畢業(yè)設(shè)計論文解析幾何問題的技巧和方法

1、解析幾何問題的技巧和方法skills and methods of analytic geometry problems論文作者： 專業(yè)： 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學指導(dǎo)老師： 完成時間： 2010 年 10 月 29 日摘 要 解析幾何的優(yōu)點在于樹形結(jié)合而又動態(tài)的處理問題，其解題思路有很強的程序性，但是，盲目操作往往會帶來繁瑣的討論或復(fù)雜的計算。本文通過對一些典型例題的分析，介紹解析幾何中的一些常見的解題技巧。abstract the advantages of analytic geometry are the combination of the tree and the form, its dyn

2、amic problem solving and strong procedural thinking, however., blind operation will often bring about trival discussion or complicated calculation. we will based on the analysis of some typical examples to introduce some common analytic geometry of problem solving skills. 關(guān)鍵詞：方程; 幾何圖形; 曲線; 坐標平面；轉(zhuǎn)化;不

3、等式keywords: equation; geometry; curve; coordinate plane; conversion; inequality目 錄1、 引言（ 4 ）2、 正文（ 4 ）2.1 解析幾何中有關(guān)幾何量的計算和證明問題 （ 4 ）2.1.1 靈活運用方程思想（ 4 ）2.1.2 靈活運用平面幾何和曲線本身的知識（ 5 ）2.1.3 選擇曲線方程的形式和恰當?shù)脑O(shè)置坐標系 （ 5 ）2.2 解析幾何中的最值問題和不等式證明（ 6 ）2.2.1 轉(zhuǎn)化為求代數(shù)或三角函數(shù)的最值和值域 （ 6 ）2.2.2 轉(zhuǎn)化為討論一元二次方程的根的性質(zhì) （ 6 ）2.2.3 利用常用基本

4、不等式（如平均值不等式、柯西不等式等） （ 7 ）2.2.4 利用曲線的定義、性質(zhì)及平面幾何的知識 （ 8 ）3、 總結(jié)（ 8 ）4、參考文獻 （ 9 ）1、引言在解析幾何學習中，許多同學對所學的基本概念已經(jīng)理解，基本公式已經(jīng)熟練，但是拿到題目時卻感覺無從入手。其實原因很簡單：一是在學習中沒有注意總結(jié)歸納基本題型及其解法；二是對老師歸納過的一些解法未能內(nèi)化，成為自己的東西；三是缺乏對解題策略的探究。本文就對每一種方法舉一個例子來加深讀者對這些解題技巧的利用的印象。2、正文解析幾何需要的是學生的基本運算能力，所以解析幾何考題學生普遍感覺較難對付。其實，我們對待解析幾何的題目只要用適合題目的方法去

5、做就會很簡單，關(guān)鍵就是怎么用最適合題目的方法，這就需要我們自己多積累經(jīng)驗，時?？偨Y(jié)歸納基本題型和解法，讓學到的知識完完全全變成自己的東西。解析幾何的解題技巧很多，下面我就解析幾何中的有關(guān)幾何量的計算與證明和最值問題與不等式證明做一個簡單的歸納總結(jié)。2.1 解析幾何中有關(guān)幾何量的計算和證明問題2.1.1 靈活運用方程思想例1 已知拋物線及定點,，是拋物線上的點。設(shè)直線、與拋物線的另一個交點分別為，。求證：當在拋物線上變動時（只要，存在且）,直線恒過一個定點，并求這個定點的坐標。解設(shè)（，），（，），（，），則可求得的直線方程為.的直線方程為.的直線方程為. 將,分別代入，得，消去得，整理成的方程形

6、式，得 將 和 比較知直線過定點（，）本題通過利用輪換對稱的方法簡化了方程的計算，并且對、也是只設(shè)不求，這樣就大大減少了運算過程。2.1.2 靈活運用平面幾何和曲線本身的知識例2 如圖1點是橢圓上一點，它到其中一個焦點的距離為，為的中點，表示原點，則=（）。a. b. c. d. 解 設(shè)橢圓的另一個焦點為，則 ，而,所以. 又注意到，各為、的中點， 所以是的中位線， 1所以.本題靈活的運用了橢圓的第一定義，求坐標再確定的值，而只需求出的長度就可以求出的值。2.1.3 選擇曲線方程的形式和恰當?shù)脑O(shè)置坐標系例3 設(shè)為拋物線頂點，為焦點且為過的弦。已知，求的面積。解以為原點，為軸建立直角坐標系。因為

