2013年高中數(shù)學(xué)解題思路大全：三角問題的非三角化解題策略.

1、三角問題的非三角化解題策略對待三角問題，常規(guī)思路是運(yùn)用三角知識及公式順?biāo)浦凼降慕馕觯匀欢侠?。其?shí)，三角問題與相關(guān)知識的聯(lián)系是十分密切的，在解題時，若能激活聯(lián)想，發(fā)散思維，不少三角問題的解決途徑是比較新奇和有趣的，正所謂三角問題的非三角化解題策略。這里剖析數(shù)例，以作欣賞。.平幾化策略發(fā)揮平面圖形的功能，以平面圖形為載體，挖掘三角背景下的問題實(shí)質(zhì)，使三角問題在平面圖形的直觀導(dǎo)引下得到解決。例 1.已知 ABC 的三個內(nèi)角適合 sin2A=sinB (sinB+sinC),求證：/ A=2/ B。C證明：如圖 1,聯(lián)想平幾知識中的切割線定理求解。延長CA 到 D,使 AD=AB=c則 CD=b

2、+c。由于 sin2A=sinB (sinB+sinC),所以 a2=b (b+c),即BC=AC - CD,所以 BC 切過 A、B、D 的圓于點(diǎn) B,所以/ ABC=ZADBO因?yàn)?AB=AD,所以/ ABD=ZADB,所以/ CAB=ZABD+ZADB=2/ ABC,得證。二.對稱化策略利用互余三角函數(shù)間的特殊關(guān)系，以問題結(jié)構(gòu)特征為出發(fā)點(diǎn)，通過構(gòu)造“相似”結(jié)構(gòu)式 子，建立對稱關(guān)系，開避解題坦途。2 2例 2 求 cos 10 +cos50 -sin40 sin80。的值。解：設(shè) x=cos 10 +cos 50 -sin40 sin80,2 2y=sin 10 +sin 50 -cos4

3、0 cos80則 x+y=2-cos40;-1xy 二 cos20 cos100 21 cos402聯(lián)立解得3，即為所求結(jié)果。x =一4三.線圓化策略直線與圓是數(shù)學(xué)中的平常而重要的幾何圖形。從抽象的數(shù)學(xué)式子里提煉出線圓關(guān)系，使問題及字母討論在直觀的幾何顯示下不解自知。、一、一 ._ 2例 3 設(shè)方程 sin2x-sin x=2cos2x+m 有實(shí)數(shù)解，試求 m 的取值范圍。解：原方程變形為：3cos2x-2si n2x+2m+1=0。觀察知：點(diǎn)(cos2x, sin2x)在直線3x-2y+2m+1=0 上，而點(diǎn)又在單位圓 /+y2=1 上，所“區(qū)域”優(yōu)勢，使隱藏的“關(guān)節(jié)”得以.，求 sin0的

4、最大值。就是直線與圓有交點(diǎn)，所以根據(jù)圓心到直線以這個點(diǎn)是直線與圓的交點(diǎn)。的距離不大于半徑關(guān)系得：原方程有實(shí)數(shù)解，2m 1 1.32(-2)2整理得 m2+m-3 0,解得-一砧一 一_13。 m 0，且變量0滿足不等式組解設(shè) x=cos0, y=sin0，則不等式組等價于a sinb cos 0acosv - bsin v 0+y2=1,bx ay 0,ax by 0。2原不等式呈現(xiàn)出鮮明的幾何意義：動點(diǎn)（X, y）的運(yùn)動區(qū)域是單位圓與二直線所圍成的陰影區(qū)域。由此得 sin0的最大值就是陰影區(qū)域中的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即（sin0）max=yM=.a2b2五.曲線化策略有些三角問題，抓住結(jié)構(gòu)特征，依托曲線方程，巧妙地建構(gòu)圓錐曲線模型，使問曲線性質(zhì)的幫助下簡捷求解。A 的坐標(biāo)適合切線方程，所以點(diǎn)A 也是切點(diǎn)，從而知 A、B 兩點(diǎn)為同一點(diǎn)。2 2 2 2即: cosa=sin3, sina=cos3,所以 cosa=sin3=cos (題在例 5 若a、44，求證a+3:= 。cosasin :-Tt1 2sinpcos2-2解：構(gòu)造2 2 2A(COSa ,sina ),B(sin3 ,2cos3）兩點(diǎn)，則A、B 兩點(diǎn)均在橢圓2 2