電壓穩(wěn)定奇異值分解

1、電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定靜態(tài)分析1 非線性規(guī)劃法2 奇異值分解法3 特征值分析法4 靈敏度分析5分岔分析法 奇異值分解法： 奇異值分解是有關(guān)矩陣問題的強(qiáng)有力工具，已在眾多領(lǐng)域中得到應(yīng)用。該方法由潮流雅克比矩陣的行列式符號(hào)決定所研究系統(tǒng)是穩(wěn)定的或不穩(wěn)定的，潮流雅克比矩陣的最小奇異值作為靜態(tài)電壓穩(wěn)定性的指標(biāo)，最小奇異值大小可表示運(yùn)行點(diǎn)和靜態(tài)電壓穩(wěn)定極限間的距離。奇異值分解法用于電力系統(tǒng)分析是基于以下定理和定義。定理4.1 設(shè)A ，則存在單位正交矩陣U和V,使得 （4-28）式中， 且 Rnm 000AUVT),.,(2,1rdiag. 0min21maxr4.3.2奇異值分解法 定義4.1 設(shè)A ,有奇異

2、值分解式（4-28），則稱 為A的奇異值 ，稱U的列向量為A的右奇異向量，V的列向量為A的左奇異向量。 A的右奇異值向量為 的單位正交右特征向量，左奇異特征向量為 的單位正交左特征向量。如果A有n個(gè)奇異值，則 也有個(gè)奇異值，且A和 的非零奇異值是相同的，非零奇異值的個(gè)數(shù)為A的秩。 對(duì)矩陣A進(jìn)行奇異值分解： （4-29） 其中，包含零奇異值，左右奇異向量間的關(guān)系如下： （4-30） （4-31） （4-32） （4-33） Rnm ) 0(2121nrrnAATAATTATATUVAnmivAii,min, 2 , 1,uimnmivAnmiuvAiTiiiT,1,min,0,min,2,1,n

3、nmiAui, 1,min, 04.3.2奇異值分解法 因此，對(duì)于線性方程組 ，A是非奇異的，而 。則對(duì)矩陣A進(jìn)行奇異值分解后，系統(tǒng)的解X可以寫成: （4-34）可以看出，如果奇異值 足夠小，則矩陣A或向量b的微小變化，會(huì)引起X的大的變化。定理4.2 設(shè)A ，有奇異值 那么 （4-35）令 則有若假設(shè) （4-36）nnRAbAX ,nRbbVUbUVbAXniiTiiT11)(iRnm. 0min21maxrniinFA12222212), 2 , 1(rjuvETjjjrrEEEA2211112211rrEEEA4.3.2奇異值分解法 可以證明，就矩陣A的范數(shù)F而言 ， 是最接近A的秩為r-

4、1的矩陣，類似的 ，是最接近A的秩為r-2的矩陣，以此類推。 雅可比矩陣J 是電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定靜態(tài)分析方法中的重要矩陣，將上述奇異值分解理論應(yīng)用于改矩陣，可得到，在正常情況下，雅可比矩陣非奇異， 0;當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到靜態(tài)穩(wěn)定極限時(shí)，雅可比矩陣奇異， =0. 在無窮多個(gè)能使雅可比矩陣降階的矩陣中，按照式（4-36）構(gòu)造的降階矩陣 是就范數(shù)而言最接近原矩陣J，且有 （4-37）可見， 可以反映雅可比矩陣接近奇異的程度。 矩陣的奇異程度還可以用條件數(shù)來表示，滿秩矩陣的條件數(shù)為A222211 rrEEEARnm minminJminFJJmin4.3.2奇異值分解法 （4-38）當(dāng)矩陣A奇異時(shí)，則 =0 且

5、con(A)為無窮大；若con(A)接近1，則A遠(yuǎn)離奇異，如果con(A)越大，則更接近奇異。因此，若con(A)con(B),則認(rèn)為A比B更奇異。1. 電力系統(tǒng)模型 假設(shè)一個(gè)電力系統(tǒng)，除平衡節(jié)點(diǎn)外，系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)總數(shù)為n,m是電壓可調(diào)的節(jié)點(diǎn)數(shù)，則系統(tǒng)的潮流方程可描述為 P(,U)=0 Q(,U)=0 (4-39) 式中， 表示有功平衡； 表示無功平衡；和U表示節(jié)點(diǎn)電壓的角度和幅值。將方程組線性化為minmax)(Aconmin,21nPPPP,21nQQQQ4.3.2奇異值分解法 (4-40)式中，矩陣J為完全雅可比矩陣；子矩陣 為潮流方程偏微分形成的雅可比矩陣的子陣。 1）PQ可解耦 即有功P

6、和角度相關(guān)，與電壓U無關(guān)；無功Q和電壓U相關(guān)，與角度無關(guān)，則有 (4-41) (4-42) (4-43) UJJJJUJQPQUQPUPQUQPUpJJJJ、QPUJJQUP00UJQJPQUP4.3.2奇異值分解法 在系統(tǒng)滿足解耦條件下，式（4-42）可用于描述靜態(tài)功角問題，如果 非奇異，則系統(tǒng)功角穩(wěn)定；式（4-43）可用于描述節(jié)點(diǎn)電壓對(duì)注入的無功功率的靈敏度，可作為衡量系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的一個(gè)指標(biāo)。 2）PQ不可解耦 當(dāng)系統(tǒng)處于重載情況，則無功功率與角度之間的相互作用不可忽視，則PQ不可解耦。在這種情況下，可引入簡(jiǎn)化雅可比矩陣。假設(shè)式（4-41）中P=0，可得到 (4-44)可定義簡(jiǎn)化雅可比矩

