剛體的運(yùn)動(dòng)PPT課件

1、二、剛體的運(yùn)動(dòng)形式二、剛體的運(yùn)動(dòng)形式 *剛體上所有質(zhì)元都沿平行路徑運(yùn)動(dòng),各個(gè)時(shí)刻的相對位置都彼此固定。1.平動(dòng)*可用質(zhì)心或任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來代表剛體的運(yùn)動(dòng)。*平動(dòng)是剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式之一。ABCABCABC第1頁/共57頁2.轉(zhuǎn)動(dòng)*轉(zhuǎn)動(dòng)也是剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式之一，可分為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)中各質(zhì)元均做圓周運(yùn)動(dòng)，且各圓心都在同一條固定的直線（轉(zhuǎn)軸）上。定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)中剛體上只有一點(diǎn)固定不動(dòng)，整個(gè)剛體繞過該定點(diǎn)的某一瞬時(shí)軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。第2頁/共57頁3.一般運(yùn)動(dòng)可分解為兩種剛體的基本運(yùn)動(dòng)：隨基點(diǎn)O（可任選）的平動(dòng)；繞通過基點(diǎn)O 的瞬時(shí)軸的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。第3頁/共57頁1.剛體上所有質(zhì)元都在作半徑

2、不等的圓周運(yùn)動(dòng)；三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體特點(diǎn)2.各圓周軌道均垂直與轉(zhuǎn)軸，稱：轉(zhuǎn)動(dòng)平面；圓心即為轉(zhuǎn)心。3.各質(zhì)元作圓周運(yùn)動(dòng)的線量各不相同，角量相同。第4頁/共57頁四、角速度矢量四、角速度矢量方向：沿瞬時(shí)軸，與轉(zhuǎn)向成右螺旋關(guān)系。2.線速度與角速度的關(guān)系：1.角速度矢量 的規(guī)定：大小ddt轉(zhuǎn)向 vrrP 基點(diǎn)O瞬時(shí)軸剛體vrr第5頁/共57頁5-2 5-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律一、力矩MrFFMrOmr0rOMFF1.力對定點(diǎn)O 的力矩2.力偶矩0MrF sinr F其中： 稱力臂0rr sin或：MrF第6頁/共57頁二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律ozrivim對質(zhì)元iiiiidvFFmdt 外內(nèi)ii

3、 iiiFFmamr外內(nèi)對剛體（質(zhì)點(diǎn)系）：2()iii iiiFrFrmr外內(nèi)令：2zi iiJmrzzzdMJJdt-剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程第7頁/共57頁三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1.剛體對Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2zi iiJmr若質(zhì)量離散分布:若質(zhì)量連續(xù)分布:2zJr dm y rix z yi xi mi 第8頁/共57頁平行軸定理： y rix z mi 2cJJmddC例1：質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。RO解：222mRdmRdmRIdm第9頁/共57頁例題例題 求:長為L、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如

4、圖坐標(biāo)2222112LLCJxdxmL22013LAJxdxmLdmdx第10頁/共57頁 例題：質(zhì)量為m，半徑為R，厚度為h，均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取高度為h，半徑為r，寬為dr的薄圓環(huán)；圓盤的質(zhì)量體密度為2dmrhdr232dJr dmhr dr340122RJdJhr drhR2mR hRrdr212m R第11頁/共57頁 求:內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2，厚度為h，質(zhì)量為m的勻質(zhì)中空圓柱繞其對稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量oo22212()mdmrdrRR21222212d()RRmJrr rRR22211()2m RR2R1Rr第12頁/共57頁 求：質(zhì)量為m半徑為R的勻

