非線性結(jié)構(gòu)有限元分析

1、在工程結(jié)構(gòu)的分析計(jì)算中，從本質(zhì)上講，所有力學(xué)問(wèn)題都是非線性的，線性假設(shè)只是實(shí)際問(wèn)題的一種簡(jiǎn)化。對(duì)于固體或結(jié)構(gòu)力學(xué)非線性問(wèn)題來(lái)說(shuō),有限元法是一種有效的數(shù)值方法。通常把結(jié)構(gòu)非線性問(wèn)題分為兩大類：幾何非線性和材料非線性。這主要包括三個(gè)方面：一、一、是在大位移問(wèn)題中，盡管位移很大，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變?nèi)匀徊淮?，屬于大位移小?yīng)變問(wèn)題，材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系仍是線性的，只是應(yīng)變-位移關(guān)系是非線性的。物體經(jīng)歷大的剛體位移和轉(zhuǎn)動(dòng)，固連于物體坐標(biāo)系中的應(yīng)變分量仍假設(shè)為小量。二、二、是非線性效應(yīng)由應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系的非線性所引起，位移分量仍假設(shè)為小量，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是非線性的，即材料非線性問(wèn)題；最一般的情況是位移、轉(zhuǎn)動(dòng)和應(yīng)變都不再

2、是小量，不但位移-應(yīng)變是非線性的，而且應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系也是非線性的，即雙重非線性問(wèn)題。 對(duì)于結(jié)構(gòu)的幾何非線性和材料非線性分析，可以歸結(jié)為外力與內(nèi)力的平衡方程，它是關(guān)于節(jié)點(diǎn)位移的非線性方程；非線性的穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)溫度場(chǎng)計(jì)算歸結(jié)為熱流平衡方程，它是關(guān)于節(jié)點(diǎn)溫度的非線性方程；因此非線性分析的有限元計(jì)算最終歸結(jié)為非線性方程求解。非線性分析簡(jiǎn)而言之就是：將系統(tǒng)的平衡方程式根據(jù)系統(tǒng)的非線性特性不斷地進(jìn)行修正，然后求平衡方程的增量解。如果是幾何非線性，則在新的一步增量求解之前，坐標(biāo)系進(jìn)行修正，然后去求解方程，并計(jì)算幾何非線性對(duì)剛度陣和載荷陣的修正。若為材料非線性，則是將等效剛度陣和載荷陣不斷地進(jìn)行修正，然后進(jìn)行求

3、解。 1. 修正的牛頓迭代法。它與完全的牛頓法的不同在于迭代過(guò)程中系數(shù)矩陣保持不變，因此不需要重新形成和分解剛度陣，從而大大減少了計(jì)算量。但是這樣又帶來(lái)了收斂速度慢和發(fā)散問(wèn)題，對(duì)此程序中加入了加速收斂和發(fā)散處理的措施。這些措施并不明顯地增加求解的時(shí)間，但卻會(huì)對(duì)修正的牛頓迭代法的性能有所改進(jìn)。在程序中，對(duì)增量方程求解的平衡迭代采用修正的牛頓迭代法或BFGS法。2. BFGS法。又稱矩陣修正迭代，是擬牛頓法的一種。它實(shí)際上是完全的牛頓法與修正的牛頓法之間的一種折中方法。因?yàn)樗诘^(guò)程中，并不重新形成程序?qū)缀畏蔷€性的考慮可采用完全的拉格朗日公式或改進(jìn)的拉格朗日公式。在非線性動(dòng)態(tài)分析中采用隱式時(shí)間

4、積分（Newmarli法和Wilson- 法）或顯式時(shí)間積分（中心差分法）的方法。隱式時(shí)間積分通常用來(lái)分析結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題，顯式時(shí)間積分主要用來(lái)分析波傳布現(xiàn)象。 剛度陣，但也不保持不變，而是用某種方法對(duì)剛度陣（確切地說(shuō)是對(duì)它的逆）進(jìn)行修改，從而求解。它在有限元分析遇到的許多問(wèn)題中，具有相當(dāng)好的收斂性，尤其在復(fù)雜材料的非線性分析和動(dòng)態(tài)分析中推薦采用BFGS法。 dvuuDdvuumRudsqudvqudvTvTvTsTsvTvTv00 CuBuNu一、線性問(wèn)題的基本方程一、線性問(wèn)題的基本方程由復(fù)雜結(jié)構(gòu)受力平衡問(wèn)題的虛功方程有:（10-1）上式左端為內(nèi)力的虛功，右端為外力的功。 由于： 式中 u為單

