七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料 人教新課標(biāo)版（可編輯）

1、七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料 人教新課標(biāo)版 初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料第一講數(shù)的整除一內(nèi)容提要如果整數(shù)a除以整數(shù)b b0 所得的商ab是整數(shù)那么叫做a被b整除 0能被所有非零的整數(shù)整除 一些數(shù)的整除特征除 數(shù) 能被整除的數(shù)的特征2或5末位數(shù)能被2或5整除 4或25末兩位數(shù)能被4或25整除8或125末三位數(shù)能被8或125整除3或9各位上的數(shù)字和被3或9整除 如77154324 11奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)和相減其差能被11整除 如14318591287908270等 71113從右向左每三位為一段奇數(shù)段的各數(shù)和與偶數(shù)段的各數(shù)和相減其差能被7或11或13整除 如1001227431756721281等

2、能被7整除的數(shù)的特征抹去個(gè)位數(shù)減去原個(gè)位數(shù)的2倍其差能被7整除如1001100298能被7整除又如700770014686681256能被7整除能被11整除的數(shù)的特征抹去個(gè)位數(shù)減去原個(gè)位數(shù)其差能被11整除如1001100199能11整除又如10285102851023102399能11整除二例題例1已知兩個(gè)三位數(shù)328和的和仍是三位數(shù)且能被9整除求xy解xy都是0到9的整數(shù)能被9整除y 6328567x 3例2已知五位數(shù)能被12整除求解五位數(shù)能被12整除必然同時(shí)能被3和4整除當(dāng)1234能被3整除時(shí)x 258當(dāng)末兩位能被4整除時(shí)0488例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位數(shù)解五位數(shù)字都不

3、相同的最小五位數(shù)是10234但124034不能被11整除只調(diào)整末位數(shù)仍不行調(diào)整末兩位數(shù)為30415263均可五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10263練習(xí)一1分解質(zhì)因數(shù)寫成質(zhì)因數(shù)為底的冪的連乘積75618591287327610101102962若四位數(shù)能被3整除那么 a _3若五位數(shù)能被11整除那么_4當(dāng)m _時(shí)能被25整除5當(dāng)n _時(shí)能被7整除6能被11整除的最小五位數(shù)是_最大五位數(shù)是_7能被4整除的最大四位數(shù)是_能被8整除的最大四位數(shù)是_88個(gè)數(shù)1257561011245778558104915270972中能被下列各數(shù)整除的有填上編號(hào)6_8_9_11_9從1到100這100個(gè)自然數(shù)中能同

4、時(shí)被2和3整除的共_個(gè)能被3整除但不是5的倍數(shù)的共_個(gè)10由12345這五個(gè)自然數(shù)任意調(diào)換位置而組成的五位數(shù)中不能被3整除的數(shù)共有幾個(gè)為什么11已知五位數(shù)能被15整除試求a的值12求能被9整除且各位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)13在十進(jìn)制中各位數(shù)碼是0或1并能被225整除的最小正整數(shù)是_1989年全國(guó)初中聯(lián)賽題 第二講 倍數(shù)約數(shù)一內(nèi)容提要1兩個(gè)整數(shù)a和bb0如果b能整除a記作ba那么a叫做b的倍數(shù)b叫做a的約數(shù)例如31515是3的倍數(shù)3是15的約數(shù)2因?yàn)?除以非0的任何數(shù)都得0所以0被非0整數(shù)整除0是任何非0整數(shù)的倍數(shù)非0整數(shù)都是0的約數(shù)如0是7的倍數(shù)7是0的約數(shù)3整數(shù)aa0的倍數(shù)有無數(shù)多個(gè)并且以

5、互為相反數(shù)成對(duì)出現(xiàn)0±a±2a都是a的倍數(shù)例如5的倍數(shù)有±5±104整數(shù)aa0的約數(shù)是有限個(gè)的并且也是以互為相反數(shù)成對(duì)出現(xiàn)的其中必包括±1和±a例如6的約數(shù)是±1±2±3±65通常我們?cè)谡麛?shù)集合里研究公倍數(shù)和公約數(shù)幾個(gè)正整數(shù)有最小的公倍數(shù)和最大的公約數(shù)6公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)例如15與28互質(zhì)7在有余數(shù)的除法中被除數(shù)除數(shù)×商數(shù)余數(shù)若用字母表示可記作abqr當(dāng)abqr都是整數(shù)且b0時(shí)ar能被b整除例如233×72則232能被3整除二例題例1寫出下列各正整數(shù)的正約數(shù)

6、并統(tǒng)計(jì)其個(gè)數(shù)從中總結(jié)出規(guī)律加以應(yīng)用222232433233342×322×322×32解列表如下正整數(shù)正約數(shù)個(gè)數(shù)計(jì)正整數(shù)正約數(shù)個(gè)數(shù)計(jì)正整數(shù)正約數(shù)個(gè)數(shù)計(jì)212231322×312364221243321332322×312346126231248433133233422×32123469121836924124816534133233345其規(guī)律是設(shè)aambn ab是質(zhì)數(shù)mn是正整數(shù) 那么合數(shù)a的正約數(shù)的個(gè)數(shù)是m1 n1 例如求360的正約數(shù)的個(gè)數(shù)解分解質(zhì)因數(shù)36023×32×5360的正約數(shù)的個(gè)數(shù)是31×

7、21×1124個(gè)例2用分解質(zhì)因數(shù)的方法求2490最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)解2423×3902×32×5最大公約數(shù)是2×3 記作24906最小公倍數(shù)是23×32×5360 記作2490 360例3已知3244除以正整數(shù)n有相同的余數(shù)2求n解322442都能被n整除n是3042的公約數(shù)30426而6的正約數(shù)有1236經(jīng)檢驗(yàn)1和2不合題意n63例4一個(gè)數(shù)被10除余9被9除余8被8除余7求適合條件的最小正整數(shù)分析依題意如果所求的數(shù)加上1則能同時(shí)被1098整除所以所求的數(shù)是1098的最小公倍數(shù)減去1解1098 360所以所求的數(shù)是359