5、質(zhì)薄球殼繞過中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 sinR d解:在球面取一圓環(huán)帶，半徑rRsin224mdmrRdR2Jr dm23202sinmRd 223mR第13頁/共57頁 求：質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)球體繞過球心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量MR解:把球體看作無數(shù)個(gè)同心薄球殼的組合 32443mdmr drR233mr drR223JdJr dm4302Rmr drR225mR第14頁/共57頁*剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用：dMJJdt外基本方法和步驟：3. 根據(jù)初始條件解方程，求未知量。1.分析物體受力，確定外力矩；2.利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫出運(yùn)動(dòng)微分方程；第15頁/共57頁例1.如圖,細(xì)桿長l, 質(zhì)量m , 靜止在豎直位置

6、，求轉(zhuǎn)到角時(shí)的角加速度和角速度.MG =(mglsin)/2由轉(zhuǎn)動(dòng)定律pNO =I=(ml2/3) =3gsin/(2l)=d/dt =(d/d)(d/dt) =d/dd=dd= 3gsin/(2l)d 00=3g(1cos)/l1/2=3gsin/(2l)d解:細(xì)桿受力如圖, N 對轉(zhuǎn)軸O的力矩為零.第16頁/共57頁例題例題 一根輕繩跨過一個(gè)半徑為r，質(zhì)量為M的定滑輪，繩的兩端分別系有質(zhì)量為m1和m2的物體 ，如圖所示。假設(shè)繩不能伸長，并忽略軸的摩擦，繩與滑輪也無相對滑動(dòng)。求：定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度和繩的張力。m2m1M第17頁/共57頁m2m1Mm1gT1am2gT2aT2T1解：分別對物

7、體和滑輪進(jìn)行受力分析，如圖對m2111m gTm a222Tm gm a對定滑輪對m121212rTrTMr且有ar第18頁/共57頁聯(lián)立方程，可得1212()()2mm gMmmr1212()2mm gaMmm121112(2)22Mm mmgTMmm122212(2)22Mm mmgTMmm第19頁/共57頁剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律MJ外滑輪剛體相關(guān)問題的求解步驟：4.求解聯(lián)立方程。1.分析物體受力，確定外力矩；2.列出轉(zhuǎn)動(dòng)定律和牛頓定律方程；3.列出線量和角量之間的關(guān)系式；第20頁/共57頁例題 圖示物體質(zhì)量分別為mA 和mB ，圓柱形滑輪質(zhì)量為mc ，半徑為R，不計(jì)桌面和輪軸摩擦力。求：

8、兩物體的加速度和繩的張力；物體B從靜止落下距離y時(shí)，其速率為多少？AmCmBm第21頁/共57頁Bm g2TBmAm g1TNAm解：分別對物體和滑輪進(jìn)行受力分析，如圖物體A1ATm a物體 B2BBm gTm a對定滑輪C22112RTRTMR又aR2Tcm g1TCF第22頁/共57頁聯(lián)立方程，可得12BABCmagmmm112ABABCm mTgmmm21()212ACBABCmmmTgmmm2212BABCm gyvaymmm第23頁/共57頁習(xí)題：如圖,組合輪由半徑各為R1,R2,質(zhì)量各為M1,M2,的二均勻圓盤同軸固結(jié)而成,可繞水平固定軸自由轉(zhuǎn)動(dòng).今在兩盤上各繞細(xì)繩, 繩兩端各掛質(zhì)

9、量m1 ,m2 二物體.m1m2求重力使m2下落時(shí)輪的角加速度. 第24頁/共57頁 m1, m2 及定滑輪切向受力如圖, 以運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樽鴺?biāo)正向. m2gT2=m2a2T1m1g=m1a1T2R2T1R1=J=a1/R1=a2/R2J=M1R12/2+M2R22/2解:解得=2m1R12+2m2R22+M1R12+M2R222(m2R2m1R1)gm1m2T1m1gT2m2gT2T1第25頁/共57頁3-5 3-5 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能把剛體看作無限多質(zhì)元構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系。2221122kiii iEmvmr212kEJ第26頁/共57頁二、力矩的功二

