三角函數(shù)高考題型解析(含作業(yè))

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載三角函數(shù)的主要考點(diǎn)是：三角函數(shù)的概念和性質(zhì)（單調(diào)性，周期性，奇偶性，最值），三角函數(shù)的圖象，三角恒等變換（主要是求值），三角函數(shù)模型的應(yīng)用，正余弦定理及其應(yīng)用，平面向量的基本問題及其應(yīng)用題型 1 三角函數(shù)的最值：最值是三角函數(shù)最為重要的內(nèi)容之一，其主要方法是利用正余弦函數(shù)的有界性，通過三角換元或者是其它的三角恒等變換轉(zhuǎn)化問題例1若 x 是三角形的最小內(nèi)角， 則函數(shù)ysin xcos xsin xcos x的最大值是（）A 1B 21212CD22的，而 sin x21 2sin x cosx ，換元解分析： 三角形的最小內(nèi)角是不大于cosx3決點(diǎn)評(píng)： 涉及到 sin xcosx

2、 與 sin x cosx 的問題時(shí)，通常用換元解決例 2 已知函數(shù) f ( x) 2asin x cos x 2b cos2 x ，且 f (0)8, f () 126（ 1）求實(shí)數(shù) a ， b 的值；（ 2）求函數(shù) f ( x) 的最大值及取得最大值時(shí)x 的值分析： 待定系數(shù)求 a ， b ；然后用倍角公式和降冪公式轉(zhuǎn)化問題點(diǎn)評(píng)：結(jié)論 a sinb cosa2 b2 sin是三角函數(shù)中的一個(gè)重要公式，它在解決三角函數(shù)的圖象、 單調(diào)性、 最值、周期以及化簡求值恒等式的證明中有著廣泛應(yīng)用，是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的工具，是聯(lián)系三角函數(shù)問題間的一條紐帶，是三角函數(shù)部分高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容題型 2 三角函數(shù)的圖象

3、： 三角函數(shù)圖象從 “形”上反應(yīng)了三角函數(shù)的性質(zhì)， 一直是高考所重點(diǎn)考查的問題之一例 3（ 2009 年福建省理科數(shù)學(xué)高考樣卷第8 題） 為得到函數(shù) y cos 2x 的圖象，3只需將函數(shù) ysin 2 x 的圖象A 向左平移5個(gè)長度單位B向右平移 5個(gè)長度單位1212C向左平移5個(gè)長度單位D向右平移 5個(gè)長度單位66分析：先統(tǒng)一函數(shù)名稱，在根據(jù)平移的法則解決學(xué)習(xí)必備歡迎下載yyyy32222 -2-oxo2 -2 -3x oo3x2222ABCD例 4（ 2008 高考江西文10）函數(shù) ytan x sin x tan xsin x 在區(qū)間 ( ,3) 內(nèi)的22圖象是分析：分段去絕對(duì)值后，結(jié)

4、合選擇支分析判斷 點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當(dāng)不注意正切函數(shù)的定義域或是函數(shù)分段不準(zhǔn)確時(shí)，就會(huì)解錯(cuò)這個(gè)題目題型 3 用三角恒等變換求值： 其主要方法是通過和與差的，二倍角的三角變換公式解決例 5 （ 2008 高考山東卷理5）已知 cossin43 ，則 sin7 的值656是232344A 5B CD555分析：所求的 sin7sin() ，將已知條件分拆整合后解決66點(diǎn)評(píng) ：本題考查兩角和與差的正余弦、誘導(dǎo)公式等三角函數(shù)的知識(shí)，考查分拆與整合的數(shù)學(xué)思想和運(yùn)算能力解題的關(guān)鍵是對(duì)cossin4的分拆與整合635例 （2008高考浙江理）若 cos2sin5, 則tan=68A 1

5、B 21D 22C2分析：可以結(jié)合已知和求解多方位地尋找解題的思路點(diǎn)評(píng) ：本題考查利用三角恒等變換求值的能力，試題的根源是考生所常見的“已知sincos1 ,0, ，求 tan的值（人教 A 版必修 4 第三章復(fù)習(xí)題B 組最后5一題第一問） ”之類的題目 ，背景是熟悉的，但要解決這個(gè)問題還需要考生具有相當(dāng)?shù)闹R(shí)遷移能力題型 4 正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用：這類問題通常是有實(shí)際背景的應(yīng)用問題，主要表現(xiàn)在航海和測量上，解決的主要方法是利用正余弦定理建立數(shù)學(xué)模型例 7（ 2008 高考湖南理19）在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E 為中心的 7 海里以內(nèi)海域被設(shè)32x學(xué)習(xí)必備歡迎下載為警戒水域點(diǎn)E正北 55海里處有