8、練習(xí)二112的正約數(shù)有_16的所有約數(shù)是_2分解質(zhì)因數(shù)300_300的正約數(shù)的個(gè)數(shù)是_3用分解質(zhì)因數(shù)的方法求20和250的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)4一個(gè)三位數(shù)能被7911整除這個(gè)三位數(shù)是_5能同時(shí)被3511整除的最小四位數(shù)是_最大三位數(shù)是_6已知14和23各除以正整數(shù)a有相同的余數(shù)2則a_7寫出能被2整除且有約數(shù)5又是3的倍數(shù)的所有兩位數(shù)8一個(gè)長(zhǎng)方形的房間長(zhǎng)135丈寬105丈要用同一規(guī)格的正方形瓷磚鋪滿問正方形最大邊長(zhǎng)可以是幾寸若用整數(shù)寸作為邊長(zhǎng)有哪幾種規(guī)格的正方形瓷磚適合9一條長(zhǎng)階梯如果每步跨2階那么最后剩1階如果每步跨3階那么最后剩2階如果每步跨4階那么最后剩3階如果每步跨5階那么最后剩4階

9、如果每步跨6階那么最后剩5階只有每步跨7階才能正好走完不剩一階這階梯最少有幾階第三講質(zhì)數(shù)合數(shù)一內(nèi)容提要1正整數(shù)的一種分類 質(zhì)數(shù)的定義如果一個(gè)大于1的正整數(shù)只能被1和它本身整除那么這個(gè)正整數(shù)叫做質(zhì)數(shù)質(zhì)數(shù)也稱素?cái)?shù)合數(shù)的定義一個(gè)正整數(shù)除了能被1和本身整除外還能被其他的正整數(shù)整除這樣的正整數(shù)叫做合數(shù)根椐質(zhì)數(shù)定義可知質(zhì)數(shù)只有1和本身兩個(gè)正約數(shù)質(zhì)數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)2如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和或差是奇數(shù)那么其中必有一個(gè)是2如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積是偶數(shù)那么其中也必有一個(gè)是23任何合數(shù)都可以分解為幾個(gè)質(zhì)數(shù)的積能寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)的積的正整數(shù)就是合數(shù)二例題例1兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)a a5 求這兩個(gè)數(shù)解兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)必有一個(gè)是2所求

10、的兩個(gè)質(zhì)數(shù)是2和a2例2已知兩個(gè)整數(shù)的積等于質(zhì)數(shù)m 求這兩個(gè)數(shù)解質(zhì)數(shù)m只含兩個(gè)正約數(shù)1和m 又1m m所求的兩個(gè)整數(shù)是1和m或者1和m例3已知三個(gè)質(zhì)數(shù)abc它們的積等于30求適合條件的abc的值解分解質(zhì)因數(shù)302×3×5適合條件的值共有 應(yīng)注意上述六組值的書寫排列順序本題如果改為4個(gè)質(zhì)數(shù)abcd它們的積等于210即abcd 2×3×5×7那么適合條件的abcd值共有24組試把它寫出來例4試寫出4個(gè)連續(xù)正整數(shù)使它們個(gè)個(gè)都是合數(shù)解本題答案不是唯一的設(shè)n是不大于5的所有質(zhì)數(shù)的積即n2×3×5那么n2n3n4n5就是適合條件的四個(gè)合

11、數(shù)即32333435就是所求的一組數(shù)本題可推廣到n 個(gè)令n等于不大于n1的所有質(zhì)數(shù)的積那么n2n3n4nn1就是所求的合數(shù)練習(xí)三1小于100的質(zhì)數(shù)共_個(gè)它們是_2已知質(zhì)數(shù)p與奇數(shù)q的和是11則p_q_3已知兩個(gè)素?cái)?shù)的差是41那么它們分別是_4如果兩個(gè)自然數(shù)的積等于19那么這兩個(gè)數(shù)是_如果兩個(gè)整數(shù)的積等于73那么它們是_如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積等于15則它們是_5兩個(gè)質(zhì)數(shù)x和y已知xy 91那么x _y _或x _y _6三個(gè)質(zhì)數(shù)abc它們的積等于1990那么7能整除311513的最小質(zhì)數(shù)是_8已知兩個(gè)質(zhì)數(shù)a和b適合等式ab99abm求m及的值9試寫出6個(gè)連續(xù)正整數(shù)使它們個(gè)個(gè)都是合數(shù)10具備什么條件的最

12、簡(jiǎn)正分?jǐn)?shù)可化為有限小數(shù)11求適合下列三個(gè)條件的最小整數(shù)大于1沒有小于10的質(zhì)因數(shù)不是質(zhì)數(shù)12某質(zhì)數(shù)加上6或減去6都仍是質(zhì)數(shù)且這三個(gè)質(zhì)數(shù)均在30到50之間那么這個(gè)質(zhì)數(shù)是_13一個(gè)質(zhì)數(shù)加上10或減去14都仍是質(zhì)數(shù)這個(gè)質(zhì)數(shù)是_第四講 零的特性一內(nèi)容提要一零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)是介于正數(shù)和負(fù)數(shù)之間的唯一中性數(shù)零是自然數(shù)是整數(shù)是偶數(shù)1零是表示具有相反意義的量的基準(zhǔn)數(shù)例如海拔0米的地方表示它與基準(zhǔn)的海平面一樣高收支平衡可記作結(jié)存0元2零是判定正負(fù)數(shù)的界限若a 0則a是正數(shù)反過來也成立若a是正數(shù)則 a0記作a0 a是正數(shù)讀作a0等價(jià)于a是正數(shù)b 0 b 是負(fù)數(shù)c0 c是非負(fù)數(shù)即c不是負(fù)數(shù)而是正數(shù)或0d0 d