10、、力矩的功 設(shè)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，剛體質(zhì)元i在切向力 的作用下，繞軸轉(zhuǎn)過 dFiiiiiidAF drF dsF rd即iidAM d對整個(gè)剛體：2211()iiAAM dMd odrFz21iiiAdAM d第27頁/共57頁三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：*合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體做的功等于該剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。221122211122AMdJ dJJ ddAMdJdJ ddt 22211122JJ22211122Amvmv第28頁/共57頁例題 圖示物體質(zhì)量分別為mA 和mB ，圓柱形滑輪質(zhì)量為mc ，半徑為R，不計(jì)桌面和輪軸摩擦力。求：兩物體的

11、加速度和繩的張力；物體B從靜止落下距離y時(shí)，其速率為多少？AmCmBm2212BABCm gyvaymmm聯(lián)立解運(yùn)動(dòng)微分方程，可得a第29頁/共57頁AmCmBm222111222ABm vm vJmgh解:根據(jù)機(jī)械能守恒，可得21,2v= RJmR其中：212BABCm gyvmmm可直接求出第30頁/共57頁1.質(zhì)點(diǎn)m對慣性系中的固定點(diǎn)O 的角動(dòng)量為：一、角動(dòng)量（動(dòng)量矩）5-4 5-4 角動(dòng)量角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 LmO pr()Lrprmv Lrpsinrmvsin大?。悍较颍簉p v ，（ ）決定的平面（右螺旋）第31頁/共57頁LRvmO *質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，對

12、圓心的角動(dòng)量的大小為方向圓平面不變。 *同一質(zhì)點(diǎn)的同一運(yùn)動(dòng)，如果選取的固定點(diǎn)不同，其角動(dòng)量也會(huì)不同。0omLrmv0Llmv方向變化o moLrmvsinoLlmv方向豎直向上，不變Ol vO錐擺mLRmv第32頁/共57頁2.剛體對固定轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量：對質(zhì)元i對剛體（質(zhì)點(diǎn)系）()iiiiiiLrprmv()iiiiiiLLrmv22()i ii iiiLmrmrpro轉(zhuǎn)動(dòng)平面zJ第33頁/共57頁二、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律二、質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律Lrp上式兩邊對時(shí)間求導(dǎo)：()dLdrpdtdtdrdpprdtdt rF1.質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理:第34頁/共57頁dLMdt微分形式：

13、dLMdt或：2121ttM dtLL21ttMdt其中： 稱沖量矩力矩對時(shí)間的積累作用積分形式：第35頁/共57頁gm例題 錐擺的角動(dòng)量0 Trom）（mglgmrom sin Trgmrmomo 0 ）（gmrTrmomo對O點(diǎn)：合力矩不為零，角動(dòng)量變化。對O點(diǎn)：合力矩為零，角動(dòng)量大小、方向都不變。Ol vO錐擺mT第36頁/共57頁例題例題 如圖所示，小球m沿半徑為R的圓環(huán)軌道由A靜止下滑，不計(jì)摩擦，求小球滑到任意點(diǎn)B（與A夾角為 ）時(shí)對環(huán)心的角動(dòng)量和角速度。OABR第37頁/共57頁mgTv解：小球受力如圖，對環(huán)心OOABRcosMRmgdLMdt由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理cosdLRmgdt

14、其中 和 的方向相同。MLcosdLdRmgdddt ：兩邊乘第38頁/共57頁2LmR對圓周運(yùn)動(dòng)2cosLRmgddLdLmR 則：200cosLLRmgddLmR 積分：232sinm gR可得：L=22 sinLgmRR第39頁/共57頁 0 0dLMdt若，則L 即：常矢量2.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律 角動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一，它不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀體系，而且在高速低速范圍均適用。 0M 0F FO過 點(diǎn)：有心力第40頁/共57頁例：（行星運(yùn)動(dòng)的開普勒第二定律）在太陽系中任一行星對太陽的位矢在相等的時(shí)間間隔內(nèi)掃過的面積相等，即掠面速度不變。rLvSmLmv rsin