5、元體內(nèi)的位移； u為節(jié)點(diǎn)位移； N形函數(shù)陣； C彈性系數(shù)矩陣。代入上式并整理后得線性問(wèn)題有限元基本方程 uDuMRuK 外載荷陣0RdsqNdvqNRssTvvT次導(dǎo)數(shù)；為節(jié)點(diǎn)位移對(duì)時(shí)間的二u次導(dǎo)數(shù)。為節(jié)點(diǎn)位移對(duì)時(shí)間的一u（10-2）阻尼矩陣質(zhì)量矩陣剛度矩陣dvNDNDdvNmNMdvBCBKvTvTvT（10-3）（10-4）（10-5）（10-6） 其中：RuKuDuMtttttttt RuK 對(duì)于靜力問(wèn)題方程簡(jiǎn)化為：（10-7）tt 對(duì)動(dòng)力分析問(wèn)題，在 時(shí)的控制平衡方程為：（10-8） 解此方程也用隱式時(shí)間積分，顯式時(shí)間積分或振形迭加 法求解。 WdvSttoovttTtto Rudsq

6、udvquWttoossttoTovvttoTtto二、非線性問(wèn)題的基本方程二、非線性問(wèn)題的基本方程 對(duì)于非線性問(wèn)題通常不能用一步直接求解方案，必須分成若干步加載,按各個(gè)階段不同的非線性性質(zhì)逐步求解，即增量求解方案。 1.增量形式的平衡方程： 已知設(shè)：0，t，2t的位移和應(yīng)力（各載荷步的） 要求出：t+t步時(shí)的位移和應(yīng)力。 全拉格朗日（TL）公式 以t=0時(shí)刻狀態(tài)為度量基準(zhǔn)，求t+t時(shí)刻的值。 由虛功方程：（10-9）（10-10） 其中： SSStototto ototto uuuototto oooe oooCS 其中 為彈塑性關(guān)系矩陣。利用（10-11）-（10-15），注意到： ，方程

7、（10-9）可改寫成增量形式：Cootto 寫成增量形式 ：（10-11）（10-12）（10-13）（10-14）增量應(yīng)力、應(yīng)變之間的關(guān)系有：（10-15） WdvSedvSdvCdvdvdvttoovtoToovtoToovooTotoTooToovotoTo ovtoTottoovtoToovooTodvSeWdvSdvee WdvSttttvtttTttt線性化處理后：（10-16）（10-17）此為增量形式的全拉格朗日（TL）方程。 改進(jìn)的拉格朗日（UL）公式與TL公式推導(dǎo)類似，只是它以t=t時(shí)刻（即變形后）的狀態(tài)為度量基準(zhǔn)。由虛功方程： （10-18） RudsqudvquWttt

8、TtsstttTtvvtttTtto SSttttt tttt uutttt ttte tttCS其中：增量關(guān)系為：（10-19）（10-20） （10-21） St t ut式中： ， ， 為增量應(yīng)力、應(yīng)變和位移； t 為t時(shí)刻的Canchy應(yīng)力張量。 t et t 將 分成線性主部 和非線性部分 則有：應(yīng)用增量應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系（10-22）（10-23） WdvdvedvCttttvtTttvtTttvttTt ，ett ett tvtTtttttvtTttvttTtdveWdvdveCe代入（10-18）則變?yōu)椋哼M(jìn)行線性的處理：（10-24）（10-25） 此為改進(jìn)的拉格朗日（ UL ）公

