球的體積教案Word版

1、傳播優(yōu)秀word版文檔 ，希望對(duì)您有幫助，可雙擊去除！球的體積教案教學(xué)目的通過(guò)“球的體積”的教學(xué)，不僅要求學(xué)生熟記球的體積公式，更要培養(yǎng)學(xué)生觀察、估算、猜想、構(gòu)造和論證能力并注意完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)若只要求學(xué)生記住有關(guān)公式，剩下的就是反復(fù)練習(xí)解幾個(gè)一元方程；已知半徑求體積；已知體積求半徑，；這是降低教學(xué)要求教學(xué)過(guò)程師：(板書(shū))已知球的半徑為r，求v球=？(出示小黑板圖1)思維從問(wèn)題開(kāi)始師：為了計(jì)算半徑為r的球的體積，可以先計(jì)算半球的體積v半球觀察圖1，你一定能在v圓柱、v半球、v圓錐這三個(gè)量之間正確地寫(xiě)上不等符號(hào)(學(xué)生完成)，得v圓柱v半球v圓錐提供類比，讓學(xué)生目測(cè)大小，溫故而知新，用以強(qiáng)化認(rèn)識(shí)

2、過(guò)程向“量化”過(guò)渡你能猜測(cè)v半球=？引誘學(xué)生猜想猜想是發(fā)現(xiàn)的開(kāi)始！生：師：可以大膽一些，準(zhǔn)許猜錯(cuò)(此答案不一定出自成績(jī)最好的學(xué)生，而是膽大者，思維活躍者)既鼓勵(lì)，又提出更高要求，使學(xué)生仍處于激奮境地(用行動(dòng)支持敢于大膽猜想的學(xué)生)師：我們不妨做一個(gè)試驗(yàn)，用以驗(yàn)證這個(gè)猜想理、化有實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)也可以有實(shí)驗(yàn)美國(guó)盛行“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)法”，這對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力都十分有利(取一個(gè)半徑為r的半球面，再取半徑和高都是r的圓桶和圓錐各一個(gè)，都是鐵皮制成的容器將圓錐放入圓桶內(nèi)(圖2)，再將半球容器裝滿細(xì)沙，然后把半球內(nèi)的細(xì)沙倒入圓桶內(nèi)，發(fā)現(xiàn)圓桶恰好被裝滿)師：你能將實(shí)驗(yàn)結(jié)果用一個(gè)等式表達(dá)出來(lái)嗎？鼓勵(lì)學(xué)生

3、將實(shí)驗(yàn)結(jié)果“量化”(構(gòu)造一個(gè)等式)是十分重要的數(shù)學(xué)方法生甲：(板書(shū))v圓柱v圓錐=v半球生乙：(板書(shū))v半球=v圓柱v圓錐師：于是得(板書(shū))且 v圓柱v半球v圓錐=321師：中學(xué)數(shù)學(xué)是建立在推理的基礎(chǔ)上的，實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否可靠，還要進(jìn)行論證才行中學(xué)理、化是建立在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的用數(shù)學(xué)工具去證明實(shí)驗(yàn)結(jié)果，學(xué)生興趣盎然師：我們現(xiàn)在的任務(wù)是證明這個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果或者說(shuō)，是要證明圖2右邊充滿細(xì)沙的幾何體與左邊充滿細(xì)沙的半球是等積形而右邊幾何體的體積是已知的(板書(shū))如果再能證明它又符合祖暅原理中的“條件”，我們就可以將它作為半球的參照體了(為了運(yùn)用祖暅原理，所引入的幾何體必須符合兩個(gè)條件：一是它的計(jì)算公式是已知的；二

4、是它符合祖暅原理的條件，即該幾何體與原幾何體要夾在兩個(gè)平行平面之間，且用平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面去截時(shí)，截得的截面面積總相等，符合以上兩個(gè)條件的幾何體可叫做原幾何體的參照體在前面推導(dǎo)柱、錐的體積的多次教學(xué)中應(yīng)該引用這個(gè)術(shù)語(yǔ)，讓學(xué)生熟悉祖暅原理與該術(shù)語(yǔ)的關(guān)系)該幾何體與半球同高(r)，這說(shuō)明它與半球可以?shī)A在兩個(gè)平行平面之間，剩下的問(wèn)題是要證明它與半球的等距截面的面積相等用與底面平行的任一平面去截圖2的兩個(gè)幾何體(圖3)，截面分別是圓面和圓環(huán)r，小圓半徑為l，因此s圓=r2=(r2l2)，s圓環(huán)=r2l2=(r2l2)，所以s圓=s環(huán)根據(jù)祖暅原理，這兩個(gè)幾何體的體積相等，即由此，“猜想”得到

