專題一：特殊的平行四邊形

1、專題一：特殊的平行四邊形 矩形 菱形 正方形一、學(xué)法指引矩形 菱形 正方形是特殊的平行四邊形，因此它們既具有平行四邊形的一般性質(zhì)，又具有自己的特殊性質(zhì)，要求掌握各自的性質(zhì)，判定，并能運(yùn)用性質(zhì)、判定解決相關(guān)問題同時(shí)注意它們的包含與被包含的關(guān)系。二、探究與思考 1）探究矩形的定義，性質(zhì)，判定矩形的定義矩形定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形矩形的特殊性質(zhì)因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角相等，鄰角互補(bǔ)，而矩形有一個(gè)角是直角，所以矩形的四個(gè)角都是直角矩形性質(zhì)1 矩形的四個(gè)角都是直角如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，顯然ABCDCB,所以AC=BD,矩形性質(zhì)2 矩形的對(duì)角線相等直角三角形的性質(zhì)：直角

2、三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半由性質(zhì)2有 AO=BO=CO=DO=AC=BD因此可以得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半例1、已知：如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AOB=60°，AB=4cm，求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)例2、已知：如圖 ，矩形 ABCD中，AB長(zhǎng)8 cm ，對(duì)角線比AD邊長(zhǎng)4 cm求AD的長(zhǎng)及點(diǎn)A到BD的距離AE的長(zhǎng)例3、如圖，四邊形ABCD中，ACBD于點(diǎn)O，EFACHG，EHBDFG，點(diǎn)E、F、G、H分別在四邊形的邊上。求證：FH=EG推薦精選講中練1填空：（1）矩形的定義中有兩個(gè)條件：一是 ，二是 （2）已知矩形的一條對(duì)角線與一邊的

3、夾角為30°，則矩形兩條對(duì)角線相交所得的四個(gè)角的度數(shù)分別為 、 、 、 2下列說法錯(cuò)誤的是（ ） A、矩形的對(duì)角線互相平分 B、矩形的對(duì)角線相等C、有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形 D、有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形3.矩形的對(duì)角線把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）A、2對(duì) B、4對(duì) C、6對(duì) D、8對(duì)4已知矩形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為10cm，兩條對(duì)角線的一個(gè)交角為120°，則矩形的邊長(zhǎng)分別為 _cm， cm， cm， cm5、如圖，矩形ABCD中，AEBD，垂足為E，DAE=3BAE，則BAE= ，EAC= 。6、已知如圖，O是矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，AE平分BAD，

4、AOD=120°，求AEO的度數(shù)7、如圖 （a），在矩形 ABCD中，兩條對(duì)角線交于點(diǎn) O,AOD 120°， AB 4求：（1）矩形對(duì)角線長(zhǎng)；（2）BC邊的長(zhǎng);（3）若過O垂直于BD的直線交AD于E，交BC于F（圖4-31（b）求證： EFBF， OF=CF；（4）如圖4-31（c），若將矩形沿直線MN折疊，使頂點(diǎn) B與D重合，M，N交AD于M，交BC于N求折痕MN長(zhǎng)推薦精選矩形的判定： 判定一：有一個(gè)角是90°的平行四邊形 判定二：有三個(gè)內(nèi)角是直角的四邊形 判定三：對(duì)角線相等的平行四邊形由判定一、三可知要證明一個(gè)四邊形是矩形，一般先證明它是平行四邊形，再證明有

5、一個(gè)角是直角。例4、如圖，在ABC中，點(diǎn)D在AB上，且AD=CD=BD，DE、DF分別是BDC、ADC的平分線。四邊形FDEC是矩形嗎？為什么？例5、如圖，ABCD的4個(gè)內(nèi)角平分線圍成的四邊形PQRS是矩形嗎？為什么？例6、如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)。四邊形EFGH是矩形嗎？為什么？講中練1、正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”（1）四個(gè)角相等的四邊形是矩形（ ）。（2）對(duì)角線相等的四邊形是矩形（ ）。（3）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形（ ）。（4）一組對(duì)邊平行另一組對(duì)相等且對(duì)角線相等的四邊形是矩形（ ）。2、四邊形

