱面 G( x , y ) = 0 就是曲線就是曲線 關(guān)于關(guān)于 x y 坐標(biāo)坐標(biāo)面的投影柱面面的投影柱面. 而而 0, 0),(zyxG就是曲面就是曲面 在在 x y 坐標(biāo)面上的投影曲線的方程坐標(biāo)面上的投影曲線的方程.同理，同理， 從曲線從曲線 的方程中消去的方