6、一個(gè)雷達(dá)觀測站A 某時(shí)刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A 北偏東 45且與點(diǎn) A 相距 40 2 海里的位置 B ，經(jīng)過40 分鐘又測得該船已行駛到點(diǎn)A 北偏東 45( 其中 sin2690)且與點(diǎn) A相距， 02610 13海里的位置 C （ 1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）；（ 2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說明理由分析 ：根據(jù)方位角畫出圖形，如圖第一問實(shí)際上就是求BC 的長，在ABC 中用余弦定理即可解決；第二問本質(zhì)上求是求點(diǎn)E 到直線 BC 的距離，即可以用平面解析幾何的方法，也可以通過解三角形解決點(diǎn)評(píng)： 本題以教材上所常用的航海問題為背景，考查

7、利用正余弦定理解決實(shí)際問題的能力，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)坐標(biāo)方位畫出正確的解題圖本題容易出現(xiàn)兩個(gè)方面的錯(cuò)誤，一是對(duì)方位角的認(rèn)識(shí)模糊，畫圖錯(cuò)誤；二是由于運(yùn)算相對(duì)繁瑣，在運(yùn)算上出錯(cuò)題型 5 三角函數(shù)與平面向量的結(jié)合：三角函數(shù)與平面向量的關(guān)系最為密切，這二者的結(jié)合有的是利用平面向量去解決三角函數(shù)問題，有的是利用三角函數(shù)去解決平面向量問題，更多的時(shí)候是平面向量只起襯托作用，三角函數(shù)的基本問題才是考查的重點(diǎn)例8 （ 2009年杭州市第一次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測理科第 18題）已知向量a(2 cosx,cos2 x), b (sinx,1) （，0 ），令 f ( x)a b ，且 f ( x) 的周期為 (

8、1) 求 f的值； (2) 寫出 f x 在 , 上的單調(diào)遞增區(qū)間422分析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的計(jì)算公式將函數(shù)fx的解析式求出來， 再根據(jù) f ( x) 的周期為就可以具體確定這個(gè)函數(shù)的解析式，下面只要根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決即可 點(diǎn)評(píng) ：本題以平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算為入口，但本質(zhì)上是考查的三角函數(shù)的性質(zhì)，這是近年來高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)例 9（ 2009 江蘇泰州期末 15 題）已知向量 a3 sin, cos ， b2sin,5sin4cos ，3 , 2，且2ab （ 1）求 tan的值；（2）求 cos23的值分析 ：根據(jù)兩個(gè)平面向量垂直的條件將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角函數(shù)的等式，通過這

9、個(gè)等式探究第一問的答案，第一問解決后，借助于這個(gè)結(jié)果解決第二問點(diǎn)評(píng) ：本題以向量的垂直為依托，實(shí)質(zhì)上考查的是三角恒等變換在解題要注意角的范圍對(duì)解題結(jié)果的影響題型 6 三角形中的三角恒等變換：這是一類重要的恒等變換，其中心點(diǎn)是三角形的內(nèi)角學(xué)習(xí)必備歡迎下載和是 ，有的時(shí)候還可以和正余弦定理相結(jié)合，利用這兩個(gè)定理實(shí)現(xiàn)邊與角的互化，然后在利用三角變換的公式進(jìn)行恒等變換，是近年來高考的一個(gè)熱點(diǎn)題型例 10（ 安徽省皖南八校2009 屆高三第二次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)17 題） 三角形的三內(nèi)角A ，B ，C 所對(duì)邊的長分別為a ，b ，c ，設(shè)向量 m(ca, ba), n(ab,c) ，若 m / /n ，（ 1

10、）求角 B 的大小；（ 2）求 sin A sin C 的取值范圍分析 ：根據(jù)兩個(gè)平面向量平行的條件將向量的平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形邊的關(guān)系，結(jié)合余弦定理解決第一問，第一問解決后， 第二問中的角A,C 就不是獨(dú)立關(guān)系了，可以用其中的一個(gè)表達(dá)另一個(gè)，就把所要解決的問題歸結(jié)為一個(gè)角的三角函數(shù)問題點(diǎn)評(píng) ：本題從平面向量的平行關(guān)系入手，實(shí)質(zhì)考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等變換，解決三角形中的三角恒等變換要注意三角形內(nèi)角和定理和角的范圍對(duì)結(jié)果的影響題型 7用平面向量解決平面圖形中的問題：由于平面向量既有數(shù)的特征（能進(jìn)行類似數(shù)的運(yùn)算）又具有形的特征，因此利用平面向量去解決平面圖形中的問題就是必然的了，這在