13、是非正數(shù) 即d不是正數(shù)而是負(fù)數(shù)或0 e0 e不是0即e不是0而是負(fù)數(shù)或正數(shù)3在一切非負(fù)數(shù)中有一個(gè)最小值是0例如絕對(duì)值平方數(shù)都是非負(fù)數(shù)它們的最小值都是0記作a0當(dāng)a 0時(shí)a的值最小是0a20a2有最小值0當(dāng)a 0時(shí)4在一切非正數(shù)中有一個(gè)最大值是0例如0當(dāng)0時(shí)值最大是00時(shí)都是負(fù)數(shù)0當(dāng)2時(shí)的值最大是0二零具有獨(dú)特的運(yùn)算性質(zhì)1乘方零的正整數(shù)次冪都是零2除法零除以任何不等于零的數(shù)都得零零不能作除數(shù)從而推出0沒有倒數(shù)分?jǐn)?shù)的分母不能是03乘法零乘以任何數(shù)都得零即a×00反過來如果ab 0那么ab中至少有一個(gè)是0要使等式xy 0成立必須且只需x 0或y 04加法互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得零反過來也成

14、立 即ab互為相反數(shù)ab 05減法兩個(gè)數(shù)a和b的大小關(guān)系可以用它們的差的正負(fù)來判定若a-b 0則a b若a-b0則ab若a-b0則ab反過來也成立當(dāng)a b時(shí)a-b 0當(dāng)a b時(shí)a-b 0當(dāng)a b時(shí)a-b 0三在近似數(shù)中當(dāng)0作為有效數(shù)字時(shí)它表示不同的精確度例如com同前者表示精確到01米即1分米誤差不超過5厘米 后者表示精確到001米即1厘米誤差不超過5毫米可用不等式表示其值范圍如下com 1651595近似數(shù)160 1605二例題例1兩個(gè)數(shù)相除什么情況下商是1是1答兩個(gè)數(shù)相等且不是0時(shí)相除商是1兩數(shù)互為相反數(shù)且不是0時(shí)相除商是1例2絕對(duì)值小于3的數(shù)有幾個(gè)它們的和是多少為什么答絕對(duì)值小于3的數(shù)有

15、無數(shù)多個(gè)它們的和是0因?yàn)榻^對(duì)值小于3的數(shù)包括大于3并且小于3的所有數(shù)它們都以互為相反數(shù)成對(duì)出現(xiàn)而互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得零例3要使下列等式成立應(yīng)取什么值為什么103220答根據(jù)任何數(shù)乘以0都得0可知當(dāng)0時(shí)可取任何數(shù)當(dāng)1時(shí)取任何數(shù)等式10都是能成立互為相反數(shù)相加得零而30220它們都必須是0即30且20故當(dāng)3且2時(shí)等式3220成立練習(xí)四1有理數(shù)a和b的大小如數(shù)軸所示比較下列左邊各數(shù)與0的大小用號(hào)連接2a_ 0 3b_ 0 _ 0 _0a2 _ 0b3_ 0ab_ 0 ab_ 0 ab_ 0 2b 3_ 0 _ 0 _ 02a表示有理數(shù)下列四個(gè)式子正確個(gè)數(shù)是幾個(gè)答_個(gè) a a2 a2 a a a1

16、 a3x表示一切有理數(shù)下面四句話中正確的共幾句答_句x22有最小值0x3有最大值02x2有最大值23x1有最小值34絕對(duì)值小于5的有理數(shù)有幾個(gè)它們的積等于多少為什么5要使下列等式成立字母應(yīng)取什么值0006下列說法正確嗎為什么a的倒數(shù)是方程a13的解是n表示一切自然數(shù)2n1表示所有的正奇數(shù)如果a b 那么m2a m2b a b m都是有理數(shù) 7取什么值時(shí)下列代數(shù)式的值是正數(shù)112 第五講 an 的個(gè)位數(shù)一內(nèi)容提要1 整數(shù)a的正整數(shù)次冪an它的個(gè)位數(shù)字與a的末位數(shù)的n次冪的個(gè)位數(shù)字相同例如20023與23的個(gè)位數(shù)字都是82 0156的任何正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)字都是它們本身例如57的個(gè)位數(shù)是5620的

17、個(gè)位數(shù)是6237的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)字的規(guī)律見下表指數(shù)12345678910底數(shù)224862486243397139713977931793179其規(guī)律是2的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)是按2486四個(gè)數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)即24k1與2124k2與2224k3與2324k4與24的個(gè)位數(shù)是相同的k是正整數(shù)3和7也有類似的性質(zhì)4 489的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)可仿照上述方法也可以用422823932轉(zhuǎn)化為以23為底的冪5 綜上所述整數(shù)a的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)有如下的一般規(guī)律a4km與am的個(gè)位數(shù)相同 km都是正整數(shù) 二例題20032003的個(gè)位數(shù)是多少解20032003與32003的個(gè)位數(shù)是相同的20034×

18、500332003與33的個(gè)位數(shù)是相同的都是72003的個(gè)位數(shù)是7試說明6320001472002的和能被10整除的理由解20004×50020024×5002632000與34的個(gè)位數(shù)相同都是11472002與72的個(gè)位數(shù)相同都是96320001472002的和個(gè)位數(shù)是06320001472002的和能被10整除k取什么正整數(shù)值時(shí)3k2k是5的倍數(shù)解列表觀察個(gè)位數(shù)的規(guī)律k12343的個(gè)位數(shù)39712的個(gè)位數(shù)24863k2k的個(gè)位數(shù)55從表中可知當(dāng)k13時(shí)3k2k的個(gè)位數(shù)是5am與a4nm 的個(gè)位數(shù)相同mn都是正整數(shù)a是整數(shù)當(dāng)k為任何奇數(shù)時(shí)3k2k是5的倍數(shù)練習(xí)五1在括號(hào)里

