現(xiàn)代控制理論習題10頁

1、§2 線性系統(tǒng)的運動分析 對系統(tǒng)進行分析的目的，是要揭示系統(tǒng)狀態(tài)的運動規(guī)律和基本特性。通過定量分析，對系統(tǒng)的運動規(guī)律進行精確的研究，即定量的確定系統(tǒng)由外部激勵作用所引起的響應。通過定性分析，則著重對系統(tǒng)行為和綜合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵性質(zhì)：能控性、能觀性、穩(wěn)定性等進行研究。 §2.1 基本概念一、基本概念1、運動分析的實質(zhì)，從數(shù)學上看，運動分析的實質(zhì)是：相對于給定的初始狀態(tài)和外部輸入作用，求解狀態(tài)方程的解。2、解的存在唯一性定理：對于線性時變系統(tǒng)，“如果系統(tǒng)矩陣和的所有元在時間定義區(qū)間上均為的實值連續(xù)函數(shù)，而輸入的元在時間定義區(qū)間上是連續(xù)實值函數(shù)，則狀態(tài)方程的解存在且唯一”。定理：

2、對于線性時變系統(tǒng)，狀態(tài)方程的解存在且唯一的條件是：1）的各元在上絕對可積：2）的的各元在上絕對可積：3）的各元在上絕對可積：說明：2）、3）可表示為：。即在上絕對可積。二、系統(tǒng)的響應線性定常系統(tǒng)的運動分析意 義條件作用系統(tǒng)響應零輸入響應在外部輸入為0的情況下，由初始狀態(tài)引起的自由運動：零狀態(tài)響應：在初始狀態(tài)為0的情況下，由外部輸入引起的強迫運動：全響應說明：1）對于非零初始時刻，則系統(tǒng)響應為： 三、矩陣指數(shù)函數(shù)1、性質(zhì)：1）2）3）4）5）2、矩陣指數(shù)函數(shù)的計算：1）定義計算；2）對角計算：單根：已知 ， 重根：已知 ，3）多項計算：4）預解計算：四、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣系統(tǒng)的運動均可理解為一種狀態(tài)的

3、轉(zhuǎn)移：利用這個概念容易建立起運動規(guī)律的統(tǒng)一表達形式。、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對于，稱滿足如下矩陣方程：的解陣為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。2、性質(zhì)：1）不變性：2）傳遞性：3）可逆性：4）分解性：5）倍時性：6）微分性：、基本解陣定義：任意選取的個線性無關(guān)的解，并以它們?yōu)榱袠?gòu)成的矩陣函數(shù)，則稱為系統(tǒng)的基本解陣。§2.2基本要求了解線性系統(tǒng)的自由運及狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 掌握線性時不變狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)及常用計算方法。 §2.3典型例題分析一、矩陣指數(shù)函數(shù)的計算【例題2.1.1】試用矩陣指數(shù)函數(shù)的級數(shù)展開法和拉氏變換法求下列矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)：1）， 2）解：1）級數(shù)展開法：拉氏變換法：2）級數(shù)

4、展開法：拉氏變換法：【例題2.1.2】試用對角線化或約當化法計算下列矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)：1）， 2） 解：1）矩陣A的特征方程為：解之得， 對于，得答案：，【例題2.1.3】試用凱萊定理計算下列矩陣的指數(shù)函數(shù)：1）， 2）答案：，【例題2.1.4】試用共軛模態(tài)形計算下列矩陣的指數(shù)函數(shù)：1）， 2）答案：【例題2.1.5】計算下列矩陣的指數(shù)函數(shù)。解：1）按定義進行計算：2）按預解矩陣進行計算：【例題2.1.6】已知：，使用約當標準形計算。解：1）矩陣A的特征方程為：解之得，2）對于，對于，對于，求解，二、系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計算三、系統(tǒng)的狀態(tài)響應計算【例題2.1.2】已知線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為：，

5、當系統(tǒng)的初始狀態(tài)為：，求系統(tǒng)的狀態(tài)響應和輸出響應。解：系統(tǒng)的狀態(tài)響應：系統(tǒng)的輸出響應：【例題2.1.2】已知線性系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為：，現(xiàn)知對應于兩個不同初態(tài)時的狀態(tài)響應為： 1）當時，；2）當時，試求該系統(tǒng)的矩陣。解：由，得 所以 因此 【例題2.1.2】已知線性系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為：，并知系統(tǒng)在某一時刻的狀態(tài)為：，試求對應于該響應狀態(tài)的初始狀態(tài)。解：因為：，【例題2.1.2】已知輸入為r維時的n階線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為：，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為：，試求在下列輸入函數(shù)作用下，系統(tǒng)的狀態(tài)響應。1） 脈沖函數(shù)：；2） 階躍函數(shù)：；3） 斜波函數(shù)：。解：1）脈沖函數(shù)：2）階躍函數(shù)：3）斜波函數(shù)四、連續(xù)系統(tǒng)的離散系統(tǒng)化【例題4.1.1】已知連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試求采用周期為T時的離散化方程。解：計算矩陣的指數(shù)函數(shù)周期為T時的離散化方程五、離散系統(tǒng)狀態(tài)方程