全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)B卷1

1、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（b卷）說明：1. 評閱試卷時(shí)，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次給分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時(shí)可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，10分為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次。一、（本題滿分40分） 如圖，銳角三角形abc的外心為o，k是邊bc上一點(diǎn)（不是邊bc的中點(diǎn)），d是線段ak延長線上一點(diǎn)，直線bd與ac交于點(diǎn)n，直線cd與ab交于點(diǎn)m求證：若okmn，則a，b，d，c四點(diǎn)共圓證明：用反證法若a，b，d，c不四點(diǎn)共圓，設(shè)三角形abc的外接圓與ad交于點(diǎn)e，連接be并延長交直線an于點(diǎn)q，連接ce并延長交直線

2、am于點(diǎn)p，連接pq因?yàn)閜的冪（關(guān)于o）k的冪（關(guān)于o） ，同理 ，所以 ，故 （10分）由題設(shè)，okmn，所以pqmn，于是 由梅內(nèi)勞斯（menelaus）定理，得， 由，可得， （30分）所以，故dmn dcb，于是，所以bcmn，故okbc，即k為bc的中點(diǎn)，矛盾！從而四點(diǎn)共圓. （40分）注1：“p的冪（關(guān)于o）k的冪（關(guān)于o）”的證明：延長pk至點(diǎn)f，使得， 則p，e，f，a四點(diǎn)共圓，故，從而e，c，f，k四點(diǎn)共圓，于是， -，得 p的冪（關(guān)于o）k的冪（關(guān)于o） 注2：若點(diǎn)e在線段ad的延長線上，完全類似二、（本題滿分40分）設(shè)和是大于1的整數(shù)，求證： 證明： （20分） （40分

3、）三、（本題滿分50分）設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù), 求證：. 證明：首先證明左邊不等式.因?yàn)?,同理,有 , ; （10分）于是 ; （20分）由算術(shù)-幾何平均不等式, 得 ,所以 .左邊不等式獲證, 其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立. （30分）下面證明右邊不等式.根據(jù)欲證不等式關(guān)于對稱, 不妨設(shè), 于是 ,所以 . （40分）運(yùn)用算術(shù)-幾何平均不等式, 得 .右邊不等式獲證, 其中等號當(dāng)且僅當(dāng)中有一個(gè)為0,且另外兩個(gè)相等時(shí)成立. （50分）四、（本題滿分50分）設(shè)k是給定的正整數(shù)，記，證明：存在正整數(shù)m，使得為一個(gè)整數(shù)這里，表示不小于實(shí)數(shù)x的最小整數(shù)，例如：，證明：記表示正整數(shù)n所含的2的冪次則當(dāng)時(shí)，為整數(shù)下面我們對用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)時(shí)，k為奇數(shù)，為偶數(shù)，此時(shí)為整數(shù) （10分)假設(shè)命題對成立對于，設(shè)k的二進(jìn)制表示具有形式，這里，或者1， （20分)于是 ， （40分）這里顯然中所含