19、填寫各冪的個(gè)位數(shù)k是正整數(shù)220的個(gè)位數(shù)是 45的個(gè)位數(shù)是330的個(gè)位數(shù)是87的個(gè)位數(shù)是74k1的個(gè)位數(shù)是 31179的個(gè)位數(shù)是 216×314的個(gè)位數(shù)是32k-172k-1的個(gè)位數(shù)是72k32k的個(gè)位數(shù)是 74k-164k-3的個(gè)位數(shù)是7710×3315×2220×5525的個(gè)位數(shù)是2目前知道的最大素?cái)?shù)是22160911它的個(gè)位數(shù)是_3說明如下兩個(gè)數(shù)都能被10整除的理由5353333319871989199319914正整數(shù)m取什么值時(shí)3m1是10的倍數(shù)5設(shè)n是正整數(shù)試說明2 n 7n2能被5整除的理由6若a4的個(gè)位數(shù)是5那么整數(shù)a的個(gè)位數(shù)是_若a4的

20、個(gè)位數(shù)是1那么整數(shù)a的個(gè)位數(shù)是_若a4的個(gè)位數(shù)是6那么整數(shù)a的個(gè)位數(shù)是_若a2k-1的個(gè)位數(shù)是7那么整數(shù)a的個(gè)位數(shù)是_7 12223292的個(gè)位數(shù)是_122232192的個(gè)位數(shù)是_122232292的個(gè)位數(shù)是_8 abc是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)a2 14884c2 15376那么b2是a15116b15129c15144d15321第六講 數(shù)學(xué)符號(hào)一內(nèi)容提要數(shù)學(xué)符號(hào)是表達(dá)數(shù)學(xué)語言的特殊文字每一個(gè)符號(hào)都有確定的意義即當(dāng)我們把它規(guī)定為某種意義后就不再表示其他意義數(shù)學(xué)符號(hào)一般可分為1元素符號(hào)通常用小寫字母表示數(shù)用大寫字母表示點(diǎn)用和表示圓和三角形等2關(guān)系符號(hào)如等號(hào)不等號(hào)相似全等平行垂直等3運(yùn)算符號(hào)如加減乘除乘

21、方開方絕對(duì)值等4邏輯符號(hào)略5約定符號(hào)和輔助符號(hào)例如我們約定正整數(shù)a和b中如果a除以b的商的整數(shù)部分記作z而它的余數(shù)記作r 那么z3r1又如設(shè)表示不大于x的最大整數(shù)那么5603正確使用符號(hào)的關(guān)健是明確它所表示的意義即定義對(duì)題設(shè)中臨時(shí)約定的符號(hào)一定要扣緊定義由簡(jiǎn)到繁由淺入深由具體到抽象逐步加深理解在解題過程中為了簡(jiǎn)明表述需要臨時(shí)引用輔助符號(hào)時(shí)必須先作出明確的定義所用符號(hào)不要與常規(guī)符號(hào)混淆二例題例1設(shè)表示不大于z的最大整數(shù)n為正整數(shù)n除以3的余數(shù) 計(jì)算132004解原式43100原式14202例2求19871988的個(gè)位數(shù) 說明1987198919931991能被10整除的理由解設(shè)nx表示整數(shù)x的個(gè)

22、位數(shù)n19871988n74×497n741n19871989n19931991n74×4971n34×4973n71n337701987198919931991能被10整除 由于引入輔助符號(hào)解答問題顯得簡(jiǎn)要明了例3定義一種符號(hào)的運(yùn)算規(guī)則為ab 2ab試計(jì)算53174解532×53131742×174942×9422設(shè)ab a ab7 求等式3x 2 -8 中的x解由題設(shè)可知等式3x 2 -8 就是33x722×879x21 18x 4練習(xí)六設(shè)qx 表示有理數(shù)x 的整數(shù)部分那么q215_q123 _ q 003_q_2設(shè)n表

23、示不小于n的最小整數(shù)那么43_23_2_0303_3設(shè)表示不大于m的最大整數(shù)若m 2則 _ 若n 35則 _ 若10則_若7b 8則_若 4則_x_若nc n1則_4正整數(shù)a和b中設(shè)a除以b的商的整數(shù)部分記作z余數(shù)記作rab的個(gè)位數(shù)記作nab寫出下列各數(shù)的結(jié)果rr_zz_n 19891990 _ 5設(shè)n表示自然數(shù)由1到n的連乘積例如51×2×3×4×5120計(jì)算120÷36設(shè) a1b2a2b1計(jì)算7定義一種符號(hào)的運(yùn)算法則為ab 那么32_ 23_123_310_8ab都是正整數(shù)設(shè)ab表示從a起b個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和例如23234545678已知52

24、005求9設(shè)x表示不大于x數(shù)的最大整數(shù)且xx求10設(shè)a表示不大于數(shù)a的最大整數(shù)例如12那么3x12x-的所有的根的和是_1987年全國(guó)初中聯(lián)賽題第七講 用字母表示數(shù)內(nèi)容提要和例題1用字母表示數(shù)最明顯的好處是能把數(shù)量間的關(guān)系簡(jiǎn)明而普遍地表達(dá)出來從具體的數(shù)字計(jì)算到用抽象的字母概括運(yùn)算規(guī)律上是一種飛躍2用字母表示數(shù)時(shí)字母所取的值應(yīng)使代數(shù)式有意義并使它所表示的實(shí)際問題有意義例如寫出數(shù)a的倒數(shù)用字母表示一切偶數(shù)解當(dāng)a0時(shí)a的倒數(shù)是設(shè)n為整數(shù)2n可表示所有偶數(shù)3命題中的字母一般要注明取值范圍在沒有說明的情況下它表示所學(xué)過的數(shù)并且能使題設(shè)有意義例題化簡(jiǎn)x 3x 3 x5解x 3x3 0x3x3x3當(dāng)x5時(shí)x

