2016年清華大學(xué)數(shù)學(xué)金秋營試題

1、2016年清華大學(xué)數(shù)學(xué)金秋營試題考試時間：2016年10月13-14日，共6道題1、 給定 AAA及其內(nèi)部一點 卩，設(shè)厶PAA,A PAA1,A PAA的外接s圓的圓心分別為O, O, Q, Q,設(shè)直線0O與C2Q相交于點M試比較與MO S PA"的大小，其中，S PAA, S PAA分別表示厶PAA, PAA的面積。2、 給定正整數(shù)n,求最大的正整數(shù)k,使得如下命題成立：對每個i=1,2,.,2n, 設(shè)Ai是若干個相鄰的整數(shù)構(gòu)成的集合（即每個Ai都是形如a 1,a 2,. a r的集合，其中 a是整數(shù)，r是正整數(shù)），如果對任何1 i n , n+1 j2n都有A A，則存在整數(shù)x，

2、使得集合1 i 2n x A包含至少k個不同的元素。3、對由有限個實數(shù)構(gòu)成的集合 丫，定義（Y為丫中所有元素之和（Y）=yy 丫給定正整數(shù)m, n與正實數(shù)x1x2. xm，設(shè) A , A，A n是集合X1, X2,. Xm的非空子集，求如下表達式n n （A nA）i 1j 1 （A）（A）所能取到的最小值。4、 設(shè)G是連通的簡單圖，所有頂點構(gòu)成的集合為V,所有邊構(gòu)成的集合為 E, 稱E的子集H為G的“偶度子圖”，如果對任何x V,H中一共有偶數(shù)條邊以x 為頂點。設(shè)V v, E e,請問G共有多少個“偶度子圖”？，注意：E的空5、設(shè)p是大于3的素數(shù)，證明：(2i )除以p的余數(shù)或者等于1,或者

3、等于p-1 ,i 0這里a!b!( a b)!，并約定6、求最小的正整數(shù)m,使得對任何整數(shù)A,B，存在多項式f(x)滿足f(-2)=A,f(-3)=B, 且f(x)的各項系數(shù)都是不超過m的非負整數(shù)。試題h外按圓I因此，題述兩個分式的值相同2016年清華大學(xué)數(shù)學(xué)金秋營試題參考解答（僅供參考）由分折知直線oq即為，軸給定三津形皿耳內(nèi)部一與P設(shè)J； dA-AAA的 的卿心分別対OqQ.Q.設(shè)直線Oq與00相交于點M請歧 竺與 宜的大小*其中工屮£斗分別表示宀旳刊人的面積倉析*試題井嶺有給岀結(jié)論，結(jié)論留給考生去攜測和證明.岀發(fā)點是好的， 純粹的證明題更容易被混分一但是這個題中若將厶和博交換.

4、則題述的兩 式就飄了倒數(shù).因此若要題述的兩個分式能比較出大小.則這兩個分式的值必 然是相等的所以.我們只需證明這兩個分式的值相等即可來一點二直分析苜先來看器，它實際上是oq分QQ的比例而oq星 ”么呢？它正是雪魚總1中垂綸故韭蚩朋芻叢 站垂錢分QQ的比例與上里績耳條性幣認在直績職的兩而*.翱昱什么呢守它正是 g和O偽的根紬.而00：和OQ分別是以（VQ為劇心.0屮婦坊局為半徑的 H至此所有或子均已轉(zhuǎn)化成只和忌K.Q.q相關(guān)的最 且苴中有距駆 圖歌 比例、中垂線一此時，建立坐標系己經(jīng)是勢左必行.護 以導(dǎo) 的中點為坐標原點,射線也 的方向為正方向建立平面直角坐標系. 井設(shè)點的的坐標為。則點內(nèi)的叢標

5、為CW 設(shè)6的坐標対（如 6的坐標為WHh則“°A© | 匕 另一方面，由分析知亶線E*是©Q和oq的根軸.其方程應(yīng)為(芹.)" +(5 5)' -(口 +1¥ + 滬二 a_ 門+(e - D +tfJ).整理得耳c -+2(d2u十Q = 0.因此舄去到直線尸斗的距體之比為| 2(c-硏-1 + 29町 0-2(c + o)| aI 2c-a)*(-l)+ 2(d *fr) 0- 2(c4* a) c試題2,給定正整數(shù)刀求最大的正整數(shù)使得如下命題成立對每個 心】2 ,2”，設(shè)遇是若干個相鄰的整數(shù)構(gòu)成的集合（即每個丈都是形如 S+1衛(wèi)

