積分不等式的證明

1、數(shù)學(xué)分析論文積分不等式的證明一、證明常用的性質(zhì)性質(zhì)1函數(shù)的代數(shù)和的積分等于各個(gè)函數(shù)積分的代數(shù)和bbbKf (x) +k2g(x)dx = k1 ( f (x)dx + k2 g(x)dx其中 k1,k2 都是常數(shù)。性質(zhì) 2 如果在區(qū)間a,b上 f(x)=1,則 fld(x) = f d(x) =b-a。a ab性質(zhì) 3 如果在區(qū)間a,b上 f(x)_ 0,則.f (x)dx_0(a ： b)。a、bb性質(zhì) 4 如果在區(qū)間a,b上有 f(x)_g(x)則 f(x)dx _ g(x)dx(a ： b)bb性質(zhì) 5f(x)dx 蘭 f f (x)dx(a cb)Laa性質(zhì)6 (估值定理) 如果M和m

2、分別是f(x)在區(qū)間a,b上的最大值和最小b值，則有 m(b - a)乞 f (x)dx 豈 M (b -a),(a ： b)?！癮性質(zhì)7如果函數(shù)f (x)在區(qū)間上可積，c是a,b內(nèi)的一點(diǎn)(a ： c ： b),則函數(shù)bccf (x)在a,c及c,b上也可積，并且f (x)dx f(x)dx f (x)dx。*a"a"b性質(zhì)7的證明：對(duì)于a,b的任意劃分，在插入一個(gè)分點(diǎn)c,得到一種新的分劃。在這些心的分劃中，點(diǎn)c永遠(yuǎn)是一個(gè)分點(diǎn)，因而有 瓦fG)Ax=：T fG)占Xj+瓦 fG)M(a,b)(a,c)(c,b)bcb令-0，上式兩端同時(shí)取極限，就得到 f(x)dx f(x)

3、dx亠I f(x)dx。aLaLc積分中值公式 如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至少存在點(diǎn)，使得 f (x)dx = f ( )(b-a),(a _ - b)。a證明：因?yàn)閒 (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，故在a,b上可積，且有最大值M及最小值m，即m空f(x)乞M(a- b)于是，由定積分的估值定理，有bm(b-a)空 f (x)dx 玄M (ba),(a :： b)a1 b注意b=a,將上面各式除以b-a,得mf(x)dx Mb _a a1 b可見確定的數(shù)值f(x)dx介于連續(xù)函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a, b上最大值b a aM與最小值m之間。根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的

4、介值定理，在 a,b上至少存在b一點(diǎn) ，使得 f ( J 二，即卩 f ( J - f (x)dx,(a 乞 < b) b -a占b亦即 a f (x)二 f ( )(ba),(a _- b)這個(gè)公式叫做積分 中值公式(積分第一中值定理)，f)叫做函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上積分平均值。性質(zhì)8若f,g都在a,b上可積，則f在a,b上也可積。baa性質(zhì) 9 f(x)dx = f (x)dx特別的 f(x)dx=O。性質(zhì)10 (積分第二中值定理)：若f(x)是a,b上單調(diào)函數(shù)，g(x)為可積函bb數(shù)，貝則ea,b，使得 & f (x)g(x)dx = f (a) & g(x)

5、dx f(b) .g(x)dx。性質(zhì)11 (柯西不等式)f (x)g(x)dx"f 2(x)dx g2(x)dx牛頓一萊布尼茲°a°a°a公式(重要公式)若函數(shù)f (x)在a, b上連續(xù)，F(xiàn)(x)為f (x)的一個(gè)原函數(shù)，即 F (x)二 f(x),x a,b,且 bf(x)dx 二 F(b) -F(a)a變限積分 設(shè)f (x)在a,b上可積，對(duì)于任給X a,b, f(x)在a,x和x,bxb上均可積，分別稱.f(t)dt和.f (t)dt為變上限的積分和變下限的積分，統(tǒng)稱為 ax變限積分。若f在a,b上連續(xù)，則其變限積分作為關(guān)于x的函數(shù)，在a,b上處處

