推薦微積分課件第2節(jié)柱面及旋轉(zhuǎn)曲面

1、第二節(jié)第二節(jié) 柱面與旋轉(zhuǎn)曲面柱面與旋轉(zhuǎn)曲面一、柱面一、柱面二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題第二節(jié)第二節(jié) 柱面與旋轉(zhuǎn)曲面柱面與旋轉(zhuǎn)曲面解解 方程方程 在在xy平面上表示平面上表示222ryx 以原點(diǎn)為圓心，半徑為以原點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓的圓.z，表示的曲面表示的曲面的圓的圓 移動(dòng)而成的移動(dòng)而成的圓柱面圓柱面。222ryx xy平面上的圓平面上的圓 叫做它的叫做它的準(zhǔn)線準(zhǔn)線222ryx 例例 作作 的圖形。的圖形。222ryx 平行于平行于z軸的直線叫做它的軸的直線叫做它的母線母線。由于方程不含由于方程不含意味著意味著z可以任意取值，可以任意取值，因此這個(gè)方程所因此這個(gè)方程

2、所是由平行于是由平行于z軸的直線沿軸的直線沿xy平面上平面上一、柱面一、柱面( cylinder )柱面柱面 平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 c 移動(dòng)移動(dòng)的直線的直線l 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. 這條定曲線這條定曲線c稱為柱面的稱為柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，zyxo動(dòng)直線動(dòng)直線l稱為柱面的稱為柱面的母線母線.一、柱面一、柱面( cylinder )lc觀察柱面的形成過(guò)程觀察柱面的形成過(guò)程: :一、柱面一、柱面( cylinder )觀察柱面的形成過(guò)程觀察柱面的形成過(guò)程: :一、柱面一、柱面( cylinder )觀察柱面的形成過(guò)程觀察柱面的形成過(guò)程: :一、柱面一、柱面(

3、 cylinder )觀察柱面的形成過(guò)程觀察柱面的形成過(guò)程: :一、柱面一、柱面( cylinder )觀察柱面的形成過(guò)程觀察柱面的形成過(guò)程: :一、柱面一、柱面( cylinder )觀察柱面的形成過(guò)程觀察柱面的形成過(guò)程: :一、柱面一、柱面( cylinder )觀察柱面的形成過(guò)程觀察柱面的形成過(guò)程: :一、柱面一、柱面( cylinder )觀察柱面的形成過(guò)程觀察柱面的形成過(guò)程: :一、柱面一、柱面( cylinder )觀察柱面的形成過(guò)程觀察柱面的形成過(guò)程: :一、柱面一、柱面( cylinder )觀察柱面的形成過(guò)程觀察柱面的形成過(guò)程: :一、柱面一、柱面( cylinder )觀察

4、柱面的形成過(guò)程觀察柱面的形成過(guò)程: :一、柱面一、柱面( cylinder )觀察柱面的形成過(guò)程觀察柱面的形成過(guò)程: :一、柱面一、柱面( cylinder )柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面( cylinder of the second order parabolic )一、柱面一、柱面( cylinder )從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征：實(shí)實(shí) 例例12222 czby12222 byaxpzx22 222xyr圓柱柱面圓柱柱面/z軸軸 在空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系oxyz下，含兩個(gè)變量的方程為柱下，含兩個(gè)變量的方程為柱面方程，面

5、方程，于哪一個(gè)坐標(biāo)軸于哪一個(gè)坐標(biāo)軸 .該柱面的母線就平行該柱面的母線就平行并且并且方程中缺少哪個(gè)變量方程中缺少哪個(gè)變量，橢圓柱面橢圓柱面 母線母線/ 軸軸x雙曲柱面雙曲柱面 母線母線/ 軸軸z拋物柱面拋物柱面 母線母線/ 軸軸y不含與該坐標(biāo)軸同名的變量不含與該坐標(biāo)軸同名的變量;222ryx 幾種常用的柱面方程及圖形幾種常用的柱面方程及圖形（1 1）圓柱面）圓柱面（2 2）橢圓柱面）橢圓柱面; 12222 byax（4 4）拋物柱面）拋物柱面（3 3）雙曲柱面）雙曲柱面; 12222 byax.22pyx 統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為二二次次柱柱面面一、柱面一、柱面( cylinder ) 橢圓柱面橢圓柱面 圓

6、柱面圓柱面 拋物柱面拋物柱面 一一平面曲線平面曲線 c 繞同一平面上的一條繞同一平面上的一條定直線定直線 l 旋轉(zhuǎn)一周旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為 設(shè)設(shè) yoz 平面上曲線平面上曲線 c : f ( y , z ) = 0 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)形軸旋轉(zhuǎn)形成旋轉(zhuǎn)曲面成旋轉(zhuǎn)曲面 . . . 0),(22 zyxfcc定直線定直線 l 稱為旋轉(zhuǎn)曲面的稱為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面.則旋轉(zhuǎn)曲面方程為則旋轉(zhuǎn)曲面方程為曲線曲線c 稱為旋轉(zhuǎn)曲面的稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線母線.旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸.22yxy 換換成成將將l二、二、 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面(surfaces of revolution )zxy旋轉(zhuǎn)曲面的

