高中數(shù)學(xué)選修教材比較難的專題

1、 高中數(shù)學(xué)選修教材比較難的專題選修三:3-3球面上的幾何。 球面幾何是研究球面上的點(diǎn)、線、面的距離，面積，位置關(guān)系及其有關(guān)性質(zhì)的一門學(xué)科，在測量、航空、衛(wèi)星定位等方面有著極為廣泛的應(yīng)用。對于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力及幾何直觀能力，以及對現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法的掌握都有著很重要的作用。 在學(xué)習(xí)這一專題前我們得讓學(xué)生知道球面幾何與人類生產(chǎn)生活的關(guān)系，讓學(xué)生對該專題的學(xué)習(xí)產(chǎn)生一定的興趣，本專題一共有七講，從我們熟悉的偶是幾何出發(fā)就，回顧平面、直線與球面的位置關(guān)系，得出與園冪定理類似的球冪定理。然后以距離和角的一些列問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入球面幾何的學(xué)習(xí)。其中比較重要的內(nèi)容就是第一講中球面和直線還有平面的位置關(guān)系的判

2、斷和距離問題。在這一講中的圓冪定理是我們上高中大學(xué)都沒有接觸到的東西，屬于教材改編后新加進(jìn)來的內(nèi)容，它既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。所以我們一定得自己先把這些東西從頭學(xué)習(xí)一遍，在平面幾何中所謂的圓冪定理就是在平面幾何中有切線長定理、切割線定理、相交弦定理。這些定理統(tǒng)稱為圓冪定理。類比于圓冪定理我們便可以推出球冪定理。我們不難知道球冪定理實(shí)際上就是球的割線、切線之間的關(guān)系。例如在下圖中我們通過圓冪定理可以得到： 第二講中球面上任意兩點(diǎn)的距離和角的問題，學(xué)生通過本章的學(xué)習(xí)得學(xué)會有題目中的已知條件求球面的角和距離，對于球面兩點(diǎn)間的距離并不少兩點(diǎn)連成的直線的長度，而是兩點(diǎn)把園分成的兩個弧中劣弧的長度，如右圖： 球

3、的一個截面圓上兩點(diǎn)AB之間的距離并不是線段AB的長度,而是弧的長度。與距離對應(yīng)的就是角了，平面上的角是兩條射線構(gòu)成的圖形，而球面上的角則是過某個定點(diǎn)的兩條圓弧形成的夾角。其中球的二面角即使重點(diǎn)也是難點(diǎn)，球的三面角我認(rèn)為只要學(xué)生理解就可以，不要求掌握求角的大小等問題。第三講和第四講都涉及到了球面三角形的問題，主要講了對頂三角形，2 / 7球極三角形，球面等腰三角形的定義，通過本節(jié)的學(xué)習(xí)學(xué)生要能夠辨別這三種三角形并知道為什么球面三角形的周長小于大圓的周長和球面三角形的內(nèi)角和的內(nèi)角和是大于小于2的。這是第四講最重要的兩個定理。第五講主要講了球面三角形全等的幾個判斷，主要有“邊邊邊”判定定理、“邊角邊

4、”判定定理、“角邊角”判定定理、和“角角角“判定定理。這與平面三角形的全等判定是大致一樣的，所以通過比較粗略的講解學(xué)生應(yīng)該就要能夠?qū)W會用這五個判定定理判定兩個球面三角形是否全等。第六講是比較難的一講，主要講了球面多邊形及其內(nèi)角和、簡單多面體的歐拉公式。在求面上的n個點(diǎn)：、 ，且任意三點(diǎn)不在同一個大圓上，經(jīng)過這n個點(diǎn)中任意兩點(diǎn)作大圓，首尾順次連接劣弧、，如果這些劣弧互不相交，那么就把這些劣弧組成的封閉圖形叫做球面n邊行。、 稱為球面n邊形的頂點(diǎn)。、稱為球面多邊形的內(nèi)角。其面積公式為：（其中、分別表示弧度數(shù)）。再由多邊形內(nèi)角和與面積的關(guān)系球面多邊形的內(nèi)角和為便可求出球面多邊形的內(nèi)角和。歐拉公式是一