25、5x5當(dāng)x 5時(shí)x5x5本題x 表示所有學(xué)過的數(shù)已知十位上的數(shù)是a個(gè)位數(shù)是b 試寫出這個(gè)兩位數(shù)解這個(gè)兩位數(shù)是10ab 本題字母ab的取值是默認(rèn)題設(shè)有意義即a 表示1到9的整數(shù)b表示0到9的整數(shù) 4用字母等式表示運(yùn)算定律性質(zhì)法則公式時(shí)一般左邊作為題設(shè)所用的字母是使左邊代數(shù)式有意義的所以只對(duì)變形到右邊所增加的字母的取值加以說明例如用字母表示分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)分?jǐn)?shù)除法法則解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是 m0 m0 a作為左邊的分母不另說明a0 d0 d在左邊是分子到了右邊變分母故另加說明5用字母等式表示運(yùn)算定律性質(zhì)法則公式不僅可從左到右順用還可從右到左逆用公式可以變形變形時(shí)字母取值范圍有變化時(shí)應(yīng)加說明例如乘法分配律

26、順用a bc abac 2 逆用5a5b 5 ab 625×314525×314 314 625525 314路程s 速度v×時(shí)間t v t0 t v0 6用因果關(guān)系表示的性質(zhì)法則一般不能逆用例如加法的符號(hào)法則 如果a 0b 0那么 ab 0不可逆絕對(duì)值性質(zhì) 如果a 0那么a a也不可逆 若a a則a0 7有規(guī)律的計(jì)算?？捎米帜副硎酒浣Y(jié)果或概括成公式 例1正整數(shù)中不同的五位數(shù)共有幾個(gè)不同的n位數(shù)呢 解不同的五位數(shù)可從最大五位數(shù)99999減去最小五位數(shù)10000前的所有正整數(shù)即99999-9999 90000 推廣到n位正整數(shù)則要觀察其規(guī)律一位正整數(shù)從1到9共9個(gè)

27、記作9×1二位正整數(shù)從10到99共90個(gè) 記作9×10三位正整數(shù)從100到999共900個(gè) 記作9×102四位正整數(shù)從1000到9999共9000個(gè) 記作9×103 指數(shù)3 4-1 n位正整數(shù)共9×10 n-1個(gè)例2在線段ab上加了3個(gè)點(diǎn)cde后圖中共有幾條線段 加n點(diǎn)呢解以a為一端的線段有 acadaeab 共4條以c為一端的線段有 除ca外 cdcecb 共3條以d為一端的線段有 除dcda外 dedb 共2條以e為一端的線段有 除edecea外 eb 共1條共有線段1234 10 條 注意3個(gè)點(diǎn)時(shí)是從1加到4 因此 如果是n個(gè)點(diǎn)則共有線段

28、123n1 條練習(xí)七1右邊代數(shù)式中的字母應(yīng)取什么值 s正方形 a2 3的倍數(shù)3n2用字母表示一切奇數(shù)所有正偶數(shù)一個(gè)三位數(shù)n個(gè)a相乘的結(jié)果負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)3寫出從1開始n 個(gè)自然數(shù)的和是_從11開始到2n1 連續(xù)奇數(shù)的和 n 5 是_m個(gè)球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽所需場(chǎng)數(shù)是_4已知999 1031 9999 1041 那么各位數(shù)都是9的n位數(shù) _5計(jì)算112 _1112 _ _6寫出圖中所有三角形并計(jì)算其個(gè)數(shù)如果線段上有個(gè)點(diǎn)呢 第八講 抽屜原則一內(nèi)容提要14個(gè)蘋果放進(jìn)3個(gè)抽屜有一種必然的結(jié)果至少有一個(gè)抽屜放進(jìn)的蘋果不少于2個(gè)即等于或多于2個(gè)如果7個(gè)蘋果放進(jìn)3個(gè)抽屜那么至少有一個(gè)抽屜放進(jìn)的蘋果不少于

29、3個(gè)即等于或多于3個(gè)這就是抽屜原則的例子2如果用表示不小于的最小整數(shù)例如3 那么抽屜原則可定義為m個(gè)元素分成n個(gè)集合mn為正整數(shù)m n則至少有一個(gè)集合里元素不少于個(gè)3根據(jù)的定義已知mn可求己知?jiǎng)t可求的范圍例如已知3那么23已知2則 12即3x6x有最小整數(shù)值4二例題例1某校有學(xué)生2000人問至少有幾個(gè)學(xué)生生日是同一天分析我們把2000名學(xué)生看作是蘋果一年365天閏年366天看作是抽屜即把m2000個(gè)元素分成n 366 個(gè)集合至少有一個(gè)集合的元素不少于個(gè)解56答至少有6名學(xué)生的生日是同一天例2 從1到10這十個(gè)自然數(shù)中任意取出6個(gè)數(shù)其中至少有兩個(gè)是倍數(shù)關(guān)系試說明這是為什么解我們把1到10的奇數(shù)及

30、它們的倍數(shù)放在同一集合里則可分為5個(gè)集合它們是12483651079要在5個(gè)集合里取出6個(gè)數(shù)至少有兩個(gè)是在同一集合而在同一集合里的任意兩個(gè)數(shù)都是倍數(shù)關(guān)系本題的關(guān)鍵是劃分集合想一想為什么9不能放在3和6的集合里例3 袋子中有黃紅黑白四種顏色的小球各6個(gè)請(qǐng)你從袋中取出一些球要求至少有3個(gè)顏色相同那么至少應(yīng)取出幾個(gè)才有保證分析我們可把4種球看成4個(gè)抽屜4個(gè)集合至少有3個(gè)球同顏色看成是至少有一個(gè)抽屜不少于3個(gè)有一個(gè)集合元素不少于3個(gè)解設(shè)至少應(yīng)取出x個(gè)用表示不小于的最小整數(shù)那么323即8x 12最小整數(shù)值是9答至少要取出9個(gè)球才能確保有三個(gè)同顏色例4 等邊三角形邊長(zhǎng)為2在這三角形內(nèi)部放入5個(gè)點(diǎn)至少有2個(gè)