15、解：天體受萬有引力作用，對力心角動(dòng)量守恒。0012ttrv tsindSSlimlimdttt 常量第41頁/共57頁三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律律iidLdLdtdt（） ）（內(nèi)內(nèi)外外iiiMM iidLdt1.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理iidLMdt對質(zhì)點(diǎn)i整個(gè)剛體剛體vi,定軸zmiriFi第42頁/共57頁0)( ijijiiiifrMM內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi) dLMdt外iiiiiFrMM 外外外外由于：-剛體的角動(dòng)量定理微分形式：zzMJ 外積分形式：21212211ttM dtLLJ J第43頁/共57頁zzdLMdt0zzML當(dāng)：時(shí)，常矢量22

16、11J J *守恒定律中涉及的外力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角動(dòng)量都是對同一轉(zhuǎn)軸而言的。第44頁/共57頁例題例題 一長為l的輕質(zhì)桿端部固結(jié)一小球m1,另一小球m2以水平速度v0碰桿中部并與桿粘合。求：碰撞后桿的角速度。lm1Ov0m2第45頁/共57頁碰撞時(shí)重力和軸的作用力都通過O，對O力矩為零，故角動(dòng)量守恒。則2 012222lllm vlm lm021224vmmml解：選m1（含桿）+ m2為系統(tǒng)解得：lm1Ov0m2第46頁/共57頁ABAB A、B兩圓盤繞各自的中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度分別為： 。已知A圓盤半徑RA=0.2m, 質(zhì)量mA=2kg, B圓盤的半徑RB=0.1m, 質(zhì)量mB=4kg。試求

17、兩圓盤對心銜接后的角速度1150,200ABrad srad s例題例題第47頁/共57頁解：以兩圓盤為系統(tǒng)，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒2222AAABBBAABBm Rm Rm Rm R212AAAJm R其中：212BBBJm R()AABBABJJJJABAB1100rad s第48頁/共57頁MmRr例題. 半徑R, 質(zhì)量M的均勻水平轉(zhuǎn)臺(tái)可繞中心軸自由轉(zhuǎn)動(dòng),開始時(shí)靜止.今有質(zhì)量m的玩具汽車靜止開始在轉(zhuǎn)臺(tái)上作半徑r(rR)的圓運(yùn)動(dòng), 求汽車相對轉(zhuǎn)臺(tái)走一周時(shí),轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過的角度. 小車與轉(zhuǎn)盤受重力與軸的支撐力 都平 行轉(zhuǎn)軸,力矩 在軸方向上無 分量,故小車與轉(zhuǎn)盤系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量守恒. 用角標(biāo)0,1,2分別

18、表示地, 轉(zhuǎn)盤和小車,設(shè)u=v21, 有解:20=21+10mv20r+J10=0mr2(21+10)+(1/2)MR210=0第49頁/共57頁MmRr例題. 半徑R, 質(zhì)量M的均勻水平轉(zhuǎn)臺(tái)可繞中心軸自由轉(zhuǎn)動(dòng),開始時(shí)靜止.今有質(zhì)量m的玩具汽車靜止開始在轉(zhuǎn)臺(tái)上作半徑r(rR)的圓運(yùn)動(dòng), 求汽車相對轉(zhuǎn)臺(tái)走一周時(shí),轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過的角度.解:mr2(21+10)+(1/2)MR210=0 mr221+(mr2+MR2/2)10=0 mru+(mr2+MR2/2)10=010= mru/(mr2+MR2/2)= mru/(mr2+MR2/2)dtt0第50頁/共57頁MmRr例題. 半徑R, 質(zhì)量M的均勻水平轉(zhuǎn)臺(tái)可繞中心軸自由轉(zhuǎn)動(dòng),開始時(shí)靜止.今有質(zhì)量m的玩具汽車靜止開始在轉(zhuǎn)臺(tái)上作半徑r(rR)的圓運(yùn)動(dòng), 求汽車相對