9、式。三、非線性問(wèn)題有限元基本方程三、非線性問(wèn)題有限元基本方程有了方程（10-19），（10-25）式，就可以按通常的方法進(jìn)行有限元離散，從而得到非線性問(wèn)題的有限元基本方程。（10-25）nkkikinkkitkituNuuNu11； kiikitituNuuNu；nkkittkittnkkitkitnkkikixNxxNxxNx11100，取位移插值函數(shù)為：寫成矩陣形式：（10-26）（10-27）其中：Nk為插值函數(shù)，N為形函數(shù)矩陣；kikituu ， 為k點(diǎn)i方向上t時(shí)刻的位移和位移增量； n為單元節(jié)點(diǎn)數(shù)。取坐標(biāo)變換為：（10-28）kittxkix0kitx其中： ， ， 為節(jié)點(diǎn)k，i方

10、向上在0，t， t+t時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值。 FRuKKtttKNLtLt0000dvBCBKLtvTLtLt00000將（10-27）， （10-28）代入TL方程（10-17）式可得 ：其中：（10-29）（10-30） dveCevT0000為線性部分剛度矩陣，由 積分得到； dveCevT0為單元內(nèi)部變形功； e 為變形增量； uBe 為應(yīng)變位移關(guān)系； eC為應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系； dvBCBKvTL0 uKudvuBCBudvuBCBudvuBCuBdveCeLTvTTvTTvTvT0000 FuKFuuKuLTLT（10-31）（10-32）令：由單元內(nèi)部變形功等于作用在節(jié)點(diǎn)上得單元外力功即：

11、（10-33） dvBSBKNLvtTNLtNLt0000 dvSvtT000其中： 為非線性部分剛度矩陣，由 積分得到； uMFRuKKtttttKNLtLt 000 為與應(yīng)力等效的節(jié)點(diǎn)力矩陣， 由 積分得到； 為載荷陣，由 項(xiàng)推倒得到 分別為線性和非線性應(yīng)變位移關(guān)系矩陣； 為應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系陣； 為應(yīng)力矩陣； 為應(yīng)力分量。 dvSBFvtLtt0000 dvSevtT0000Rtt 0Wtt 0NLtLtBB00，C0 St0 St0同理，對(duì)于動(dòng)力學(xué)問(wèn)題， TL形式的非線性有限元基本方程，只須在右端加上慣性力項(xiàng)，即：（10-34） FRuKKttttKNLttLtt 為線性剛度矩陣部分； 為非

12、線性影響部分剛度矩陣； 為與應(yīng)力等效的節(jié)點(diǎn)力陣。 dvBCBKLtttvtTLttLtt dvBBKNLtttvtTNLttNLtt dvBFtvtTLtttt uMFRuKKttttttKNLttLtt 同理，對(duì)改進(jìn)拉格朗日UL形式的非線性增量有限元基本方程：（10-35）其中：對(duì)于動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的UL非線性有限元基本方程為：（10-36）方程 （10-29）， （10-34） ，（10-35） ，（10-36）即為非線性靜力，動(dòng)力分析的有限元基本增量方程。如果采用適當(dāng)材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系矩陣。 TL和UL公式可以得到同樣的計(jì)算結(jié)果。一般UL公式計(jì)算效率更高些。這兩個(gè)方程對(duì)各類單元，各種材料模式都

13、是適合的。 FRuKKtttNLtLt0000 FRuKKttttNLttLtt0 dvBCBKtvTtLt00 SCCS1，由非線性有限元基本方程中的增量形式：（10-37）（10-38）ULTL這些公式適用于各類單元和各類材料模式，若單元類型相同，材料模式不同，在運(yùn)算中體現(xiàn)在剛度陣和應(yīng)力計(jì)算中用不同的C： 即： （10-39）（10-40）式中C陣對(duì)不同材料具有不同形式和數(shù)值，故對(duì)材料模式討論，歸結(jié)為對(duì)C陣的建立的討論。 C Tzxyx Tzxyx 66666261262221161211aaaaaaaaaC 線彈性材料：線彈性材料： 廣義虎克定律：其中：a11a66中的所有元素都是常量就

14、是為線性的。yxxaa1211 對(duì)于線性的 為應(yīng)變的線性組合；個(gè)對(duì)立常數(shù)；只有21jiijaa 32312166119aaaaa，個(gè)獨(dú)立常數(shù)32312166112aaaaa，個(gè)獨(dú)立常數(shù) 極端各向異性： 線性材料 正交各向異性： 各 向 同 性： 即： ，E。xyzyxyxxGEEE2)()21)(1 ()1 ()1 (22)(/1)(/1)(/1yxzxzxyxzyxxEEE2 / )21 (2 / )21 (2 / )21 (00111zxxzxxE)21)(1 (一、各向同性的一、各向同性的C矩陣：矩陣：（10-41） 1 C 1323123322221113333222111211332