6、可導(dǎo)，且(xf (t)dt)二 f(x),2( b f (t)dt) (x)dx adx xg ( x)更一般的有 一f(t)dt = f g(x)g (x) - f h(x)h (x)dx血)二、積分不等式的證明例1.設(shè)f (x)在a,b上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(a)=0，證明：b(b _a)2 I amax|f (x)|3數(shù)學(xué)分析論文4數(shù)學(xué)分析論文2f (x)dx <(b-a)22f (X) dx分析：(1)該不等式實(shí)際上給出了左邊積分的一個(gè)界。若令m -max"(x)|，則有| f(X)氏M，即給出了導(dǎo)數(shù)的界，再加條件f(a) = 0 ,估計(jì)出| f (x) M (x -

7、a), x a, b，進(jìn)而估計(jì)出積分的界。x(2)不等式兩邊分別有f(x)和f (x)，而等式f (x)二f (x)dx f(X。)可將兩Lxo者聯(lián)系起來，這里X。要根據(jù)具體問題具體選擇，本題中容易想到X。=a。證明：(1)令M二max | f (x) |，由積分中值定理知f(x)= f(x) - f (a) = f ( )(x-a)從而| f(x)日 f ( )(xa)匡 M(x a),x a,b所以2bbb(b «a)| f(x)dx| |f(x)|dx M(x-a)dxMaLa-a2xxf (x) = a f (t)dt f (a)二 a f (t)dt，則f 2(x) = J

8、X f dt2 蘭1dtf (t)2d- Jb廠(x)2dxaaa2at , b 2b2 b故 f (x)dx 乞f (t) dt (x-a)dx aaLa(b-a)22b2af (X) dx1 1例2.比較定積分oeXdx與0 (V x)dx的大小。解：(用性質(zhì)3)設(shè)f(x) =ex -1 - x,我們只需判別f(x)在0,1的正負(fù)號(hào),因 f(x)=eX-1-0，f(0)=0,故 f(x)_0。1 1 所以.0eXdx > 0 (1 +x)dx。例3.設(shè)函數(shù)y二f(x)定義在區(qū)間a,b上，且對(duì)于區(qū)間a,b上任意二點(diǎn)捲，X2，有 f(X1) - f(X2)乞 X1 -X2。證明，(1)對(duì)

9、于(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)，f(x)是連續(xù)函數(shù)；5數(shù)學(xué)分析論文b1(2)如果 f (x)在a, b上可積，則f (x)dx _(b-a) f (x)蘭 2(b-a)2。證明：(1)任給x. (a,b),由題設(shè)知=| f(X+&) f(X)蘭 Ax.于是當(dāng)x > 0時(shí)，：y > 0，故f(x)連續(xù)。(2)當(dāng) x 3 a 時(shí)，有 f (x) f (a)蘭 x - a = x a，艮卩f (a) -(x -a)乞 f (x)豈 f (a) (x -a)。bbb兩邊積分，可得 J f (a) _(x a)dx 乞f (x)dx 蘭 J f (a)十(x _a)dx°aa

10、6;a即-(ba)2 乞 bf(x)dx-(b-a)f(a) Jba)22也2故有f(x)(ba)f(a) Jba)例4.設(shè)f (x)在a,b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，M =max|f"(x)|，證明:X 耶 a,bba b M3|af(x)d-(a)f()-(a)方法1 :由泰勒公式有f(xrf( 2)f(U)(x-寧)2f ( )(xa b、2b a + b兩邊在a,b上積分并注意到(x- b)dx=O得陽2ba b 1 bf f (x)dx =(b a)f () +- f f -)(x-a22 a2 )2dx ，從而得I ：f(x)dx(ba)f(¥)1la 2 2()(x-

11、¥)2dx|斗.：(x2a 2 2 a 23b a b)2dx-M(b a)24x萬法 2: 令 F(x) f(t)dt，則 F (x)二 f (x), F (x)二 f (x), F (x)f (x)且b f(t)dt =F(b)-F(a)(牛頓-萊布尼茲公式)， a由泰勒公式有:F(b)=F( 2a b) F (口)口F (口“口)?2 2 2 2 2，(心篤"(守)丁+沖守)(丁)2.F(1)(b-a)36( 2 ).F ( 2)(a-b)36( 2 )(1)由(1) - (2)得3F(b) -F(a)二 F (學(xué))(b -a)( J F ()2483所以 | f f