6、ABCD的對(duì)角線AC、 BD相交于點(diǎn)O，下列條件中能識(shí)別它為矩形的是( )A、AOCO， BODO， ABBC B、AOCO， BODO， ABDC推薦精選C、ABCD， ADBC， AOCO D、AOBOCODO3、【問題一】如圖，四邊形ABCD中，AB，BC，CD6，且ABC1350，BCD1200，你知道AD的長(zhǎng)嗎？【問題二】把矩形ABCD沿BD折疊至如上圖所示的情形，請(qǐng)你猜想四邊形ABDE是什么圖形，并證明你的猜想。4、如圖，以ABC的三邊為邊在BC的同一側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形，即ABD、BCE、ACF。請(qǐng)回答下列問題（不要求證明）：（1）四邊形ADEF是什么四邊形？（2）當(dāng)ABC滿足

7、什么條件時(shí)，四邊形ADEF是矩形？（3）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在 2）菱形，正方形 菱形，正方形的定義、性質(zhì)AC B 菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形 正方形定義：一組鄰邊相等的矩形叫正方形菱形的性質(zhì)：1、四邊都相等 2、對(duì)角線互相垂直平分 D正方形性質(zhì)：1、四邊都相等 2、對(duì)角線相等且互相垂直平分例7、如圖在菱形ABCD中，BAD=2B，求B的度數(shù)，并說明ABC是等邊三角形。推薦精選例8、如圖所示，正方形ABCD中，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PEBC于E，PFCD于F。請(qǐng)猜想 EF與PA的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系，并說明理由。菱形，正方形的判定CBOEF

8、DA例9、如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，作CFBC交AD的延長(zhǎng)線于F，E是CF的中點(diǎn)，試說明四邊形OCED是菱形。例10、如圖所示，在RtABC中，C90°，A、B的平分線交于點(diǎn)D，DEBC于E，DFAC于F，試說明四邊形CEDF為正方形。拓展練習(xí)一、填空題1、一個(gè)菱形的周長(zhǎng)等于20cm，菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為5cm，則菱形的四個(gè)內(nèi)角分別是。2、如圖所示，在邊長(zhǎng)為8的菱形ABCD中，DAB60°，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則EFBF的最小值是。 （2題圖） （5題圖） （7題圖） （9題圖）3、正方形的對(duì)稱軸有條，它的對(duì)稱中心是。4、正方形的邊長(zhǎng)為

9、4cm，則周長(zhǎng)為，面積為。5、如圖，正方形ABCD和正方形OEFG的邊長(zhǎng)均為4，O是正方形ABCD的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，則圖中陰影部分的面積是推薦精選6、已知：矩形ABCD中，AB2CB，點(diǎn)E中DC上，且AEAB，則EBC。7、如圖所示，在正方形ABCD中，M是BC上一點(diǎn)，連結(jié)AM，作AM的垂直平分線GH交AB于G，交CD于H，若AM10cm，則GH。8、菱形的一個(gè)內(nèi)角為120°，較短的對(duì)角線長(zhǎng)為10cm，那么菱形的周長(zhǎng)為cm。9、如圖所示，把25個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)大正方形，A、B、C、D都是小正方形的頂點(diǎn)，則四邊形ABCD的面積為。10、正方形ABCD中，對(duì)角線的長(zhǎng)是10cm，

10、點(diǎn)P是AB上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到AC、BD的距離之和是二、選擇題1、同學(xué)們玩過萬花筒，它是三塊等寬、等長(zhǎng)的玻璃片圍成的。如圖所示的是看到的萬花筒的一個(gè)圖案，圖中所有的小三角形均是全等的等邊三角形，其中的菱形(四邊相等)AEFG可以看成是把菱形ABCD以A為中心得到的。A、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°B、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°C、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°D、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120° （1題圖） （6題圖） （7題圖）2、在四邊形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，下列條件能判定這個(gè)四邊形是正方形的是。A、ACBD，ABCD，ABCD B、ADBC，ACC、AOBOCODO，ACBD D、ACC