5、個相對比較陌生的概念，如果用V表示簡單多面體的定點(diǎn)數(shù)，E表示簡單多面體的楞數(shù)，F(xiàn)表示簡單多面體的面數(shù)，通過計(jì)算可以得出V-E+F=2，這個結(jié)論就稱為簡單多面體的歐拉公式。學(xué)生通過這一節(jié)的學(xué)習(xí)要牢記歐拉，在知道其中的兩個量后要能熟練的運(yùn)用歐拉公式求出第三個量。通過前面幾講對球面三角形進(jìn)行了定性研究后，第七講主要討論球面三角形之間量的關(guān)系，主要就是正弦定理和余弦定理。通過對球面三角形內(nèi)各個量的討論應(yīng)該讓學(xué)生明白在球面三角內(nèi)正弦定理和余弦定理都是成立的，而且和以前學(xué)的平面三角形的正、余弦定理是一樣的。并能夠運(yùn)用向量證明球面上的余弦定理和運(yùn)用余弦定理求地球上兩城市間的距離。其中對余弦定理的運(yùn)用是其中應(yīng)

6、該重點(diǎn)要掌握的內(nèi)容，因?yàn)樗鼱可娴缴钪械膶?shí)際應(yīng)用問題。作為應(yīng)用題出題的幾率比較大?？傊诒窘滩牡慕虒W(xué)過程中，要遵循下面幾點(diǎn)原則：1、 要注重形象思維與抽象思維的結(jié)合，因?yàn)樵谇蛎鎺缀沃醒芯康膶ο鬄榍蛎嫔系狞c(diǎn)、線、面及其它們之間的關(guān)系，所以我們在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的同時也得培養(yǎng)學(xué)生的再造想象和創(chuàng)造想象的能力。2、 切實(shí)貫徹新課標(biāo)課程理念，營“做數(shù)學(xué)”、“探究式”、“合作式”的學(xué)習(xí)環(huán)境。調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和自我參與意識。3、 注重類比、推廣等研究方法在教學(xué)中的滲透。如將平面幾何的知識結(jié)構(gòu)類比到球面幾何中去，將球面三角形的內(nèi)角公式加以推廣運(yùn)用到球面三角形中去。4、 引入有價值的實(shí)際問題，增強(qiáng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)

7、”的能力。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的除了培養(yǎng)一個人的思維以外，另一個重要的方面就是應(yīng)用，只有能學(xué)以致用的知識才是對人類有意思的好知識。球面幾何這一講許多問題的產(chǎn)生的歷史背景都與一些天文、航海的實(shí)際應(yīng)用問題有關(guān)，因此在教學(xué)過程中應(yīng)該加強(qiáng)有價值問題的引入，以提高學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力。5、 有效的使用信息技術(shù)，增加學(xué)生使用技術(shù)的能力。因?yàn)榍蛎鎺缀紊婕暗降氖橇Ⅲw幾何，所以如果能夠通過多媒體技術(shù)使很多圖形直觀的展現(xiàn)出來學(xué)生應(yīng)該比較容易理解一些，尤其是對于那些空間想象能力比較弱的同學(xué)。 選修4-9風(fēng)險與決策。 在日常生活和經(jīng)濟(jì)活動中。如購物、求職、投資工商企業(yè)的生產(chǎn)或經(jīng)營的方案。經(jīng)常需要對市物的未來作出決策以便用最有利

8、的方式采取行動，由于事物的未來和信息往往受隨機(jī)因素的影響。不能準(zhǔn)確地判斷決策往往帶有風(fēng)險在這種情況下，決策通常有很多行動方案加以采用，而統(tǒng)計(jì)決策方法可以提供最優(yōu)的行動方案大大減少由于盲日地決定而導(dǎo)致的損失。因此。統(tǒng)計(jì)決策方法 I統(tǒng)計(jì)決策分析將會紅社會的發(fā)展與進(jìn)步中發(fā)揮越來越大的作用在現(xiàn)代社會巾。具有合理的決策能力是每個公民都應(yīng)該具備的基本素質(zhì)因此在中學(xué)階段最好能掌握一些簡 單的統(tǒng)計(jì)決策而的知識和方法，形成初步的決策意識。 本專題低音第一講主要講了與風(fēng)險與決策有關(guān)的幾個概念，1、 風(fēng)險（平均損失）：行動方案對應(yīng)損失函數(shù)的均值稱為行動方案的風(fēng)險。我們應(yīng)該選用風(fēng)險最小的行動方案，即按照最小準(zhǔn)則選擇行