12、(x)dx -廠(學(xué))(b-a)匸I f “(:J f 2)|M(ba)324824例5.設(shè)f (x)為0,1上的非負(fù)單調(diào)非增連續(xù)函數(shù)(即當(dāng)x ： y時(shí)，f(x) . f(y) 證明:對(duì)于0 ： 1,有下面的不等式成立° f(x)dx = f(x)dx。證法1：(用積分中值定理)由題設(shè)及中值定理有f(x)dx 二 f( 1)( 1 ->)乞 f(a)： -a),(_ Ja1 : 1從而 f(x)dx_f(a)f (x)dxP aP因此可得(一-1) o f (x)dx _ _ f (x)dxa jetot(1 - ：)0 f (x)dx 一 ： f (x)dx-aaQf p又因

13、 0 J：-： 1,所以 1 一 = ： 1,故 o f (x)d f (x) dx。證法2：(用性質(zhì)3)_ aa P/r ,分析：0 f (x)dx色百 L(x)dx可化為aPaP氣 f (x)dx" f(x)dxn 打 f (x)d f (x)d0aP將：換成 X(X ：)，于是輔助函數(shù) F(x) =Xp f(t)dt-f(t)dt.人aB令 F (x) = x o f (t)dt -_ f (t)dt.(x _ -)F (x)二 一 f (t)dt-： f (x)二 f(t)dt- ' f (x)dt0 0 0二 J'f (t) - f (x)dt _0 (因?yàn)?/p>

14、 f (x)單調(diào)遞減)所以 F(x)單增，又因?yàn)?F(a)ff(t)dt>O(a >0, f(x)>0)fyn aP所以 F(B)a0。即廬f(x)dx-a f (x)dx KOota P故 0 f (x)dx X 百 J f (x)dx o例6.設(shè)a . 0，函數(shù)f (x)在0, a上連續(xù)可微,1 aa證明：f (0)| 篤 0 f(x)dx+(|(x)dx證法1:因?yàn)閒(x)在0,a上連續(xù)可微a所以積分，0 (a-x) f "(x)dx存在，且aa0 (a-x)f (x)dx0 (a-x)df (x)aa- af (0) = 0 (a - x) f (x)dx

15、- 0 f (x)dxia=(a x)f(x)a - 0 f(x)d(a x)a二-af(0) q f(x)dx因?yàn)?af(x)蘭 £ (ax) f "(x)dx + f f (x)dx蘭 f(a-x) f (x)dx+J：|f (x)dxf "(x)dx+ (I f (x)dx所以f (0)1 a<0 f(x)|dx+f(x)|dxa證法2:因?yàn)閒(x)連續(xù)，由積分中值定理，存在0,a，使得ao f (x)dx = f ( %E£0 fx)dx又因?yàn)?f( E - f (0) = 0 f"(x)dx 所以 | f(0) = f(

16、4; J。f'(x)dx 蘭 f(© f (x)dx + J0|(x)dx<1 aa -例7.設(shè)f (x)為a,b上的連續(xù)遞增函數(shù)，則不等式成立:a b b0 f(x)dx J f (x)dxbaxf (x)dx - a f(x)dx(1)9數(shù)學(xué)分析論文證明：（用性質(zhì)10）要證（1）式只要證明仏-竽）心）心(2)10數(shù)學(xué)分析論文#數(shù)學(xué)分析論文由于f(x)單調(diào)遞增，利用積分第二中值定理(性質(zhì) 10),則存在a,b,b a b使 a(x- 2)f(x)dx© a+bb a+b二 f (a) a (x)dx f (b) (x)dx2 一 2b a+ba + b= f