7、，為焦點，故拋物線的方程為，設(shè)直線的參數(shù)方程為 ，為的傾斜角，代入拋物線方程，整理后得設(shè)其兩根為，則 故，于是 當已知條件或結(jié)論涉及過一定點的弦的長度時，可考慮該弦的方程用直線的參數(shù)方程表示，利用參數(shù)的幾何意義和韋達定理便很容易求出弦的長度。2.2 解析幾何中的最值問題和不等式證明2.2.1 轉(zhuǎn)化為求代數(shù)或三角函數(shù)的最值和值域例4 若橢圓與拋物線有公共點，則實數(shù)的取值范圍是多少？解 由可設(shè)，代入得，故因為，所以，故。本題利用極坐標將問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)，然后利用正弦函數(shù)的取值范圍求出的取值范圍。2.2.2 轉(zhuǎn)化為討論一元二次方程的根的性質(zhì)例5 已知,滿足，求的最大值與最小值。解 令,則,原問題轉(zhuǎn)

8、化為：在橢圓上求一點，使過該點的直線斜率為，且在軸上的截距最大或最小，由圖2知，當直線與橢圓相切時，有最大截距和最小截距。 由，得，故得最大值為， 2最小值為。 像本題中對于二元函數(shù)在限定條件下求最值問題，常采用構(gòu)造截距的方法來求。2.2.3 利用常用基本不等式（如平均值不等式、柯西不等式等）例6 給定橢圓,求與這個橢圓有公共交的雙曲線，使以它們的交點為頂點的四邊形的面積最大，并求出相應(yīng)的四邊形的頂點坐標。解 設(shè)雙曲線方程為，由已知條件，解方程組 得橢圓與雙曲線的交點坐標滿足，。因橢圓與雙曲線關(guān)于軸和軸對稱，所以以它們的交點為頂點的平行四邊形是矩形，從而其面積，等號成立當且僅當，故所求的雙曲線

9、方程為從而相應(yīng)的四邊形的四個頂點坐標為,。本題求最大面積時用到了均值不等式，并且考慮到均值不等式等號成立的情況求出了最大面積時m,n,a,b之間的關(guān)系，進而就求出了頂點坐標。2.2.4 利用曲線的定義、性質(zhì)及平面幾何的知識例 7 求函數(shù)的最大值。解 由于，可知表示拋物線上的點到兩點和的距離的差。如圖3，因在拋物線的下方， 在拋物線的上方，故直線與拋物線相交，交點由方程組 a1b2確定。消去得，因常系c數(shù)小于零，故方程必有負實根，設(shè)負實1 2 3根對應(yīng)的點為，則 3,當且僅當p與c重合時等號成立，故的最大值為。本題靈活的將問題轉(zhuǎn)化到拋物線上求點的距離，技巧性高，做這類題目需要仔細觀察題目里函數(shù)的

10、性質(zhì)特點，并且要很好的掌握各類曲線的定義和性質(zhì)。3、總結(jié)上面僅將解析幾何中的有關(guān)幾何量的計算證明和最值問題及不等式的證明的一些題型及其解法作了介紹，其他題型及其解法其實也可仿點類似的方法進行歸納總結(jié)。解析幾何是一門用代數(shù)方法研究幾何問題的一門學科，由于其研究方法的獨特性，因此，學習中需要同學們注意總結(jié)，善于歸納，加強解題策略的探究，對所學的知識就會融會貫通，解題時就會左右逢源。參考文獻1 書籍。張垚，沈文選.奧林匹克數(shù)學中的真題分析m. 湖南：湖南師范大學出版社,2005.7:115-130.2書籍。 葉立軍.數(shù)學方法論m.杭州:浙江大學出版社,2008.6:153-154.3 期刊。薛黨鵬，解析幾何問