6、乜衛(wèi)+廠的集合.其中a是整數(shù)，尸是正整數(shù)）.如果對任何 l<j<ns（>3 + l）<j<2n都有4治盧0 ,則存在整數(shù)x ,使得集合 1S j S 2” | X刃包含至少無仝不同的元素.分析，這這題敘述過于抽象，應(yīng)先解析其中的數(shù)宇語言和命題背最 百先注意到 最后一句話的意思買際上就是“斗斗:血中存在k個集合有公井元素"然后 題述的整數(shù)集合實際上是區(qū)間的離散化.而區(qū)間交集的問題則需考慮苴左站點和 右端點的序.這樣就可以接逬間題的本質(zhì)了.在解決間題的過程中.一個可能的 誤區(qū)是誤卑（構(gòu)造為凡”禺人相同且在中間小一砥一半在左邊一1 側(cè).事實上,立即會轉(zhuǎn)痛心附占

7、 解；對任環(huán)足題建判 不妨設(shè)這些最大元素中最小的之一是4的最大元素/那么對于心一匚九 中的任何一個集合，該集合的最大元素不小干，而該集合又要有不大干的元 素（否則與4的交為空集），故由題述集合的性質(zhì)易知該集合必然包含"因it gS2”|Y4至少包含"+ 1卄2.2用這”+1仝元素.即Jt=+I時題述命 耐立.另_方面，若舟孫名是一些由相鄰整數(shù)構(gòu)威且互丕曲交的集合（這顯然可以 卿）心心皿均為由相鄰整數(shù)構(gòu)成目包含比心厶中所有元素的集 合，則4.4- .4,滿足題述條件，且對任意整數(shù)x集合gm 乂芒.燈中最 多只有F>+l,n+2». .2w再加上1.2.m中的一

8、元素，即最多只有丹+ 1仝元素. 即上2片+ 2時題述命題不成；.綜上所述，滿足題述命題的最大正整數(shù)Jt為R+1.試題氛戲由有限個實數(shù)構(gòu)成的集合F,足義諷門為F中所有元素之和給定正整數(shù)力，與正實數(shù)耳 <七 < <設(shè)4"4；是集合山宀耳的非 空子集.求如王表達式”兀心.)二口4)呻)所能取到的最小值.但是證明時方法卻多種多樣.若選用了錯誤的方?jīng)i 則亠一 *. 一 "4MW分析；這是一道困難的冋題.宴根本原因在干方迭的不確定:性.所以如何對題述 式子進行代數(shù)變換或等價扌苗述是解決冋題的關(guān)樞.it過較簡單的試驗容易猜出 答案為:十予最后一尼會岀 分是白日浪費時間

9、d乘到式子可能會使析電邊的每個式干很散.若楚把它們集中迅來，通分是不現(xiàn)實的.所以保留分 母考慮分子則是最后也是最終的關(guān)鍵點.解r當4.-都是g七耳時題述武干的值為 下面證X +Xj十亠+入斗二g氏4)5斗廣召'lSiSrX °（4）丿明這就是題述武子所能取到的最小值 曲逹£空2=s_柯西不等式得« 1（儀+冷+ + xj2二耳 Z -故所求最小值為忑+兀；+忌苜先證明存在性今A靖謹AJ 若為0個則含1干T是樹炳諫徑，將所刁蘭警恥訂有偶數(shù)企. ig洛些冉左叫，七，七吃由 羨曲蘿老慮即卷路Wrn段 匕試趕4,設(shè)G是連通的簡單圖，所有頂點構(gòu)成的集合為八 所

10、9;構(gòu)成的集合力 &稱F的子集H為G的“偶度子圖如果對任何xerf円中一共有偶數(shù)條 邊以工為頂點設(shè)|K|=v.|E =e請冋G_共有多少個“偶度子圖”？注意.E的 空子集0也被視為一個“偶度子圖” 分析:這道題可以看成0.1數(shù)域刁上的一個問題由題述町知答案必為關(guān)干講 的函數(shù)，通過對一些簡單情況（樹、單圈圖、雙圈圖等）的分析不難猜出答案應(yīng) 為2宀，而證明則可以使用分析中用到的歸納法.這里我們使用另一種方法，單 韋出成樹來考慮.解：由于G連通，所以G有生成樹7，令£】為T的所有邊構(gòu)成的集合，E：=E環(huán) 下面找們證明：對任蕙厶的子集£： 存在厶的唯一子集使得場U厶'