7、形成過(guò)程旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二二. . 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面(surfaces of revolution )定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二二. . 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面(surfaces of revolution )旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)

8、程定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二二. . 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面(surfaces of revolution )旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二二. . 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面(surfaces of revolution )旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程旋轉(zhuǎn)

9、曲面的形成過(guò)程定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二二. . 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面(surfaces of revolution )旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二二. . 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面(surfaces of revolution )旋轉(zhuǎn)曲面的

10、形成過(guò)程旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二二. . 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面(surfaces of revolution )旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二二. . 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面(surfaces of revolution

11、)旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二二. . 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面(surfaces of revolution )旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二二. . 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面(surfaces of revol

12、ution )旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二二. . 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面(surfaces of revolution )旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為所成的曲面稱為旋旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二二. . 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面(surfaces of

13、 revolution )旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程旋轉(zhuǎn)曲面的形成過(guò)程 設(shè)設(shè) yoz 平面上曲線平面上曲線 c : f ( y , z ) = 0 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)形軸旋轉(zhuǎn)形成旋轉(zhuǎn)曲面成旋轉(zhuǎn)曲面 . . 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) m 作平面垂直于作平面垂直于 z 軸軸, 00,zzpmpm ,00ypm ,220yxy 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?m0 在曲線在曲線 c 上，所以上，所以f ( y0 , z0 ) = 0即得旋轉(zhuǎn)曲面方程即得旋轉(zhuǎn)曲面方程: :. 0),(22 zyxf點(diǎn)點(diǎn) m( x, y, z ) 為旋轉(zhuǎn)曲面上任意一點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)曲面上任意一點(diǎn), 因此有因此有可以由點(diǎn)可以由點(diǎn) m0 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)得到軸旋轉(zhuǎn)得到,由于點(diǎn)

14、由于點(diǎn) mcm0mp交曲線交曲線c 于點(diǎn)于點(diǎn)), 0(000zym,2 22 2yxpm 22yxy 換換成成將將二、二、 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面(surfaces of revolution )zxy圓周圓周交交 z 軸于點(diǎn)軸于點(diǎn) p ( 0, 0, z ), , 0,22 zyxf同理：同理：yoz坐標(biāo)面上的已知曲線坐標(biāo)面上的已知曲線0),( zyf繞繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程為為 . 0,22 zxyf第二節(jié)第二節(jié) 柱面與旋轉(zhuǎn)曲面柱面與旋轉(zhuǎn)曲面xozy解解 yoz面面上上直直線線方方程程為為 cotyz ),(zyxmoxzy 二、二、 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面(surfac

15、es of revolution ),22yx 將將 y 換成換成故故z 保持不變保持不變,圓錐面方程為圓錐面方程為 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),因?yàn)閷⒅本€因?yàn)閷⒅本€ cotyz 圓錐面方程為圓錐面方程為).(2 22 22 22 2yxkz . 0),(22 zyxf曲線曲線 c : f ( y , z ) = 0圓錐面方程為圓錐面方程為 cot22yxz ).(cot2 22 22 22 2yxz .arctank1 1 其中其中旋轉(zhuǎn)所得的曲面方程為旋轉(zhuǎn)所得的曲面方程為)(22yxaz 該曲面稱為該曲面稱為旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面. . 當(dāng)當(dāng) a 0 時(shí)，旋轉(zhuǎn)拋物面時(shí)，旋轉(zhuǎn)拋物面 將將y z 坐標(biāo)面上

16、的拋物線坐標(biāo)面上的拋物線 z = ay2( a 0 )，當(dāng)當(dāng) a 0 時(shí)，旋轉(zhuǎn)拋物面時(shí)，旋轉(zhuǎn)拋物面例例2 2 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面xyzo繞繞 z 軸軸的開(kāi)口向上的開(kāi)口向上.的開(kāi)口向下的開(kāi)口向下. 0),(22 zyxf曲線曲線 c : f ( y , z ) = 0例例3 3 將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222 czyax122222 czayx( hyperboloid )p263（1）雙曲線）雙曲線12222 czax分別繞分別繞x軸和軸和z軸；軸；二、二、 旋轉(zhuǎn)曲面

17、旋轉(zhuǎn)曲面(surfaces of revolution )旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面( ellipsoid )( paraboloid )二、二、 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面(surfaces of revolution )旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母線、準(zhǔn)線母線、準(zhǔn)線).練習(xí): p263:1(單)，2(單)， 3(單)第二節(jié)第二節(jié) 柱面與旋轉(zhuǎn)曲面柱面與旋轉(zhuǎn)曲面小結(jié)思考題思考題 1. 指出下列方程在平面解析幾何中和指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？空間解析幾何中分別表示什么圖形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy第二節(jié)第二節(jié) 柱面與旋轉(zhuǎn)曲面柱面與旋轉(zhuǎn)曲面思考