專項練習一圓錐曲線

1、專項練習一：圓錐曲線1. 圓錐曲線的兩個定義 ：（1）第一定義 中要 重視“括號”內的限制條件 ：（1）已知定點 F1（ 3,0）, F2 （3,0） ，在滿 足下列條件的平面上動點 P的軌跡中是橢圓的是 APF1 PF2 4 BPF1 PF 2 6 22C PF1 PF2 10 D PF12 PF22 12 （答：C）；（2）方程 （x 62） y2（x 62） y2 表8示的曲線是 （答：雙曲線的左支）2（2）第二定義 已知點 Q（2 2,0） 及拋物線 y x 上一動點 P（x,y）,則 y+|PQ|的最小4值是 （答： 2）2. 圓錐曲線的標準方程22（ 1） 橢圓 ：（ 1） 已知方

2、程 x y1 表示橢圓，則 k 的取值范圍為 （答：3 k 2 k（ 3,1）（1,2）；（2）若x,yR，且3x22y26，則xy的最大值是 ，x2y222的最小值是 _（答： 5,2 ）曲線的方程 （答：2x2y 1）；（ 2）設中心在坐標原點 O ，焦點 F1 、 F2 在坐標軸42）雙曲線 ：（ 1）雙曲線的離心率等于5 ，且與橢圓222x y 1有公共焦點，則該雙94上，離心率 e 2的雙曲線 C過點 P（4, 10） ，則C的方程為 （答： x2 y2 6）（ 3）拋物線 ：3. 圓錐曲線焦點位置的判斷：22橢圓 ：已知方程x y1表示焦點在 y軸上的橢圓，則 m的取值范圍是 _（

3、_ 答：m12m（ , 1） （1,32） ）4. 圓錐曲線的幾何性質1）橢圓（ 1） 若橢圓x2 y21025x y1的離心率 e 10 ，則 m 的值是 _ （答： 3 或 25 ）；5 m53（2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1 時，則橢圓長軸的最小值為 _（答： 2 2 ）（ 2）雙曲線（ 1）雙曲線的漸近線方程是 3x 2y 0，則該雙曲線的離心率等于 （答： 13 或 13 ）；（ 2）雙曲線 ax2 by2 1的離心率為 5，則 a:b=231x2 y2（答： 4 或 1 ）；（3）設雙曲線 x2 y2 1（a>0,b>0）中，離心率 e 2

4、,2, 則兩 4a2 b2條漸近線夾角 的取值范圍是 （答： , ）；3221（3）拋物線 ；設 a 0,a R，則拋物線 y 4ax2的焦點坐標為 （答：（0, 1 ） ）；16a 225、點 P（x0,y0）和橢圓 x2 y2 1（a b 0）的關系 ：a2 b26 直線與圓錐曲線的位置關系 （ 1） 若直線y=kx+2 與雙曲線答：(-的取值范圍是x2-y 2=6 的右支有兩個不同的交點，則k 的取值范圍是22直線 ykx 1=0 與橢圓 x y 1恒有公共點，則 m5m2x135 ,-1） ）；（2）線交雙曲線于答： 1，5）（ 5，+）；（ 3）過雙曲線1 條（答： 3）；2y 1

5、的右焦點直2A 、 B 兩點，若 AB 4，則這樣的直線有22x2 y2 1 外一點 P（x0 , y0）的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如a 2 b 2下： P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線， 共四條；P 點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內時， 有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條； P 在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線； P 為原點時不存 在這樣的直線；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。 （

6、1）過點 （2,4） 作直線與拋物線 y2 8x只有一個公共點， 這樣的直線有22x y 1有且僅有一個公共點的直線的斜率的取9 162）過雙曲線答： 2）；（2）過點（0,2）與雙曲線4 4 5 答：4, 4 5 ）；33線于 A、B 兩點，若 AB 4，則滿足條件的直線 l有y2 4x ，我們稱滿足 y02 4x0 的點 M（x0,y0）在拋物線的內部，若點 M（x0,y0）在拋物線值范圍為3）過雙曲線2x2 y 1的右焦點作直線 l 交雙曲2條（答： 3）；（ 4）對于拋物線 C：的內部，則直線 l ： y0 y 2（x x0 ）與拋物線 C 的位置關系是 拋物線 y2 4x 的焦點 F

7、 作一直線交拋物線于11 q ，則pq 設某直線 m 交其左支、右支和右準線分別于P,Q,R，則 PFR和 QFR 的大小關系為P、答： 1）；（ 6）設雙曲線答：相離）；（5）過Q 兩點，若線段 PF 與 FQ 的長分別是 p 、 22x y 1 的右焦點為 F ，右準線為 l ，16 9（ 填大于、小于或等于 ） （答：等于）；（7）求橢圓 7x2 4y2 28 上的點到直線 3x 2y 16 0的最短距離 （答： 8 13 ）；（8）直線 y ax 1與雙曲線 3x2 y2 1交于 A 、13A、 B分別在雙曲線的兩支上？當3, 3 ； a1 ）；22x y 1 上一點 P 到橢圓左焦點

