函數(shù)的單調(diào)與曲線的凹凸PPT課件

1、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性曲線的上升和下降曲線的上升和下降函數(shù)的凹凸性函數(shù)的凹凸性曲線的彎曲方向曲線的彎曲方向用用一階一階導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)研究用用二階二階導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)研究第1頁/共23頁( ) 0yf x( )0yfxyoxyf (x)若函數(shù)若函數(shù) yf (x) 在在a, b上上單調(diào)增加單調(diào)增加，則它的圖形是一條沿則它的圖形是一條沿x軸正向軸正向上升上升的曲線的曲線。ab則曲線上各點處切線的斜率則曲線上各點處切線的斜率是非負(fù)是非負(fù)的，的，即即若函數(shù)若函數(shù) yf (x) 在在a, b上上單調(diào)減少單調(diào)減少，則它的圖形是一條沿則它的圖形是一條沿x軸正向軸正向下降下降的曲線的曲線。ab則曲線上各點處切線的斜

2、率則曲線上各點處切線的斜率是非正是非正的，的，即即第2頁/共23頁反之，若函數(shù)在某區(qū)間可導(dǎo)，能否用導(dǎo)數(shù)的符號來判反之，若函數(shù)在某區(qū)間可導(dǎo)，能否用導(dǎo)數(shù)的符號來判定函數(shù)的單調(diào)性呢定函數(shù)的單調(diào)性呢？答案是答案是肯定肯定的。的。討論：討論：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)在在a, b上連續(xù)，在上連續(xù)，在(a, b)上可導(dǎo)，上可導(dǎo)，在在a, b上任取兩點上任取兩點x1，x2 （不妨設(shè)（不妨設(shè)x1x2)由由Lagrange中值定理中值定理得到：得到：212112()()( )() ()f xf xfxxxx( )0fx若在若在(a, b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)始終內(nèi)導(dǎo)數(shù)始終( ) 0f210 xx又21()( )0f xf x 若

3、在(a, b)內(nèi)( )0fx則12 , ,xxa b有12( )()f xf xf (a)=0.) 1(111)(22xxxxxxf 證明證明 令)13 (2)(xxxf 則 例例 6 證明 當(dāng) x1 時 xx132 例6 證明 第9頁/共23頁 因為當(dāng)x1時 f (x)0 所以f(x)在1 )上f(x)單調(diào)增加0)13 (2xx 也就是xx132(x1) 因此當(dāng)x1時 f(x)f(1)0 即第10頁/共23頁 函數(shù)曲線除了有升有降之外函數(shù)曲線除了有升有降之外, , 還有不同的彎曲方向還有不同的彎曲方向, , 如何根據(jù)函數(shù)本身判斷函數(shù)曲線的彎曲方向呢？如何根據(jù)函數(shù)本身判斷函數(shù)曲線的彎曲方向呢？

4、第11頁/共23頁v曲線的凹凸性定義 設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù) 如果對I上任意兩點x1 x2 恒有 那么稱f(x)在I上的圖形是凹的 那么稱f(x)在I上的圖形是凸的 如果恒有 2)()()2(2121xfxfxxf 2)()()2(2121xfxfxxf 觀察與思考 觀察切線斜率的變化與曲線凹凸性的關(guān)系 第12頁/共23頁v定理2(曲線凹凸性的判定法) 設(shè)f(x)在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù) 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的 若在(a b)內(nèi)f (x)0 在區(qū)間( )內(nèi)曲線是凹的 因此曲線無拐點 32 31xy 例 6 求曲線3xy的拐點 例12 解 二階導(dǎo)數(shù)無零點當(dāng)x0時二階導(dǎo)數(shù)不存在 因為當(dāng)x0時 y0 當(dāng)x0時 y0所以點(0 0)曲線的拐點 32 92xxy 第21頁/共23頁