15、221111/1/1/100/1/1/1GGGEEEEEEEEEC二、正交各向異性材料二、正交各向異性材料C-1陣：陣：（10-42）如果在物體內(nèi)每一點(diǎn)有三個(gè)互相正交的彈性對(duì)稱面，在每個(gè)面兩邊的對(duì)稱方向上彈性相同，但在這三個(gè)方面上彈性并不相同，這種物體稱為正交各向異性體，煤就是屬于這一種。2 / )21 (2 / )21 (2 / )21 (00111 )21)(1 (EC（10-43） TEC21三、各向同性熱彈性材料：三、各向同性熱彈性材料： 認(rèn)為：E，是隨溫度的變化而變化的，所以它是一種非線性材料模型。在某一特定溫度下的C陣為： 其中：應(yīng)力計(jì)算必須考慮溫度對(duì)應(yīng)變的影響。 即： ttttT

16、T00，其中 為溫度變化值。（10-44） GGGGKGKGKGKGKGKGKGKGKC00343232323432323234四、土壤，巖石材料模式：四、土壤，巖石材料模式：1. 土壤，巖石視為各向同性非線性材料。)21 (3EK)1 (2EG 考慮到土壤和巖石的抗壓性能與體積壓縮的應(yīng)變（ev）有關(guān)，所以材料C陣可用體積模量K和剪切模量G表示更方便些，由于體積模量 ，剪切模量 所以C陣可用K和G來(lái)表示為：計(jì)算時(shí)須按單元所計(jì)算點(diǎn)上的體積應(yīng)變的大小從曲線（圖10-1）上用線性插值找出相應(yīng)的K，G值。然后形成對(duì)應(yīng)于該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)的C陣。從而再計(jì)算剛度矩陣和應(yīng)力。evb 體積變形ev10KL加載ev

17、bev10Kuevevbev10G加載圖 10-1其中，K，G是體積壓縮應(yīng)變ev的函數(shù)，不是常數(shù)圖 10-2e O A C B euecu c OA=E0e(e0)OC曲線其中：1 1320ccceeCeeBeeAEe) 12() 132()2(2230230pppppEEppEEAsu2. 混凝土材料模式：混凝土：i）單向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。 ii）多向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。單向應(yīng)力實(shí)驗(yàn)分三段分析（見(jiàn)圖10-2）CB應(yīng)變?cè)贑B段出現(xiàn)軟化現(xiàn)象，到B點(diǎn)被壓碎。 A：拉伸或壓縮較小時(shí)，按線性處理，E0，。 B：當(dāng)12 3，3 Kc時(shí)視為各向同性（K 取0.4左右）。 C：當(dāng)3 Kc時(shí)，視為正交各

18、向異性的非線性材料。ccsuuucusseEeEeepAEECAEEB，；)2(2)32(00uuccrrr111，為修正系數(shù)， 多向應(yīng)力狀態(tài)： 主要處理方法是對(duì)單向應(yīng)力狀態(tài)的修正。 即：V.Mises屈服準(zhǔn)則的物理解釋是相當(dāng)于一點(diǎn)的歪形能達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，材料就進(jìn)入屈服。（10-45）)(2KFJ22321321223322221122/1mmmJ)( 3/1332211m五、彈塑性材料：五、彈塑性材料：1. 屈服準(zhǔn)則 V.Mises屈服準(zhǔn)則 對(duì)于金屬材料來(lái)說(shuō)，塑性屈服與三向等壓無(wú)關(guān)，即與J1無(wú)關(guān)，它認(rèn)為：應(yīng)力偏量第二不變量J2達(dá)到某一個(gè)值時(shí)，材料就進(jìn)入屈服，即：其中：第二應(yīng)力偏量不變量 平

