數(shù)學(xué)物理方法第二章 第一講

1、 2.1 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分 2.2 柯西積分定理柯西積分定理 2.3 不定積分不定積分 2.4 科西積分公式科西積分公式 (1) 柯西積分定理柯西積分定理(單、復(fù)連通區(qū)域單、復(fù)連通區(qū)域) (2) 柯西積分公式柯西積分公式(單、復(fù)連通單、復(fù)連通) (3) 高階導(dǎo)數(shù)公式及其應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)公式及其應(yīng)用LLLLPPQQQPLLLLLL簡單開曲線簡單閉曲線開曲線閉曲線( )( , )i ( , )f zu x yx ywvLLLab011, , , , ,kknz zzzz1 (1,2,., )kkzzknk1()nnkkkSfz1kkkzzz1kkkszz x y 0za 1kz kz k

2、nzb 2.1 1z2z1maxkk ns 0nS( )dLf zz01( )dlim()nkkLkf zzfzlzzfd)( )f zlzzfd)(lzzfd)(kkkyxzj( )f z( )d ( , )d( , )d i ( , )d( , )d LLLf z zu x y xx y yx y x u x y yvvkz),(j),()(yxvyxuzf于是，復(fù)變函數(shù)的路積分可以歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)變函于是，復(fù)變函數(shù)的路積分可以歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)變函數(shù)的曲線積分。數(shù)的曲線積分。( )f zLL1L2L12( )d( )d( )dLLLf z zf z zf z zk( )d( )dLLkf zzkf

3、 zz1212 ( )( )d( )d( )dLLLf zf zzf z zf z z ( )d( )dLLf zzf zz LL( )d( ) d( ) dLLLf z zf zzf zSdS22d(d )(d )SxyLLL( )f z( )f z( ) (0)f zMM( )dLf zzMll( )f zL( )f zM( ) dddLLLf zSM SMSMl( )d( ) dLLf zzf zS( )dLf zzMldCzz3 ,4 , 01xt ytt () 3 i4, 01z tttt 11222001d(3 4i) d(3 4i)d(3 4i)2Cz zt tt td(i )(

4、did )ddiddCCCCz zxyxyx xy yy x x ydCz zC21(3 4i)2 L D 圖 2.2 l G ()f z( )f zDDDl0d)(lzzf0d)(Lzzf( )ddd( dd )d dd dllssf zzuxvyi vxuyvuuvxyixyxyxy( )( , ) i ( , )f zu x yx y v( )fz, uuxyxy vv0d)(lzzf( )f zDDl0d)(lzzfD0d)(zzf L 1C D 圖 2.4 2C kC nkCLkzzfzzf1d)(d)( 不失一般性，取不失一般性，取n1進(jìn)行證明進(jìn)行證明. 有下述定理：有下述定理： 定理定理2.2.3 設(shè)設(shè) L和和 為復(fù)連通區(qū)域內(nèi)的兩條為復(fù)連通區(qū)域內(nèi)的兩條簡單閉曲線，如圖簡單閉曲線，如圖2.5所示，所示， 在在L內(nèi)部且彼此內(nèi)部且彼此不相交，以不相交，以 和和L為邊界所圍成的閉區(qū)域?yàn)檫吔缢鶉傻拈]區(qū)域 全全含于含于D則對(duì)于區(qū)域則對(duì)于區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù)f (z)，有，有1C1C1d)(d)(CLzzfzzf0d)(1CLzzf1D或 L 1C A B 1D D