11、;是G的且對送F,可中一蔓有奇數(shù)條邊以x為頂點當且僅當*仇七，,這說明 磯礦是G的“偶度子圖”下面來證唯一性假設(shè)還有可UE；使得£/UE也是G的“偶度子圖'：則呂與 場“的對稱差巧二印站=山化au石“4乏耳n礦也是g的“偶度子圖” 且非空.在£沖任取一條邊g 由"偶度子圖"的性質(zhì)知在在由總岀發(fā)的另一 條邊心S同理又存在由七出發(fā)的另一條邊兀忑依此類推.由于F杲有限集， 所以必然會首次岀現(xiàn)某個兀與之前的某個兀是同一個點（】 丿），這樣: 即為耳中的一個圈，但這與乓二E及鳥是樹7的邊集相矛胃！ 因此成立.易知厶=! -1,故 和=G7+1,這說明EJ有

12、種選取方式, 即6共有嚴"個'偎度子圖J試題気設(shè)p是大干3的素數(shù).證明：勺 沙除次p的余數(shù)或者等于1,或者等0干p-l.這里（；）二&!(<?fc)!并約定（即二1分析I這道題可以從兩個方向入手.一個方向是研究題目中的式子，想辦法用同 余變換或使用母12數(shù)來輔助；另一個方向則是硏穗論，事實上可以猜刪最終的式子軒能是形如么丁的式王 然后用Legendre 號的歐拉準則（或是簡單的費 2小定理加因式分解）來證明結(jié)論 直過檢驗p二3發(fā)現(xiàn)a很可能是3的倍數(shù)，再通過檢驗卩=茂可猜測出鼠式當p - l（mod3）對余1,當廠J（mod3）時金T,(?)瓷囲肝）+ 1）丁的二

13、項孔結(jié)i疥二頂式系數(shù)化然后反推岀a=3式展開，這罡其牛 豔頊率可知(J)三(-1) (modp)令八土（尹1（冷則由上式崩知“豆冷（叫切）.而另一方面，/等于1-0 02d早X m嚴=（“（丘+1）嚴=v（tl）才g 左 U £ （口）才（X2 + 疔冋中;項的系數(shù)（第二個瑯和符號中所有項的工次數(shù)均為奇數(shù)）-由（1-別= l-x（modp）及p-心知3+*曠"尸中 廠】項的系數(shù)與A 檢p同余.故只需證明（云4工+1嚴（1-工）尸中申頂?shù)南禂?shù)與1或橫卩同余一 而（x2 + X+ 1/-1（1 -= （1 -X3）1 （1 -X）3（1 -r +屮+.+ 占7）（1-工畑01刃

14、（這 里用到了廳上（-廳（modp）,由戸3知門-1除嘆3的余數(shù)為0或1,故 （1 + H十中曠】項的系數(shù)關(guān)）1或J試題6：求最小的正整數(shù)叩.使得對任何整數(shù)存在多頂式/(X)滿足 /(-2) = .1/(-3) = 5,且/(*)的各項系數(shù)都是不超過常的非負雙數(shù)分析：通過較"戲的試驗易知Q 5且猜測也的最小值就是5冋題轉(zhuǎn)化為證明 甘任何整數(shù)45都存在這樣的多頂式.基本思躋為先構(gòu)造一個一次函數(shù)過 (7.4)和(-3,2?)點，然后用疋+% + 6的倍數(shù)加上去，先滿足低這項系數(shù)，再滿足高次項系數(shù) 遺憾的是，疋以卄6的二汝項系數(shù)與一次項系數(shù)之和恰等于常 數(shù)項,從而使得對系數(shù)謖降很難奏效因此

15、我們采取另一個做法一一對(衛(wèi)遞陣解I當J = 5 = 5B1.易知/的常數(shù)頂必徹6余5,故譏5, TW證明蜩=5 滿足題目條件.即命趣“弘訃):存在多項式八力滿足= 且的各頊系數(shù)都是不超過5的韭負整數(shù)”對任蕙整數(shù)42均成立.2|禺-心3二 則設(shè)對應(yīng)鳴多元 又 g(-2) =令A(yù)ARlR,對任意正整數(shù)£二若生d已匡地 則取0丄234,5滿足眾諭滿足題屮取正整數(shù)詢爲4礙訃由迭代知"金由等比數(shù)列家和公式易知壬一務(wù)的正項之和最多為:礙+蘭,負項之和最少為 *-1 (-*) * * )結(jié)日£是整數(shù)及 尋|< ?知丄一;w-】,0,匕二.同3?町難得 56 0.1.為了證明KAB)即只心BJ成立,由前述知只需證明