19、均 應(yīng) 力 （10-46）)(21KFJJ3211J在（123）應(yīng)力空間中Drucker-Prager屈服面相當(dāng)于一圓錐面，其軸線為1 = 2=3，即坐標(biāo)的等傾線圓錐在平面上的交線為半徑 的圓，頂點(diǎn)在1 、2、3為正的象限內(nèi)（圖10-3）。)(21aJF Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則對(duì)于土壤或巖石一類材料屈服與靜水壓力有關(guān)，即：其中：應(yīng)力第一不變量； 材料常數(shù)； K為由實(shí)驗(yàn)確定的材料性質(zhì)參數(shù)。 用Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則來(lái)描述土壤、巖石等材料仍不理想，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)證實(shí)在較大的靜水壓力下，材料會(huì)發(fā)生明顯的屈服，且體積在縮小，為此引進(jìn)帶帽的Drucker-Prager模型屈服準(zhǔn)則，

20、即相當(dāng)于在Drucker-Prager圓錐面的壓縮邊，加上一個(gè)橢球或球形帽子（如圖10-4）帽的形狀由材料性質(zhì)決定，在 圖上（圖10-5），帶帽的Drucker-Prager模型分兩個(gè)區(qū)域，在ABC段仍是 達(dá)到一定值進(jìn)入屈服，CD段在靜水壓力和 的共同作用下，材料提前進(jìn)入屈服，屈服后有硬化效應(yīng)。2Jm2J2J（10-3）-3-1-2-1（10-4）-3-2（10-5）2JABCCDDm 帶帽的Drucker-Prager模型屈服準(zhǔn)則（10-47）Fafijij2. 等向硬化、隨動(dòng)硬化和帽硬化塑性硬化：材料屈服后卸載，然后再加載，要再產(chǎn)生塑性變形的屈服極限提高了，此現(xiàn)象稱為塑性硬化。顯然塑性硬化

21、與塑性變形程度和應(yīng)變歷史有關(guān)。根據(jù)不同類型材料實(shí)驗(yàn)，有幾種硬化模型?。旱认蛴不豪旌蛪嚎s硬化總是同樣地產(chǎn)生和發(fā)展，屈服面保持原來(lái)的形狀，只是均勻地膨脹和縮小。隨動(dòng)硬化：在一個(gè)方向屈服極限高了，在反方向則減少，兩屈服極限之差保持常數(shù)，屈服石的形狀和大小不變，只是其中心沿變形方向移動(dòng)了aij，加載屈服廠的表達(dá)式為：F為常數(shù)，是中心移動(dòng)值，由塑性變性形的大小決定。 帶帽硬化：對(duì)土壤或巖石材料采用Drucker-Prager帶帽模式（如圖10-4），受壓屈服時(shí)，對(duì)CD邊則外移到CD，相當(dāng)于屈服帽不斷擴(kuò)大，這種變化稱帽硬化，實(shí)驗(yàn)證明硬化規(guī)律為：（10-48）MpVMBeA1ln1BAepVMM、對(duì)應(yīng)于

22、D點(diǎn)；初始帽位置；為總的塑性體積應(yīng)變由材料實(shí)驗(yàn)決定的參數(shù)。Prandtl-Reuss增量理論是確立塑性變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系式。目前研究塑性問(wèn)題時(shí)，采用最多效果最好的是增量理論，即所謂Prandtl-Reuss彈塑性流動(dòng)（增量）理論，其要點(diǎn)如下：（10-51） peddd（10-49） eeedCd1（10-50）ijijpSdfd或3. Prandtl-Reuss增量理論dedpd認(rèn)為塑性時(shí)總應(yīng)變?cè)隽?是彈性應(yīng)變?cè)隽?和塑性應(yīng)變?cè)隽?之和：彈性應(yīng)力、應(yīng)變之間服從虎克定律：塑性應(yīng)變?cè)隽颗c塑性位勢(shì)間有以下關(guān)系： 為與材料性質(zhì)與塑性應(yīng)變程度有關(guān)的常數(shù)，f為塑性屈服面函數(shù)，當(dāng)采用V.Mises屈