5、證明，可以寫(xiě)成定理形式：從猜想到證明是“質(zhì)”的升華！是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最重要的素質(zhì)定理：如果球的半徑是r，那么它的體積是師：你準(zhǔn)備怎樣記憶這個(gè)結(jié)論呢？不管是意義識(shí)記或是機(jī)械識(shí)記，在這里都是有效的，都是可行的根據(jù)各個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣，不必強(qiáng)求一律生甲：根據(jù)“細(xì)沙實(shí)驗(yàn)”，生乙：我只要記住v圓柱v半球v圓錐=321就行了師：還有其他的記憶方法嗎？例如，把球體視為擬柱體，采用擬柱體的體積公式試試看數(shù)學(xué)教師要不要培養(yǎng)學(xué)生的記憶能力，這是有爭(zhēng)議的看來(lái)，數(shù)學(xué)教師有可能，也有必要去培養(yǎng)學(xué)生的記憶能力生：(板演)(隨時(shí)復(fù)習(xí)與應(yīng)用擬柱體體積公式)師：這能作為球體積公式的證明嗎？生：球體不是擬柱體，不能作為證明，但可以作為

6、一種記憶方法師：還有其他的記憶方法嗎？例如，將球體分割成許多小的錐體，球心是這些小錐體的頂點(diǎn)，錐的底面不是平面，而是球面的一小部分(是曲面)請(qǐng)看圖4是重要的數(shù)學(xué)思想于是，v球=許多小錐體之和，而這許多小錐體的高可視為球半徑r又因?yàn)樗行″F體的底面之和=球面積=4r2，所以發(fā)展學(xué)生的空間想象能力同樣，這也不能作為球體積公式的證明但是，使人感到興趣的是，擬柱體、小錐體與球體的這種“默契”，這種內(nèi)部的一致，給人們以合諧的感覺(jué)，它不僅幫助人們記憶，還給人以和諧美的感受！升華了！師：現(xiàn)在再請(qǐng)大家自己解答一個(gè)問(wèn)題：(板書(shū))不十分困難的例題由學(xué)生自己解答，然后再對(duì)照課本并進(jìn)行議論，有時(shí)比教師直接講解要收效大

7、些，不妨一試有一種空心鋼球，重142 g，測(cè)得外徑等于5.0 cm，求它的內(nèi)徑(鋼比重是7.9g/cm3)師：這是課本的例題，解完后自行對(duì)照課本(學(xué)生議論，同時(shí)由一位學(xué)生板演)師：今天這堂課的關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)球的參照體，而“細(xì)沙實(shí)驗(yàn)”幫助我們解決了這個(gè)問(wèn)題你能離開(kāi)實(shí)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)分析直接構(gòu)造這個(gè)參照體嗎？(代替小結(jié)，將課內(nèi)效果引向課外直接構(gòu)造參照體)教案說(shuō)明這份教案顯然是寫(xiě)給別人看的，如果只是為了自己教學(xué)，我想，只要記下教學(xué)過(guò)程就行了：(1)提出問(wèn)題：v球=？(2)自測(cè)圓柱、半球、圓錐這三者之間的大小關(guān)系(圖1)(4)細(xì)沙實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證“猜想”(5)構(gòu)造參照體，證明“猜想”(6)得定理、談?dòng)洃?7)例題、小