7、陣： (4-45)式（4-44）可以表示節(jié)點(diǎn)電壓幅值與無功功率微增變化之間的線性關(guān)系。由分塊矩陣?yán)碚摚╯chur公式），完全雅可比矩陣J的行列式值可用下式計(jì)算： (4-46)PJQ0UJJQUP00PUPQQURJJJJJ1)det()det()det(RPJJJ4.3.2奇異值分解法 可以看出，當(dāng)矩陣 或矩陣 奇異時(shí)，完全雅可比矩陣J也奇異。由于 可反映系統(tǒng)靜態(tài)功角穩(wěn)定問題，當(dāng)系統(tǒng)沒有功角穩(wěn)定問題時(shí)， 非奇異，即 0，因此，只有當(dāng)降階雅可比矩陣 奇異時(shí)，完全雅可比矩陣J奇異， 的奇異性可用來指示系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性。 若對(duì)矩陣J進(jìn)行奇異值分析，可得 (4-47)其中，奇異值向量 為規(guī)格化矩陣V和

8、U 的第i列， 為正的實(shí)奇異值 的對(duì)角矩陣， 。若其中一個(gè)奇異值接近0，系統(tǒng)臨近崩潰點(diǎn)，系統(tǒng)響應(yīng)應(yīng)由最小奇異值 和它相應(yīng)的奇異向量 所決定，可得 (4-48)PJRJPJPJPJPJRJmniTiiiTUVUVJ21iiUV和imn221mn2m-n2m-n2UV、QPVUUTm-n2m-n21-m-n24.3.2奇異值分解法 其中，并滿足規(guī)格化： （4-49） （4-50）令 = （4-51）將式（4-49）和（4-50）代入（4-48），可得 （4-52） 由式（4-52）可以看出，當(dāng)系統(tǒng)接近于電壓崩潰點(diǎn)，最小奇異值非常小，因此，很小的功率波動(dòng)將可能引起電壓很大的變化。 ,11m-n2Tm

9、nnUUU，TmnnQQPPV,11m-n2nimniiiU11221nimniiiQP11221QPm-n2Vm-n2m-n2UU4.3.2奇異值分解法 2.奇異值分解技術(shù)在電壓穩(wěn)定分析中的應(yīng)用 如前所述，矩陣的奇異性可以通過條件數(shù)來度量。隨著運(yùn)行條件的變化，雅可比矩陣的最小奇異值是和條件數(shù)的變化相一致的。因此，完全雅可比矩陣和降階雅可比矩陣的最小奇異值都可以作為電壓穩(wěn)定性的指標(biāo)。有關(guān)左奇異值向量 以及右奇異值向量 在電壓穩(wěn)定分析中的應(yīng)用說明如下： （1） 中最大的元素值相當(dāng)于有功功率和無功功率注入變化最靈敏的方向，因此左奇異值向量可以得到系統(tǒng)中最危險(xiǎn)的負(fù)荷和發(fā)電量的變化模式；在（4-51）

10、中， 提供了節(jié)點(diǎn)處功率注入變化的典型模式；左奇異值向量還可以提供區(qū)域斷面潮流對(duì)電壓穩(wěn)定性的影響，以及可選擇出系統(tǒng)的弱傳輸線。 （2） 中最大的元素值對(duì)應(yīng)最靈敏的節(jié)點(diǎn)電壓，因此，右奇異值向量可用于識(shí)別系統(tǒng)中的弱節(jié)點(diǎn)以及臨界區(qū)域，例如，可定義節(jié)點(diǎn)強(qiáng)弱程度指標(biāo) 在式（4-52）中， 提供了節(jié)點(diǎn)電壓和角度改變的典型模式。m-n2Um-n2Vm-n2Vm-n2Vm-n2UjLC);, 2 , 1(2mnjUmnjm-n2U4.3.2奇異值分解法 3. 實(shí)例 以IEEE39節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)為例。系統(tǒng)接線圖如圖4.9所示。 維持發(fā)電機(jī)和其他節(jié)點(diǎn)負(fù)荷不變，增加7號(hào)節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷水平，負(fù)荷增長(zhǎng)方式采用恒功率因數(shù)的負(fù)荷增長(zhǎng)方式 ， 指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果見表4.3.可以看出，隨著負(fù)荷的加重，大多數(shù)PQ節(jié)點(diǎn)的LC指標(biāo)都增大，其中，由58號(hào)節(jié)點(diǎn)所構(gòu)成的區(qū)域內(nèi)的LC指標(biāo)都超過了7.5，而最弱節(jié)點(diǎn)7號(hào)節(jié)點(diǎn)的LC 指標(biāo)甚至超過了9.5，7號(hào)節(jié)點(diǎn)已經(jīng)很接近電壓臨界點(diǎn)。 從表4.4中也可以看出，弱區(qū)域內(nèi)的實(shí)際電壓水平已