23、服準(zhǔn)則時(shí)（10-53）2Jf fdCdddeepe1（10-52）22321321223322221122/1mmmJ平均應(yīng)力)( 3/1332211mmijijijSS為應(yīng)力偏量；4. 彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系矩陣下面按Prandtl-Reuss流動(dòng)理論，以V.Mises屈服準(zhǔn)則為例，導(dǎo)出矩陣形式的彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系矩陣Ccp如下：根據(jù)（10-49）、（10-50）、（10-51）式有：（10-54） fCfdfdCfeTeTeT)(2KFJ)(pFf（10-55）pTppTpTdFdddFdfdfdfdf2211 eTCf等式兩邊乘以 有 對(duì)于V.Mises屈服準(zhǔn)則式：利用f=J2，注意到塑

24、性硬化參數(shù)K是塑性應(yīng)變的函數(shù)，上式可改寫為：對(duì)它微分有： 將（10-56）式代入到（10-54）式，并考慮（10-52）式：（10-57）（10-56）pTpTdFdf fCffFdCfeTTpeT fCffFdCfeTTpeT 得： 將（10-57）式代入到（10-53）式并前乘Ce后得： fCffFCffCCCeTTpeTTeecp dCdcp（10-58）（10-59） 式中： cpC 即為所要求的彈塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系矩陣，有它就可以計(jì)算彈塑性時(shí)的剛度陣和應(yīng)力。有限變形的幾何分析在理論上是完善的，關(guān)鍵是如何合理地使用本構(gòu)方程。對(duì)于材料非線性問(wèn)題更是如此。在固體力學(xué)中，常用的本構(gòu)方程主要有

25、以下幾種。（10-60）CW（10-61）CW21（10-62）六、幾類典型的本構(gòu)模型：六、幾類典型的本構(gòu)模型：（1）線彈性和非線彈性模型。該類材料的特點(diǎn)是加卸載規(guī)律相同。公式如下：式中，對(duì)于線彈性材料C為常量，對(duì)于非線性彈性材料， C是的函數(shù)。（2）超彈性模型。需要根據(jù)應(yīng)變能函數(shù)W計(jì)算應(yīng)力，公式如下：式中應(yīng)變能函數(shù)W為：如橡膠等材料屬此類。（10-64）tCtpe（10-65）（10-63）Cdd（3）次彈性模型。需要根據(jù)應(yīng)變率計(jì)算應(yīng)力率，公式如下：寫成增量形式為：式中，C有多種定義方式。它可以定義為應(yīng)力、應(yīng)變、斷裂判據(jù)加卸載系數(shù)等的函數(shù)?；炷恋炔牧暇哂写祟愋再|(zhì)。（4）超塑性模型?？梢哉J(rèn)為

26、談彈塑材料發(fā)生塑性變形時(shí)，其總應(yīng)變可以分解為兩部分：即總應(yīng)變?yōu)閺椥詰?yīng)變和塑性應(yīng)變之和。加載時(shí)遵循一定規(guī)律，如Prandtl-Reuss方程，而卸載時(shí)為彈性。這是一個(gè)重要的模型，對(duì)于應(yīng)力足夠大時(shí)的金屬、土壤、巖石等材料，都有此類特征。（10-66）E（10-67） E（5）粘彈性模型?？梢苑譃閮深悾核沙谂c蠕變。松弛是指突加應(yīng)變作用下應(yīng)力會(huì)逐漸減少；蠕變是指突加應(yīng)力作用下應(yīng)變會(huì)逐漸增加。Maxwell模型是典型的松弛模型，公式如下：下面的Voigt-Kelvin模型為蠕變模型：（6）彈/粘塑性模型。這類材料的塑性變形與時(shí)間有關(guān)，本構(gòu)方程會(huì)出現(xiàn)非齊次的時(shí)間微分。典型的粘性材料是某些特定狀態(tài)下的金屬或

27、一些高聚物等。 材料非線性問(wèn)題重點(diǎn)是討論對(duì)于不同的本構(gòu)關(guān)系，如何建立相應(yīng)的有限元解法。 在這里先考慮小變形范圍內(nèi)的材料非線性彈性問(wèn)題。由于是小變形，有限元中的平衡方程和幾何關(guān)系與線彈性問(wèn)題相同，有關(guān)公式保持不變：RdVBTB（10-68）（10-69）0)(，fRK)(（10-70）但是非線性彈性材料的本構(gòu)方程不是簡(jiǎn)單的線彈性，而是非線性的，寫成如下一般形式：在平衡方程中，若以節(jié)點(diǎn)位移表示，則方程為非線性。寫成剛度矩陣的形式后，應(yīng)是此式為非線性方程，可以用迭代法求解在迭代過(guò)程中，先取0=0，求出K（0 ）=K0，代入（10-74）求出1=K10R，作為第一次近似，再?gòu)?進(jìn)行，求算K1，進(jìn)而解出