31、點(diǎn)它們的距離小于1試說明理由 解取等邊三角形各邊中點(diǎn)并連成四個(gè)小三角形如圖它們邊長(zhǎng)等于15個(gè)點(diǎn)放入4個(gè)三角形至少有2個(gè)點(diǎn)放在同一個(gè)三角形內(nèi)而同一個(gè)三角形內(nèi)的2個(gè)點(diǎn)之間的距離必小于邊長(zhǎng)1練習(xí)八1初一年新生從全縣17個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)招收50名則至少有_人來自同一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)2任取30個(gè)正整數(shù)分別除以7那么它們的余數(shù)至少有_個(gè)是相同的3在2003m中指數(shù)m任意取10個(gè)正整數(shù)那么這10個(gè)冪的個(gè)位數(shù)中相同的至少有_個(gè)4暗室里放有四種不同規(guī)格的祙子各30只為確保取出的祙子至少有1雙2只同規(guī)格為1雙那么至少要取幾只若要確保10雙呢5袋子里有黑白球各一個(gè)紅藍(lán)黃球各6個(gè)請(qǐng)你拿出一些球要確保至少有4個(gè)同顏色那么最少要取幾個(gè)6任意

32、取11個(gè)正整數(shù)至少有兩個(gè)它們的差能被10整除這是為什么7右圖有3行9列的方格若用紅藍(lán)兩種顏色涂上則至少有2列的涂色方式是一樣的試說明這是為什么8任意取3個(gè)正整數(shù)其中必有兩個(gè)數(shù)它們的平均數(shù)也是正整數(shù)試說明理由990粒糖果分給13個(gè)小孩每人至少分1粒不管怎樣分總有兩人分得同樣多這是為什么1011個(gè)互不相同的正整數(shù)它們都小于20那么一定有兩個(gè)是互質(zhì)數(shù)最大公約數(shù)是1的兩個(gè)正整數(shù)叫互質(zhì)數(shù)11任意6個(gè)人中或者有3個(gè)人他們之間都互相認(rèn)識(shí)或者有3個(gè)人他們之間都互不相識(shí)兩者必居其一這是為什么 第九講 一元一次方程解的討論一內(nèi)容提要1方程的解的定義能使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解一元方程的解也叫做

33、根例如方程2x60xx-1 0 x 6 0x 0 0x 2的解分別是x 3 x 0或x 1 x ±6 所有的數(shù)無解2關(guān)于x 的一元一次方程的解根的情況化為最簡(jiǎn)方程ax b后討論它的解當(dāng)a0時(shí)有唯一的解x 當(dāng)a 0且b0時(shí)無解當(dāng)a 0且b0時(shí)有無數(shù)多解不論x取什么值0x0都成立3求方程ax b a0 的整數(shù)解正整數(shù)解正數(shù)解當(dāng)ab時(shí)方程有整數(shù)解當(dāng)ab且ab同號(hào)時(shí)方程有正整數(shù)解當(dāng)ab同號(hào)時(shí)方程的解是正數(shù)綜上所述討論一元一次方程的解一般應(yīng)先化為最簡(jiǎn)方程ax b二例題例1 a取什么值時(shí)方程a a2 x 4 a2 有唯一的解無解有無數(shù)多解是正數(shù)解解當(dāng)a0且a2 時(shí)方程有唯一的解x 當(dāng)a 0時(shí)原方

34、程就是0x 8無解當(dāng)a 2時(shí)原方程就是0x 0有無數(shù)多解由可知當(dāng)a0且a2時(shí)方程的解是x 只要a與4同號(hào)即當(dāng)a 0且a2時(shí)方程的解是正數(shù)例2 k取什么整數(shù)值時(shí)方程k x1 k2x2的解是整數(shù)1xk 6的解是負(fù)整數(shù)解化為最簡(jiǎn)方程k2x 4當(dāng)k2能整除4即k2 ±1±2±4時(shí)方程的解是整數(shù) k 130426時(shí)方程的解是整數(shù)化為最簡(jiǎn)方程kx k6當(dāng)k0時(shí)x 1只要k能整除6即 k ±1±2±3±6時(shí)x就是整數(shù)當(dāng)k 123時(shí)方程的解是負(fù)整數(shù)521例3已知方程a x2 b x1 2a無解問a和b應(yīng)滿足什么關(guān)系解原方程化為最簡(jiǎn)方程 ab

35、 x b方程無解ab 0且b0a和b應(yīng)滿足的關(guān)系是a b0例4ab取什么值時(shí)方程3x2a2x3b 8x7有無數(shù)多解解原方程化為最簡(jiǎn)方程3a2b8x 2a3b7根據(jù)0x0時(shí)方程有無數(shù)多解可知當(dāng)時(shí)原方程有無數(shù)多解解這個(gè)方程組得答當(dāng)a 2且b 1時(shí)原方程有無數(shù)多解練習(xí)九1根據(jù)方程的解的定義寫出下列方程的解 x1 0 x2 9x 9x 33x1 3x1x2 2x2關(guān)于x的方程ax x2無解那么a_3在方程a a3 x a中當(dāng)a取值為_時(shí)有唯一的解當(dāng)a_時(shí)無解當(dāng)a_時(shí)有無數(shù)多解當(dāng)a_時(shí)解是負(fù)數(shù)4k取什么整數(shù)值時(shí)下列等式中的x是整數(shù)x x x x 5k取什么值時(shí)方程xk 6x的解是 正數(shù) 是非負(fù)數(shù)6m取什

36、么值時(shí)方程3mx 2m1的解 是零 是正數(shù)7已知方程的根是正數(shù)那么ab應(yīng)滿足什么關(guān)系8m取什么整數(shù)值時(shí)方程的解是整數(shù)9已知方程有無數(shù)多解求ab的值第十講 二元一次方程的整數(shù)解一內(nèi)容提要1二元一次方程整數(shù)解存在的條件在整系數(shù)方程axby c中若ab的最大公約數(shù)能整除c則方程有整數(shù)解即如果abc 則方程axby c有整數(shù)解顯然ab互質(zhì)時(shí)一定有整數(shù)解例如方程3x5y 1 5x-2y 7 9x3y 6都有整數(shù)解反過來也成立方程9x3y 10和 4x-2y 1都沒有整數(shù)解933而3不能整除10422而2不能整除1一般我們?cè)谡麛?shù)集合里研究公約數(shù)ab中的ab實(shí)為它們的絕對(duì)值2二元一次方程整數(shù)解的求法若方程