8、結(jié)、作業(yè)我為什么要采取上面這幾個(gè)環(huán)節(jié)？理由如下：目前的數(shù)學(xué)教材是從少數(shù)公理和原理出發(fā)，通過(guò)演繹，將知識(shí)展開(kāi)于是，過(guò)程(1)(4)都可以省略并且，“參照體”也是由教材直接給出的(不需要構(gòu)造)師生的和方法用定論的形式直接呈現(xiàn)在學(xué)生面前，新、舊知識(shí)的銜接點(diǎn)直接給出，內(nèi)化任務(wù)很快就完成因此，這種做法的優(yōu)點(diǎn)是直截了當(dāng)，節(jié)約時(shí)間；缺點(diǎn)是學(xué)生缺乏一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)過(guò)程，把知識(shí)或方法不是作為“過(guò)程”而是作為“結(jié)果”直接拋給學(xué)生長(zhǎng)此以往，越“拋”越多，學(xué)生頭腦中很難形成一個(gè)有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，結(jié)果成績(jī)分化，出現(xiàn)大量差生反之，插入環(huán)節(jié)(1)(4)，則環(huán)節(jié)(5)的“構(gòu)造參照體”(這是全課的關(guān)鍵)就十分自然從“目測(cè)”到“猜想

9、”，這是“發(fā)現(xiàn)”；從“猜想”到“實(shí)驗(yàn)”，這是強(qiáng)化“發(fā)現(xiàn)”，而環(huán)節(jié)(5)則是內(nèi)化這種先發(fā)現(xiàn)后內(nèi)化的過(guò)程又是在教師指導(dǎo)下進(jìn)行的，教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性十分融洽“目測(cè)”、“大膽猜想”、“實(shí)驗(yàn)”等環(huán)節(jié)，所有差生都有發(fā)言權(quán)，優(yōu)生也不乏味；從“實(shí)驗(yàn)”到“構(gòu)造參照體”，隨流而下，直闖關(guān)鍵(出現(xiàn)參照體)，終達(dá)彼岸(得定理)最后“談?dòng)洃洝?，生?dòng)活潑，乃至升華；“小結(jié)提問(wèn)”，余味不盡數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)是思維過(guò)程的教學(xué)，“直截了當(dāng)”則掩蓋了“思維過(guò)程”，把知識(shí)和方法不是作為思維過(guò)程暴露在學(xué)生面前，而是作為結(jié)果拋給學(xué)生，這種“奉送”的做法勢(shì)必回避了數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)長(zhǎng)此以往，學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)很難得到提高最后，還要說(shuō)明

10、一點(diǎn)，“構(gòu)造參照體”是本課的難點(diǎn)，本教案采用了“細(xì)沙實(shí)驗(yàn)”，也就回避了“構(gòu)造性困難”，因此本教案是為普通班設(shè)計(jì)的而“好班”就不應(yīng)該回避構(gòu)造困難，何況“構(gòu)造參照體”是運(yùn)用祖暅原理的關(guān)鍵，也是學(xué)習(xí)這一段教材(從柱體開(kāi)始)的關(guān)鍵所在因此，建議根據(jù)學(xué)生情況補(bǔ)充下述內(nèi)容：參照體與祖暅原理為了利用祖暅原理計(jì)算某個(gè)幾何體的體積，常要構(gòu)造另一個(gè)幾何體，此幾何體必須符合兩個(gè)條件：(1)它的計(jì)算公式是已知的；(2)它符合祖暅原理的條件，即該幾何體與原幾何體能夾在兩個(gè)平行平面之間，且用平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面去截它們時(shí)，截得的截面面積總相等為了下面的敘述方便起見(jiàn)，把符合這兩個(gè)條件的幾何體叫做原幾何體的參照體，或簡(jiǎn)稱參照體用祖暅原理求幾何體的體積，關(guān)鍵在于構(gòu)造參照體軸，求該旋轉(zhuǎn)體的體積解 將此旋轉(zhuǎn)體放在平面上(圖5)，用與平面平行且相距h的平面去截，得這說(shuō)明參照體的截面可以是一個(gè)矩形，其一邊長(zhǎng)，另一邊長(zhǎng)為變量h于是得例2 求半徑為r的半球的體積例3 汽車內(nèi)胎或游泳時(shí)用的救生圈是旋轉(zhuǎn)體(圖6)，它的母線是半徑為r的圓，圓心與旋轉(zhuǎn)軸mn的距離等于d(dr)，能否用構(gòu)造參照體的思想方法去尋求它的體積公式？解 取環(huán)體的上半部研究，它的下底面是圓環(huán)(圖6，外半徑=d+r，內(nèi)半徑=dr)，上底是半徑為d的圓周(面積為零)，