28、2，多次迭代直至nn+1為止。n是所求解的結(jié)果。（10-71）)(D（10-72）（10-73）（10-74）BD)(dVBDBKT)()(RKnn1一、一、 割線剛度法割線剛度法 若材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系能夠表示如下形式：考慮到小變形時(shí)=B，則上式可以寫成：定義非線性剛度矩陣K（）如下：平衡方程的迭代公式為： 即在每次迭代中系統(tǒng)受全部荷載的作用，并取與前一次迭代終了時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)相對(duì)應(yīng)的割線剛度。在本次迭代后以新的應(yīng)力狀態(tài)來(lái)修正剛度進(jìn)行下一次迭代。直至前后兩次迭代的結(jié)果充分接近（即誤差足夠?。橹?。 圖10-6直接迭代法（割線剛度法）過(guò)程示意圖iGtg1 直接迭代法的缺點(diǎn)：i）假室應(yīng)力一應(yīng)變的非線

29、性性態(tài)仍然是單位的，一一對(duì)應(yīng)的，唯一的。這樣假設(shè)是與實(shí)際不太相符的（因?yàn)樵谒苄詤^(qū)，加載與卸裁的路經(jīng)是不同的，并且要留有不及逆的塑性變形）。ii）一次施加全部荷載，不能表現(xiàn)在加載過(guò)程中的應(yīng)力及應(yīng)變的變化及發(fā)展情況。， iii）一般必須由實(shí)驗(yàn)事先提供G與 關(guān)系。 （10-75）（10-76）（10-77）（10-78）)()()()(nnnxxdxdxx0)()()(nnnxxdxdxnnndxdxX)/()(111nnnXxX二、二、 牛頓迭代法牛頓迭代法0)( x先考慮單變量為x的非線性方程 ，具有一階導(dǎo)數(shù)，在xn點(diǎn)作一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，它在xn點(diǎn)的線性近似為：0)( x因此，非線性方程 ，在x

30、n點(diǎn)近似為線性方程：當(dāng) 時(shí)，由上式求得n步的修正項(xiàng)這就是著名的牛頓-拉夫遜（Newton-Raphson）方法，簡(jiǎn)稱牛頓法。 在幾何非線性的有限元法中，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣與其幾何位置有關(guān)，平衡方程由變形后的位形描述，因此，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣是幾何變形的函數(shù)。設(shè)變形為，結(jié)構(gòu)的平衡方程式：（10-79）（10-80）（10-81）（10-82）0)( RK 0)(RK11nnnnnnTnKRK)(1其為一個(gè)非線性方程組。記非線性方程：0)(用Newton-Raphson方法求 的根時(shí)，迭代公式分別為：其中 n+1滿足下式（10-83）（10-84） nTnddK 01)/()(dxdxxnn式中KTn稱為

31、切線剛度矩陣，表達(dá)式為： 在每一個(gè)迭代步中，通過(guò)求解切線剛度矩陣KTn ，進(jìn)而用 n+1進(jìn)行迭代求解。Newton-Raphson方法求解過(guò)程中，每次都計(jì)算KTn ，計(jì)算速度較慢。有時(shí)直接采用第一次迭代計(jì)算得到的切線剛度KT0作為KTn來(lái)加速計(jì)算，即：稱為修正的Newton-Raphson方法。但這個(gè)方法收斂速度可能會(huì)減慢。牛頓法的收斂性是好的。但對(duì)某些非線性問(wèn)題，會(huì)出現(xiàn)奇異，這是采用一些修正辦法，如引入阻尼因子等。增量法是采用分段線性化的處理方法來(lái)要求解非線性問(wèn)題。把荷載劃分為許多很小的荷載增量，逐級(jí)地施加于結(jié)構(gòu)上，在每一級(jí)增量時(shí)結(jié)構(gòu)均假定為線性的，在增量范圍內(nèi)剛度為定值。對(duì)于各級(jí)荷載增量，

