論述向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用l

1、論述向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用高中新教材新增了平面向量的內(nèi)容并作為獨立的章節(jié)來學(xué)習(xí)后，就成為高考的一個新內(nèi)容，也是高考的熱點。平面向量在圖象平移、定比分點、解三角形中有很重要的作用。除此之外在代數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何中應(yīng)用都很廣泛，下面筆者就此進行探討。向量的引入為在高中數(shù)學(xué)貫徹“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)理念提供一種嶄新的方法。向量具有很好的“數(shù)形結(jié)合”特性。它是聯(lián)系代數(shù)關(guān)系與幾何圖形的最佳紐帶。它可以使圖形量化，使圖形間的關(guān)系代數(shù)化。向量的應(yīng)用1. 利用向量證明等式對于某些恒等式證明，形式中含有或符合向量的坐標運算形式，可運用向量的數(shù)量積定義和向量坐標運算來證明。例1. 已知、是任意角，求證：。證明：在

2、單位圓上，以x軸為始邊作角，終邊交單位圓于a，以x軸為始邊作角，終邊交單位圓于b，有所以又有即成立。2. 利用向量證明不等式當求解問題中（式子）含有乘積或乘方時，可巧妙地利用向量數(shù)量積坐標表達式：，構(gòu)造向量解之。例2. 是正數(shù)。求證：。證明：設(shè)所以。由數(shù)量積的坐標運算可得：。又因為所以成立。3. 利用向量求值對于求值問題，巧妙地運用向量的數(shù)量積定義構(gòu)造等量關(guān)系，求出所需量的值。例3. 已知，求銳角、。解：由條件得設(shè)則由即則即同理（因為、為銳角）。4. 利用向量求函數(shù)值域巧妙構(gòu)造向量，可以解決條件最值問題，特別是某些含有乘方之和或乘積之和式子的條件最值問題，用向量證明更有獨特之處。例4. 若，求

3、的最小值。解：構(gòu)造向量由即所以當且僅當時，有最小值。例5. 設(shè)x是實數(shù)，求的最小值。解：因為故可設(shè)所以當時等號成立。所以當時，取得最小值。5. 利用向量解決解析幾何問題平面向量和平面解析幾何是新老教材的結(jié)合點，也是近幾年高考所考查的熱點，解此類題應(yīng)注重從向量數(shù)量積的定義和向量的加減法的運算入手，還應(yīng)該盡量聯(lián)系向量與解析幾何的共同點，綜合運用解析幾何知識和技巧，使問題有效解決。例6. 過點，作直線交雙曲線于a、b不同兩點，已知。（1）求點p的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。（2）是否存在這樣的直線，使？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由。解：（1）設(shè)的方程為，代入得當時，設(shè)則設(shè)，由，再將代入得（*）時，滿足（*）式。當斜率不存在時，易知滿足（*）式，故所求軌跡方程為，其軌跡為雙曲線。當時，與雙曲線只有一個交點，不滿足題意。（2）因為，所以平行四邊形oapb為矩形，oapb為矩形的充要條件是，即。當k不存在時，a、b坐標分別為，不滿足上式。又化簡得此方程無實數(shù)解，故不存在直線使oapb為矩形。所以，不存在滿足條件的直線l。無論在初等代數(shù)、初等幾何還是三角中,利用向量的性質(zhì)和運算法則,構(gòu)造合理的向量,對證明不等式而言,又多了一個有力工具。這不