17、(a)(x 2 )dx+f(b) f (a)(x 2 )dx2 - 2二f(b) -f(a)b¥(b-)2 2b _巴二f(b)-f(a)2 ( -a)_0故(2)成立，原不等式成立。例8.柯西不等式的證明。bbb證明：柯西不等式為f (x)g(x)dx2 乞 f 2(x)dx g2(x)dx。"a*aLab2 b 2b 2設(shè)' (u)珂 a f(x)g(x)dx2 - a f2(x)dxag2(x)dx顯然（u）在a, b上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，且u2 u 22 u 2屮氣u) =2f (u)g(u) a f(x)g(x)dx f 2(u) f g2(x)dx

18、 g2(u) f2(x)dx =2 “ f(u)g(u)f(x)g(x)dx- " f 2(u)g2(u)dx - " f2(x)g2(u)dx aaa=-f 2(u)g2(x) -2f (u)g(u)f (x)g(x) + f 2(x)g2(u)dxu2=af (u)g(x) - f(x)g(u) dx 咗 0所以' (u)在a,b上單調(diào)減少，則t(b)L (a) = 0，即v(b)=J f(x)g(x)dx2 J f2(x)dxj g2(x)dx0aaa得到結(jié)論b f(x)g(x)dx2 乞 b f 2(x)dx bg2(x)dx。aaa例9.設(shè)f（x）的一階導(dǎo)

19、數(shù)在0,1上連續(xù)，且1f (0) = f (1) = 0，求證：f f (x)dx11 < max f (x)4 0_a1 1 1 證明：由于 q f(x)dx f (x)d(x )1=f (x)(x21 1-0(x -尹(x)dx.因此有積分中值定理及基本積分不等式，有xdx2f (x)dx W (X -右)f "(x)dx = 0 f (x)，1 1X-dx =21 1 11)dx = 4,02(,x)dx 1(X2)=f () 0- dx = 0,1.12數(shù)學(xué)分析論文所以1 1 , 1 if(x)dx£fe 遼max(x)。例10.函數(shù)f (x)在0,1上有定義

20、且單調(diào)不減，證明：對(duì)于任何(0,1)，有a10 f(x)dx a 0 f (x)dx。證明：(分析：用換上限法)由0 : a <1,對(duì)t 0，有0 ： at :：: t .又由于f(x)在0,1上單調(diào)不減，有 ax =at 111f(at) 一 f (t)，從而 0 f (x)dx 二 a ° f (at)dt - a ° f (t)dt 二 a 0 f (x)dx例11.設(shè)f (x)是a,b的連續(xù)函數(shù)，而且是非負(fù)和下凸的，f(0)=0求證:12 f (x)dx <-10 f(x)dx。證明：1 x-令:©) =4 0 f(t)dt - 02 f(t)

21、dt，貝U：(0) =0，11 x11Xij (x)二 f(x) - f ( H f (x) - f( )f(0)422422x 1 由于 f(x)下凸的，故 f(-f(x)f(0)。2 2所以G(x)0, ："x)在0,1上單調(diào)增加，從而G(x)(0)=0即#數(shù)學(xué)分析論文1 xX 0,14 0 f(t)dt - 02 f(t)dt 一0,其中,特別，當(dāng) x =1 時(shí)，o2 f (t)dt10 f(t)dt o例12.設(shè)f (x)在a,b上二階可導(dǎo),且 f (x) ： 0 ,求證:ba ba f (x)dx 乞(b a) f( ) o證明：令:：(x) = (x-a) f(a x)-

22、2x.f(t)dt ,則aa + x 1a + x尬(a) = 0，棄：(x) = f ( 一)一(x - a) f ( x) f (x)2 2 2f(a X) x -af財(cái)小號(hào))f詈號(hào)中()(寧)2所以，叮(x)_0 oba + b特別的有；:(b)_0。即 f (x)dx _ (b - a) f ( -) a2例13.求證:2sinxdx<1 x2ji/OSXdX o1 x2分析：只要證71 .2 sin x -c°sxdx乞0,利用三角函數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換及定積1 x2分的性質(zhì)證之。證明：設(shè)t sin xcosx ,2dx 二x2誇nx-cosxdx 竺I1 I2 , 在 I2 中，令1x221 x20 sin t - cost , dt4 二 24 1( t)2cost-Sintdt，即兀21(二一 t)- 2二(sinx - cosx)1 ( x) (cosx-sinx)(142x2)2-n - 2/Vdx二(sin x - c