11、O，BODO，ABBC3、正方形具有而菱形沒有的性質(zhì)是。A、對(duì)角線互相平分 B、每條對(duì)角線平分一組對(duì)角C、對(duì)角線相等 D、對(duì)邊相等4、在正方形ABCD所在平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使P點(diǎn)與A、B、C、D中兩點(diǎn)都連在一個(gè)等邊三角形，那么這樣的P點(diǎn)有。A、5個(gè) B、12個(gè) C、9個(gè) D、15個(gè)5、能判定一個(gè)四邊形是菱形的條件是。A、對(duì)角線互相平分且相等B、對(duì)角線互相垂直且相等C、對(duì)角線互相垂直且兩組對(duì)角相等D、對(duì)角線互相垂直且一條對(duì)角線平分一組對(duì)角推薦精選6、如圖所示，菱形ABCD的邊長(zhǎng)與正三角形AEF的邊長(zhǎng)相等，且E、F分別在BC、CD上，則BAD的度數(shù)是。A、80° B、90° C、

12、100° D、120°7、如圖所示，以正方形ABCD中AD邊為一邊向外作等邊ADE，則AEB。A、10°B、15°C、20°D、12.5°8、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AD2DC，M、N分別在AB兩邊的延長(zhǎng)線上，且有MAABBN，則MC與DN的關(guān)系是。A、相等B、垂直C、垂直且相等D、不能確定 （8題圖） （9題圖）9、如圖所示，在正方形ABCD中，H是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，使CECH，連結(jié)DH，延長(zhǎng)BE交DH于G，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是。A、BEDHB、HBEC90°C、BGDHD、HDCABE90°能力升級(jí)1、

13、已知：如圖所示，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共頂點(diǎn)A，把正方形AEFG繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置，連結(jié)DG、BE。試說明：DGBE。2、已知：如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是AD、DC的交點(diǎn)，AF、BE交于點(diǎn)G，連結(jié)CG，試說明：CGB是等腰三角形。推薦精選3、已知：如圖所示，E、F分別是正方形的邊BC、DC上的點(diǎn)，且EAF45°，求證：BEDFEF4、如圖所示，在正方形ABCD中，M為AB上任意一點(diǎn)，MNDM，BN平分CBE，試說明：MDMN。5、已知：如圖所示，ABCD是正方形，過B作BFAC，E是BF上一點(diǎn)，四邊形AEFC是菱形，試說明：FCA5F。6、如圖

14、所示，ABCD是正方形，AEDB，BEBD，BE交AD于F，試說明：DEF是腰三角形。7、如圖所示，已知正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，過A作AGEB，垂足為G，AG交BD于F，請(qǐng)說明OEOF推薦精選對(duì)于上述命題，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AGEB交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，AG的延長(zhǎng)線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其他條件不變，如圖所示，請(qǐng)你想一想，結(jié)論“OEOF”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給予說明；如果不成立，請(qǐng)說明理由。8、如圖所示，點(diǎn)M是矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PEMC，PFBM，垂足分別為E、F。當(dāng)矩形ABCD的長(zhǎng)與寬滿足什么條件時(shí)，四邊形PEMF為

15、矩形，請(qǐng)猜想并說明理由。在中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，矩形PEMF變?yōu)檎叫危繛槭裁矗?、如圖所示，在矩形ABCD中，AB24cm，BC12cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)。如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t(s)表示移動(dòng)時(shí)間(0t12)，那么：當(dāng)t為何值時(shí)，QAP為等腰直角三角形；求出此時(shí)四邊形QAPC的面積，并提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論。10、如圖所示，在ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線與AD、BC、AC分別交于E、F、O，試說明四邊形AFCE是菱形。推薦精選11、如圖所示，菱形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，DEAB，ABa，BEh。求：ABC的度數(shù)；AC的長(zhǎng)；菱形ABCD的面積。12、如圖所示，O是菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，作DEAC，CEBD，DE、CE交于點(diǎn)E，四邊形OCED是矩形嗎？說說你的理由。如圖所示，O是矩形A