32、其剛度取不同值。以此來(lái)反映非線性特性，這一方法的基本特點(diǎn)如圖（10-7）。K0K1K2K3增量解精確解PU三、增量三、增量變彈性法（切線模量法）。變彈性法（切線模量法）。 圖 10-7 增量-變彈性法(切線剛度法)miiPP1jjjPUk1mj21 每級(jí)荷載增量時(shí)的剛度是由第一次荷載終了時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)所決定。第一級(jí)荷載增量時(shí)可取為初始的剛度 。每一級(jí)荷載增量后，可直接利用荷己給出的塑性條件及相應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系對(duì)每一單元作判別。并確定其彈塑性矩陣 作為第J+1次增量時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系確定其剛度矩陣 。 0KjepDjKjiijPP1 若總的荷載被分為m個(gè)增量，則可將荷載表示為： 當(dāng)荷載施加到第J級(jí)增量時(shí)

33、，增量型的剛度方程為： 對(duì)于第J次荷載增量，已經(jīng)施加的總荷載： 顯然，每一級(jí)荷載增量的求解完全采用線彈性的計(jì)算格式，僅須按新的應(yīng)力確定與相對(duì)應(yīng)的Dep ，并據(jù)此重新形成單元?jiǎng)偠染仃嚰跋到y(tǒng)的總剛度矩陣以進(jìn)行下一次增量的計(jì)算。直到最后一次荷載增量完成為止。 jijjUU1jiij1jiij1epD 相應(yīng)的位移，應(yīng)力，應(yīng)變?yōu)椋涸谇蠼鈴椝苄詥?wèn)題時(shí)，增量的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可表示增量變彈性法的缺點(diǎn)： 很難事先知道荷載增量應(yīng)該取多大才解獲得滿意的精度。 每次增量都必須修正單元?jiǎng)偠燃跋到y(tǒng)的總剛度，花費(fèi)時(shí)間較多。常剛度的增量迭代法是在每一級(jí)增量及每次迭代中都采用系統(tǒng)的初始剛度（線性剛度）通過(guò)與非線性性態(tài)相對(duì)應(yīng)的等效

34、附加荷載，來(lái)考慮非線性引起的附加位移。這一方法對(duì)非線性系統(tǒng)的總剛度定義為在線性剛度上作相應(yīng)的非線性修正。 KKkep PUKKe PUUKKpee peUUU四、增量四、增量附加荷載法：附加荷載法： 非線性剛度為： 由此可將增量形式的總體剛度方程寫為：假定總的位移增量可表示為線性增量和非線性增量之和，則： pepeeUUKPUUK 0FPUUKpee PUKee 0FUKpe 01FKUep這表明，只須要把適當(dāng)?shù)摹案郊雍奢d” 施加于線性系統(tǒng)，即可以在保持線性剛度的情況下，按照線性分析的方法求得非線性的附加位移增量 ，這一方法的分析步驟如圖10-8所示： 0FpU將上式展開(kāi)，移項(xiàng)得到：可簡(jiǎn)寫為：對(duì)于線性系統(tǒng)己知其剛度方程為：由此可知，必有： 或：PU精確值 由于上式中 及 均為未知，所以采用該方法求解時(shí)必須進(jìn)行迭代運(yùn)算。附加荷載 可以借助于初應(yīng)力減初應(yīng)變的差值來(lái)確定。 pU0F0F圖10-8 pe其中 為塑性增量看作為初始應(yīng)變，與 有相同的含義。對(duì)于某一級(jí)荷載增量 ,可利用線彈性剛度 求解出對(duì)應(yīng)于A點(diǎn)的線性位移增量 ，由于非線性的P-U曲線對(duì)應(yīng)于該荷載增量的正確位移為B點(diǎn)。故位移增量應(yīng)當(dāng)是 ，位移增量之差 即為塑性引起的附加位移，或叫“初始位移”，見(jiàn)圖10-9。p0iP KAUBU0U圖10-9 初應(yīng)變法UPAipBBUAU