9、動方案。2、 平均收益：行動方案對應(yīng)收益函數(shù)的均值稱為行動方案平均收益，我們在做決策應(yīng)該按照平均收益最大立體幾何做出決策。3、 損益矩陣：表示損失函數(shù)的矩陣稱為缺失矩陣，表示收益函數(shù)的矩陣稱為收益矩陣，損失矩陣和收益矩陣統(tǒng)稱為損益矩陣。 在對上面三個概念有所了解以后，學(xué)生要能夠運(yùn)用上面的知識在有風(fēng)險的情況下做出正確的決策。也就是風(fēng)險型決策。風(fēng)險型決策人一般決策過程為：1、 明確問題的決策目標(biāo)；2、尋找所有可選擇的行動方案；3、確定所有可能出現(xiàn)的狀態(tài)，以及每種狀態(tài)發(fā)生的概率；4、確定損益函數(shù)或函數(shù)；5、計(jì)算各行動方案所對應(yīng)的損益函數(shù)的均值；6、根據(jù)決策目標(biāo)，氣按照風(fēng)險最小立體幾何或平易收益最大準(zhǔn)

10、則選擇最優(yōu)決策。在這里要注意的是當(dāng)風(fēng)險相差不大時不能隨便選擇一個行動方案，而是應(yīng)該繼續(xù)求出損失方差，選擇損失方差小的行動方案。 第二講主要向我們介紹了一種分析和待批決策方案的方法，因數(shù)其運(yùn)用樹狀圖形來分析和待批決策機(jī)構(gòu)方案所以被稱為決策樹方法。決策樹的基本構(gòu)成如圖1所示，其中方形框叫做決策點(diǎn)，從決策點(diǎn)引出的3條線段分別代表可供選擇的3種方案，叫做方案枝。方案枝末端的圓叫做機(jī)會點(diǎn)，從機(jī)會點(diǎn)引出的2條線段表示有2種可能發(fā)生的狀態(tài)，叫做狀態(tài)枝（概率枝），我們將狀態(tài)發(fā)生的概率標(biāo)注在相應(yīng)的概率枝上，狀態(tài)枝的末端的三角形叫做后果點(diǎn)，并疳相應(yīng)的損失函數(shù)的值標(biāo)注在后果點(diǎn)的旁邊。圖1 圖2在了解國決策樹的結(jié)構(gòu)以

11、后我們要做的就要利用決策樹上的信息做出決策，決策過程可分為下面兩個步驟：1、 計(jì)算損益函數(shù)的均值。計(jì)算連接到同一機(jī)會點(diǎn)的各個后果點(diǎn)的值l(d,h)（或q(d,h)）與相應(yīng)的狀態(tài)枝的標(biāo)注值P(h)的乘積，并將所得的乘積加起來，得到機(jī)會點(diǎn)的均值，如圖2各機(jī)會點(diǎn)的昀值為： 12*0.3+5*0.5+(-4)*0.2=5.3; 8*0.3+6*0.5+(-1)*0.2=5.2; 3*0.3+3*0.5+2*0.2=2.8;2、 根據(jù)決策目標(biāo)待批最優(yōu)決策。圖2中因?yàn)榉桨钢1末端的機(jī)會點(diǎn)的值是5.3是收益最大值，所以為最優(yōu)的決策方案。第三講的主要內(nèi)容是對決策做敏感性分析，即分析未來狀態(tài)的概率有所變化時，對最優(yōu)決策的選擇是否有影響，如果有，有怎樣的影響。具體的做法就是將變化量代入收益函數(shù)或者損失函數(shù)中算出其收益平均值或損失平均值，再觀察其靈敏度。第四講主要介紹了馬爾可夫鏈和馬爾可夫型決策，最后一小節(jié)關(guān)于長期準(zhǔn)則下的馬爾可夫型決策理論是比較難的內(nèi)容，不要求掌握。對于隨機(jī)變量序列，已知第n個小時的狀態(tài)，如果的變化規(guī)律與的取值都沒有關(guān)系，那么稱隨機(jī)變量序列具有馬爾可夫性，有馬爾可夫性的隨機(jī)變量序列馬爾可夫鏈。在風(fēng)險決策案例中，各可能狀態(tài)的分布列一般