11、近年的高考中經(jīng)常出現(xiàn)考試大綱明確指出用會(huì)用平面向量解決平面幾何問題例 11.如圖，已知點(diǎn) G是 ABO 的重心，點(diǎn) P 在 OA 上，點(diǎn) Q 在 OB 上，且 PQ 過ABO的重心 G， OPmOA ， OQ11nOB ，試證明為常數(shù)，并求出這個(gè)常mn數(shù)分析 ：根據(jù)兩向量共線的充要條件和平面向量基本定理，把題目中需要的向量用基向量表達(dá)出來， 本題的本質(zhì)是點(diǎn)P,G,Q 共線，利用這個(gè)關(guān)系尋找m, n 所滿足的方程【點(diǎn)評(píng)】平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要工具，它有著廣泛的應(yīng)用，用它解決平面幾何問題是一個(gè)重要方面，其基本思路是根據(jù)采用基向量或坐標(biāo)把所要解決的有關(guān)的問題表達(dá)出來，再根據(jù)平面向量的有關(guān)知識(shí)加以處

12、理課標(biāo)區(qū)已把幾何證明選講列入選考范圍，應(yīng)引起同學(xué)們的注意題型 8 用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)問題：導(dǎo)數(shù)是我們?cè)谥袑W(xué)里引進(jìn)的一個(gè)研究函數(shù)的重要工具，利用導(dǎo)數(shù)探討三角函數(shù)問題有它極大的優(yōu)越性，特別是單調(diào)性和最值例 12. 已知函數(shù)f ( x)cos2 x2t sin xcos xsin 2 x ，若函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 (, 上12 6是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)t 的取值范圍分析： 函數(shù)的 fx 導(dǎo)數(shù)在 (, 大于等于零恒成立12 6點(diǎn)評(píng)： 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，是解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要的學(xué)習(xí)必備歡迎下載思想意識(shí)本題如將f (x) 化為 fxt sin 2xcos2xt 21sin(2 x

13、) 的形式，則與 t 有關(guān)，討論起來極不方便，而借助于導(dǎo)數(shù)問題就很容易解決題型 9 三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用： 將三角函數(shù)和其它的知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合而產(chǎn)生一些綜合性的試題，解決這類問題往往要綜合運(yùn)用我們的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想，全方位的多方向進(jìn)行思考例 13.設(shè)二次函數(shù)f ( x) x2bx c( b, c R)，已知不論，為何實(shí)數(shù)，恒有f (sin) 0 和 f (2cos )0 （ 1）求證：（ 2）求證：bc1 ；c3 ；（ 3）若函數(shù) f (sin) 的最大值為8 ，求 b， c 的值分析： 由三角函數(shù)的有界性可以得出f 10，再結(jié)合有界性探求f (sin)0點(diǎn)評(píng)： 本題的關(guān)鍵是b c 1 ，由c

14、os )利用正余弦函數(shù)的有界性得出f (20f 10，從而 f (1)0 ，使問題解決，這里正余弦函數(shù)的有界性在起了重要作用f 10【專題訓(xùn)練 】一、選擇題1若0,2 ) ，且 1cos21sin2sincos ，則的取值范圍是 （）A0,B ,C , 3 D 3, 2)22222設(shè) 是銳角，且 lg(1cos)m ， lg1n ，則 lgsin（）cos1A m nB 1 (m1 )C m nD1(1n)2n22m00。a b（）若 | a |2sin15 ,| b |4cos15，a與b的夾角為30，則3A 3B 3C2 312D24若 O為ABC 的內(nèi)心，且滿足(OBOC ) (OBOC

15、2OA)0，則ABC 的形狀為（）學(xué)習(xí)必備歡迎下載A 等腰三角形B 正三角形C直角三角形D鈍角三角形5在 ABCabcABC 是（）中，若，則cos A cos BcosCA 直角三角形B等邊三角形C鈍角三角形D等腰直角三角形6已知向量 OB ( 2，0) 、OC(2，2) 、CA (2 cos ， 2 sin) ，則直線 OA 與直線 OB的夾角的取值范圍是（）A 5B 55， D 0， ， ， C 12124121224二、填空題7 sin6 xcos6 x 3sin 2 x cos2x 的化簡結(jié)果是 _8若向量 a 與 b 的夾角為，則稱 ab 為它們的向量積，其長度為| a b | |

16、 a | | b |sin，已知 | a |1， | b | 5，且 a b4 ，則 | ab |_ 9 一貨輪航行到某處， 測得燈塔 S 在貨輪的北偏東15 ，與燈塔 S 相距 20 海里，隨后貨輪按北偏西30 的方向航行30分鐘后， 又得燈塔在貨輪的東北方向， 則貨輪的速度為每小時(shí)海里三、解答題10 已知：（ 1）求1sin 2() 4cos2tan(， tan()2)10cos23sin 2tan() 的值；（ 2）求 tan的值11 已知函數(shù) fx3 sin2x2sin 2 (x)x R 6121fx2fx取得最大值的x 的集合（ ）求函數(shù)的最小正周期； （ ）求使函數(shù)12已知向量 a(cos,sin) ， b (cos ,sin)， a25b55（ 1）求 cos()的值