8、的距離為 3，則點25 16B 兩點。當 a 為何值時，徑的圓過坐標原點？（答：7、焦半徑（ 1）已知橢圓線的距離為答： 35 ）；35，則它到拋物線的焦點的距離等于是 4 ，則點 M 的坐標為a 為何值時，以AB 為直P 到右準2） 已知拋物線方程為 y2 8x，若拋物線上一點到y(tǒng) 軸的距焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點 P 的橫坐標為；（3） 若該拋物線上的點 M 到焦點的距離 22答： 7,（2, 4） ）；（4） 點 P 在橢圓 x y 1上，它到左 25 925 答： 25 ）；（ 5）拋物線12y2 2x上的兩點 A、B 到焦點的距離和是 5，則線段 AB 的中點到 y 軸的

9、距離為 （答：2）；（ 6）橢圓2y231內有一點 P（1, 1） ，F(xiàn) 為右焦點，在橢圓上有一點M，使 MP 2MF之值最小，則點 M 的坐標為 （答： （2 6 , 1） ）；38、焦點三角形（ 1）短軸長為 5，離心率 e 2 的橢圓的兩焦點為 F1、F2，過 F1作3答： 6）；（ 2）設 P 是等軸雙曲線直線交橢圓于 A、 B 兩點，則 ABF2的周長為x2 y2 a2 （a 0） 右支上一點， F1、 F2 是左右焦點，若 PF2 F1F2 0 ， |PF1|=6，則該雙22 曲線的方程為 （答： x2 y2 4 ）；（3）橢圓 x y 1的焦點為 F1、F2，點 P94 為橢圓上

10、的動點，當 PF2 ·PF1 <0 時，點 P的橫坐標的取值范圍是 （答： （ 3 5 ,3 5）；55（4）雙曲線的虛軸長為 4，離心率 e 6 ，F(xiàn)1、F2是它的左右焦點，若過 F1 的直線與雙曲 2 線的左支交于 A、B 兩點，且 AB 是 AF2 與 BF2 等差中項，則 AB （答：8 2 ）；（ 5） 已知雙曲線的離心率為2， F1、F2 是左右焦點， P 為雙曲線上一點，且22 F1PF2 60 ， S PF1F2 12 3 求該雙曲線的標準方程（答：x y 1 ）；9、拋物線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質：10、弦長公式 ：（1）過拋物線 y2=4x 的焦點

11、作直線交拋物線于 A（ x1，y1），B（x2，y2）2兩點，若 x1+x2=6，那么|AB|等于 （答： 8）；（ 2）過拋物線 y2 2x焦點的直線交拋物線于 A、B 兩點，已知|AB|=10 ，O 為坐標原點， 則ABC重心的橫坐標為 （答：3）；2211、圓錐曲線的中點弦問題： （1）如果橢圓 x y 1弦被點 A （ 4，2）平分，那么36 9 這條弦所在的直線方程是 （答： x 2y 8 0 ）；（2）已知直線 y= x+1 與橢圓22xy2 2 1(a b 0) 相交于 A 、B 兩點， ab橢圓的離心率為答： 2 ）；（ 3）2且線段 AB 的中點在直線 L：x 2y=0 上，

12、則此22試確定 m 的取值范圍，使得橢圓 x y 1上432 13 2 13 有不同的兩點關于直線 y 4x m 對稱（答： , ）；13 13特別提醒 ：因為0 是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗0 ！12你了解下列結論嗎 ？22與雙曲線 x y 1有共同的漸近線，且過點 （ 3,2 3） 的雙曲線方程為 （答：9 164x13動點軌跡方程已知動點 P 到定點 F（1,0） 和直線 x 3的距離之和等于 4，求 P 的軌跡方程（答： y212（x 4）（3 x 4） 或 y2 4x（0 x 3）；線段 AB 過 x軸正半軸上一點 M（m，0）（

13、m 0），端點 A、B 到 x軸距離之積為 2m，以 x 軸為對稱軸，過 A、O、B 三點作拋物線，則此拋物線方程為2（答： y2 2x ）；（1） 由動點 P 向圓 x2 y2 1作兩條切線 PA、PB，切點分別為 A、B， APB=600，則動 22點 P的軌跡方程為（答： x2 y2 4）；（2）點 M與點 F（4,0） 的距離比它到直線 l：x 5 0的距離小于 1，則點 M的軌跡方程是 （答： y2 16x ）；（3） 一動圓與兩圓 M： x2 y2 1和 N： x2 y2 8x 12 0 都外切，則動圓圓心的 軌跡為 （答：雙曲線的一支）；動點 P是拋物線 y 2x2 1上任一點，

14、 定點為 A（0, 1）,點M分PA 所成的比為 2，則M 的軌跡方程為 （答： y 6x 2 1 ）；3（ 1） AB是圓 O的直徑，且 |AB|=2 a， M為圓上一動點，作 MN AB，垂足為 N，在 OM上 取點 P，使 |OP | |MN |，求點 P的軌跡。（答： x2 y2 a|y|）；（2）若點 P（ x1, y1）2 2 2 1 在圓 x y 1上運動，則點 Q（ x1 y1, x1 y1 ）的軌跡方程是 _（_ 答：y 2x 1（|x | ）； 2 （3）過拋物線 x2 4y的焦點 F作直線 l 交拋物線于 A、B兩點，則弦 AB的中點 M的軌跡方 程是 （答： x2 2y 2 ）；22橢圓外的動點， 滿足| F1Q | 2a.點 P是線段 上，并且滿足 PT TF2 0,|TF2| 0.（ c| F1P | ax ；（ 2）求點 T 的軌跡 C 的方程；a是否存在點 M，使 F1MF