37、axby c有整數(shù)解一般都有無數(shù)多個(gè)常引入整數(shù)k來表示它的通解即所有的解k叫做參變數(shù)方法一整除法求方程5x11y 1的整數(shù)解解x 1 設(shè)是整數(shù)則y 1-5k 2 把2代入1得x k-2 1-5k 11k-2原方程所有的整數(shù)解是k是整數(shù)方法二公式法設(shè)axby c有整數(shù)解則通解是x0y0可用觀察法求二元一次方程的正整數(shù)解求出整數(shù)解的通解再解xy的不等式組確定k值用觀察法直接寫出二例題例1求方程5x9y 18整數(shù)解的通解解x 設(shè)k為整數(shù)y 35k代入得x 99k 原方程整數(shù)解是k為整數(shù) 又解當(dāng)x o時(shí)y 2方程有一個(gè)整數(shù)解它的通解是k為整數(shù)從以上可知整數(shù)解的通解的表達(dá)方式不是唯一的例2求方程5x6y

38、 100的正整數(shù)解解x 1 設(shè) k為整數(shù) 則y 5k 2 把2代入1得x 20-6k解不等式組得0k k的整數(shù)解是123正整數(shù)解是例3甲種書每本3元乙種書每本5元38元可買兩種書各幾本解設(shè)甲種書買x本乙種書買y本根據(jù)題意得3x5y 38xy都是正整數(shù)x1時(shí)y 7是一個(gè)整數(shù)解通解是k為整數(shù)解不等式組得解集是整數(shù)k 012把k 012代入通解得原方程所有的正整數(shù)解答甲乙兩種書分別買1和7本或6和4本或11和1本練習(xí)十1求下列方程的整數(shù)解公式法x7y 4 5x-11y 3整除法3x10y 1 11x3y 42求方程的正整數(shù)解5x7y 875x3y 1103一根長(zhǎng)10000毫米的鋼材要截成兩種不同規(guī)格

39、的毛坯甲種毛坯長(zhǎng)300毫米乙種毛坯長(zhǎng)250毫米有幾種截法可百分之百地利用鋼材4兄弟三人老大20歲老二年齡的2倍與老三年齡的5倍的和是97求兄弟三人的歲數(shù)5下列方程中沒有整數(shù)解的是哪幾個(gè)答_ 填編號(hào)4x2y 11 10x-5y 70 9x3y 11118x-9y 98 91x-13y 169 120x121y 3246一張?jiān)噹営?0道選擇題選對(duì)每題得5分選錯(cuò)每題反扣2分不答得0分小軍同學(xué)得48分他最多得幾分7用觀察法寫出方程3x7y 1幾組整數(shù)解y 142x 第十一講 二元一次方程組解的討論一內(nèi)容提要二元一次方程組的解的情況有以下三種當(dāng)時(shí)方程組有無數(shù)多解兩個(gè)方程等效當(dāng)時(shí)方程組無解兩個(gè)方程是矛盾的

40、當(dāng)即a1b2a2b10時(shí)方程組有唯一的解這個(gè)解可用加減消元法求得方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)一般是不定解即有無數(shù)多解若要求整數(shù)解可按二元一次方程整數(shù)解的求法進(jìn)行求方程組中的待定系數(shù)的取值一般是求出方程組的解把待定系數(shù)當(dāng)已知數(shù)再解含待定系數(shù)的不等式或加以討論見例23二例題例1選擇一組ac值使方程組有無數(shù)多解無解有唯一的解解當(dāng)5a 12 7c時(shí)方程組有無數(shù)多解解比例得a 10c 14當(dāng)5a127c時(shí)方程組無解解得a 10c14當(dāng)5a12時(shí)方程組有唯一的解即當(dāng)a10時(shí)c不論取什么值原方程組都有唯一的解例2a取什么值時(shí)方程組 的解是正數(shù)解把a(bǔ)作為已知數(shù)解這個(gè)方程組得解不等式組得解集是6答當(dāng)a的取值為6

41、時(shí)原方程組的解是正數(shù)例3m取何整數(shù)值時(shí)方程組的解x和y都是整數(shù)解把m作為已知數(shù)解方程組得x是整數(shù)m8取8的約數(shù)±1±2±4±8y是整數(shù)m8取2的約數(shù)±1±2取它們的公共部分m8±1±2解得m 97106經(jīng)檢驗(yàn)m 97106時(shí)方程組的解都是整數(shù)例4古代問題用100枚銅板買桃李欖橄共100粒己知桃李每粒分別是34枚銅板而欖橄7粒1枚銅板問桃李欖橄各買幾粒解設(shè)桃李欖橄分別買xyz粒依題意得由1得x 100yz 3 把3代入2整理得y 2003z 設(shè) k為整數(shù) 得z 7k y 20020k x 300解得k是整數(shù)10k k

42、是整數(shù)k 11即x 3桃y 20李z 77欖橄 答略 練習(xí)十一不解方程組判定下列方程組解的情況a取什么值時(shí)方程組的解是正數(shù)a取哪些正整數(shù)值方程組的解x和y都是正整數(shù)要使方程組的解都是整數(shù) k應(yīng)取哪些整數(shù)值古代問題今有雞翁一值錢五雞母一值錢三雞雛三值錢一百錢買百雞雞翁雞母雞雛都買可各買多少第十二講 用交集解題一內(nèi)容提要某種對(duì)象的全體組成一個(gè)集合組成集合的各個(gè)對(duì)象叫這個(gè)集合的元素例如6的正約數(shù)集合記作6的正約數(shù)1236它有4個(gè)元素1236除以3余1的正整數(shù)集合是個(gè)無限集記作除以3余1的正整數(shù)14710它的個(gè)元素有無數(shù)多個(gè)由兩個(gè)集合的所有公共元素組成的一個(gè)集合叫做這兩個(gè)集合的交集例如6的正約數(shù)集合a

