八年級數(shù)學競賽講座 第二十二講 直角三角形的再發(fā)現(xiàn) 人教新課標版

1、第二十二講 直角三角形的再發(fā)現(xiàn) 直角三角形是一類特殊三角形，有著豐富的性質(zhì)：兩銳角互余、斜邊的平方是兩直角邊的平方和、斜邊中線等于斜邊一半、30所對的直角邊等于斜邊一半等，在學習了相似三角形的知識后，我們利用相似三角形法，能得到應用極為廣泛的結(jié)論 如圖，在RtABC中，C=90，CDAB于D，則有：1同一三角形中三邊的平方關(guān)系：AB2=AC2+BC2， AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD22角的相等關(guān)系：A=DCD，B=ACD3線段的等積式：由面積得 ACBC=ABCD；由 ACDCBDABC，得CD2=ADBD，AC2=ADAB，BC2=BDAB以直角三角形為背景的幾何問題，常以下

2、列圖形為載體，綜合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形，特殊四邊形等豐富的知識注 直角三角形被斜邊上的高分成的3個直角三角形相似，由此導出的等積式的特點是：一線段是兩個三角形的公共邊，另兩條線段在同一直線上，這些等積式廣泛應用于與直角三角形問題的計算與證明中例題求解【例1】 等腰三角形ABC的底邊長為8cm，腰長5cm，一動點P在底邊上從B向C以025cm秒的速度移動，當點P運動到PA與腰垂直的位置時，點P運動的時間為 (江蘇省常州市中考題) 思路點撥 為求BP需作出底邊上的高，就得到與直角三角形相關(guān)的基本圖形，注意動態(tài)過程 【例2】 如圖，在矩形ABCD中，AEBD于E，S矩形ABCD=40

3、cm2，SABE：SDBA=1：5，則AE的長為( ) A4cm B5cm C6cm D7cm (青島市中考題) 思路點撥 從題設條件及基本圖形入手，先建立AB、AD的等式 【例3】 如圖，在RtABC中，BAC90，ABAC，DB為BC的中點，E為AC上一點，點G在BE上，連結(jié)DG并延長交AE于F，若FGE=45(1)求證：BDBCBGBE；(2)求證：AGBE；(3)若E為AC的中點，求EF：FD的值（鹽城市中考題） 思路點撥 發(fā)現(xiàn)圖形中特殊三角形、基本圖形、線段之間的關(guān)系是解本例的基礎(chǔ)(1)證明GBDCBE；(2)證明ABGEBA；(3)利用相似三角形，把求的值轉(zhuǎn)化為求其他線段的比值【例

4、4】 如圖，H、Q分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點，且BH=BQ，過B作HC的垂線，垂足為P求證：DPPQ (“祖沖之杯”邀請賽試題) 思路點撥 因BPQ+QPC=90，要證DPPQ，即證QPC+DPC=90，只需證BPQ=DPC，只要證明BPQCPD即可注 題設條件有中點，圖形中有與直角三角形相關(guān)的基本圖形，給我們以豐富的聯(lián)想，單獨應用或組合應用可推出許多結(jié)論因此，讀者應不拘泥于給出的思路點撥，多角度探索與思考，尋找更多更好的解法，以培養(yǎng)我們發(fā)散思的能力 【例5】 已知ABC中，BCAC，CH是AB邊上的高，且滿足，試探討A與B的關(guān)系，井加以證明 (武漢市選拔賽試題)思路點撥 由題設

5、條件易想到直角三角形中的基本圖形、基本結(jié)論，可猜想出A與B的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是綜合運用勾股定理、比例線段的性質(zhì)，推導判定兩個三角形相似的條件注 構(gòu)造逆命題是提出問題的一個常用方法，本例是在直角三角形被斜邊上的高分成的相似三角形得出結(jié)論基礎(chǔ)上提出的一個逆命題，讀者你能提出新的問題嗎?并加以證明學力訓練1 如圖，已知正方形ABCD的邊長是1，P是CD邊的中點，點Q在線段BC上，當BQ= 時，三角形ADP與三角形QCP相似 (云南省中考題)2 如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，DFCB于E，若BE=6，CE=4，則AD= 3如圖，平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=2，AC=4，過AC的中

6、點O作EFAC交AD于E，交BC于F，則EF= (重慶市競賽題)4P是RtABC的斜邊BC上異于B、C的一點，過點P作直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，滿足這樣條件的直線共有( ) A1條 B 2條 C3條 D4條 (2001年安徽省中考題)5在ABC中，AD是高，且AD2=BDCD，那么BAC的度數(shù)是( ) A小于90 B等于90 C大于90 D不確定6如圖，矩形ABCD中，AB=，BC=3，AEBD于E，則EC=( )A B C D 7如圖，在矩形ABCD中，E是CD的中點，BEAC交AC于F，過F作FGAB交AE于G，求證：AG2AFFC8如圖，在平行四邊形ABCD中，DBC45

7、，DEBC于E，BFCD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延長線相交于G求證；(1)AB=BH；(2)AB2=GAHE (青島市中考題)9如圖，在RtABC中，ACB90，AD平分CAB交BC于點D，過點C作CEAD于E，CE的延長線交AB于點F，過點E作EGBC交AB于點G，AEAD=16，AB=4(1)求證：CE=EF；(2)求EG的長 (河南省中考題)10如圖，直角梯形ABCD中，A90，ACBD，已知，則= (江蘇省競賽題)11如圖，在RtABC中，兩條直角邊AB、AC的長分別為l厘米、2厘米，那么直角的角平分線的長度等于 厘米12如圖，點D、E分別在ABC的邊AC和BC上，C90

8、，DEAB，且3DE=2AB，AE=13，BD=9，那么AB的長為 ( “我愛數(shù)學”初中數(shù)學夏令營試題)13如圖，ABC為等腰直角三角形，C=90，若AD=AC，CE=BC，則1與2的大小關(guān)系是( ) A12 B12 C1=2 D無法確定 (天津市競賽題)14如圖，ABC中，CDAB交AB于點D，有下列條件： A=BCD；A+BCD=ADC；BC2=BDBA 其中，一定能判斷ABC是直角三角形的共有( ) A0個 B1個 C2個 D3個 (2003年河南省競賽題)15如圖，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，DC=3，如果邊AD上的點P使得以P， A、D為頂點的三角形和以P、B、C為頂點

9、的三角形相似，那么這樣的點P有( ) A1個 B2個 C3個 D4個16如圖，在RtABC中，ACB=90，CD是角平分線，DEBC交AC于點E，DFAC交BC于點F求證：(1)四邊形CEDF是正方形；(2)CD2=AEBF (山東省競賽題)17如圖，在RtABC中，BCA=90，CDAB于D，已知RtABC的三邊長都是整數(shù)，且BD=113，求RtBCD與RtACD的周長之比 (全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)18如圖，在RtABC中，C=90，A的平分線AD交BC邊于D，求證：(昆明市競賽題) 19如圖，已知邊長為a的正方形ABCD，在AB、AD上分別取點P、S，連結(jié)PS，將RtSAP繞正方形中心O旋轉(zhuǎn)180得RtQCR，從而得四邊形PQRS試判斷四邊形PQRS能否變化成矩形?若能，設PA= x，SA=y ，請說明x 、y具有什么關(guān)系時