43、123610的正約數(shù)集合b125106與10的公約數(shù)集合c12集合c是集合a和集合b的交集幾個(gè)集合的交集可用圖形形象地表示右圖中左邊的橢圓表示正數(shù)集合右邊的橢圓表示整數(shù)集合中間兩個(gè)橢圓的公共部分是它們的交集正整數(shù)集不等式組的解集是不等式組中各個(gè)不等式解集的交集例如不等式組解的集合就是不等式1的解集x 3和不等式2的解集x2的交集x 3 如數(shù)軸所示 4一類問題它的答案要同時(shí)符合幾個(gè)條件一般可用交集來解答把符合每個(gè)條件的所有的解即解的集合分別求出來它們的公共部分即交集就是所求的答案有時(shí)可以先求出其中的一個(gè)一般是元素最多的解集再按其他條件逐一篩選剔除求得答案如例2二例題例1一個(gè)自然數(shù)除以3余2除以5

44、余3除以7余2求這個(gè)自然數(shù)的最小值解除以3余2的自然數(shù)集合a258111417202326除以5余3的自然數(shù)集b3813182328除以7余2自然數(shù)集合c29162330集合abc的公共元素的最小值23就是所求的自然數(shù)有兩個(gè)二位的質(zhì)數(shù)它們的差等于6并且平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同求這兩個(gè)數(shù)解二位的質(zhì)數(shù)共21個(gè)它們的個(gè)位數(shù)字只有1379即符合條件的質(zhì)數(shù)它們的個(gè)位數(shù)的集合是1379其中差等于6的有1和73和913和7三組平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同的只有3和71和9二組同時(shí)符合三個(gè)條件的個(gè)位數(shù)字是3和7這一組故所求質(zhì)數(shù)是2317433753477367共四組例3數(shù)學(xué)興趣小組中訂閱a種刊物的有28人訂閱b種刊物的有

45、21人其中6人兩種都訂只有一人兩種都沒有訂問只訂a種只訂b種的各幾人數(shù)學(xué)興趣小組共有幾人解如圖左右兩橢圓分別表示訂閱a種b種刊物的人數(shù)集合則兩圓重疊部分就是它們的交集ab兩種都訂的人數(shù)集合只訂a種刊物的人數(shù)是28622人只訂b刊物的人數(shù)是21615人小組總?cè)藬?shù)是22156144人設(shè)nnanbnab分別表示總?cè)藬?shù)訂a種b種ab兩種都不訂的人數(shù)則得公式一n nanbnab例4在40名同學(xué)中調(diào)查會(huì)玩乒乓球的有24人籃球有18人排球有10人同時(shí)會(huì)玩乒乓球和籃球的有6人同時(shí)會(huì)玩乒乓球和排球的有4人三種球都會(huì)的只有1人問有多少人只會(huì)打乒乓球同時(shí)會(huì)打籃球和排球只會(huì)打排球解仿公式一得公式二n nanbn c

46、nabnacn bc n abc 只會(huì)打乒乓球的是2464115人求nbc可用公式二4024181064nbc1nbc3即同時(shí)會(huì)打籃球和排球的是3人只會(huì)打排球的是10316人例5 十進(jìn)制中六位數(shù)能被33整除求x和y的值解0xy9 0xy18 9xy9xy xy333×1119xy87的和是3的倍數(shù)故xy 258111417 1x8 9y7 是11的倍數(shù)故xy 47xy和xy是同奇數(shù)或同偶數(shù)它們的交集是下列四個(gè)方程組的解 解得 x 12不合題意舍去答x 2y 6或x 5y 9或x 9y 2練習(xí)十二1負(fù)數(shù)集合與分?jǐn)?shù)集合的交集是_ 2等腰直角三角形集合是_三角形集合與_三角形集合的交集31

47、2的正約數(shù)集合a30的正約數(shù)集合b12和30的公約數(shù)集合c集合c是集合a和集合b的_4解下列不等式組并把解集不是空集表示在數(shù)軸上 5某數(shù)除以3余1除以5余1除以7余2求某數(shù)的最小值6九張紙各寫著1到9中的一個(gè)自然數(shù)不重復(fù)甲拿的兩張數(shù)字和是10乙拿的兩張數(shù)字差是1丙拿的兩張數(shù)字積是24丁拿的兩張數(shù)字商是3問剩下的一張是多少7求符合如下三條件的兩位數(shù)能被3整除它的平方立方的個(gè)位數(shù)都不變兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字積的個(gè)位數(shù)與原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同8據(jù)30名學(xué)生統(tǒng)計(jì)會(huì)打籃球的有22人其中5人還會(huì)打排球有2人兩種球都不會(huì)打那么會(huì)打排球有幾人只會(huì)打排球是幾人9100名學(xué)生代表選舉學(xué)生會(huì)正付主席對(duì)侯選人a和b進(jìn)行表決贊成a的有52票贊成b的有60票其中ab都贊成的有36人問對(duì)ab都不贊成的有幾人10數(shù)理化三科競(jìng)賽參加人數(shù)按單科統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)24人物理18人化學(xué)10人按兩科統(tǒng)計(jì)參加數(shù)理數(shù)化理化分別是1345人沒有三科都參加的人求參賽的總?cè)藬?shù)只參加數(shù)學(xué)科的人數(shù)本題如果改為有2人三科都參加呢1112十進(jìn)制中六位數(shù)能被21整除求xy的值仿例5第十三講 用枚舉法解題一內(nèi)容提要有一類問題的解答可依題意一一列舉并從中找出規(guī)律列舉解答要注意按一定的順序有系統(tǒng)地進(jìn)行分類列舉時(shí)要做到既不重復(fù)又不違漏遇到較大數(shù)字或