數(shù)列通項(xiàng)公式的求法論文

1、淺談求數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種方法數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的核心內(nèi)容之一，它如同函數(shù)中的解析式一樣,有了解析式便可研究起性質(zhì)等；而有了數(shù)列的通項(xiàng)公式便可求出任一項(xiàng)以及前n項(xiàng)和等。因此，求數(shù)列的通項(xiàng)公式往往是解題的突破口、關(guān)鍵點(diǎn)。作為一線教師，本人根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)結(jié)合近年來(lái)的數(shù)列考查動(dòng)向，將求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法做一總結(jié),希望能對(duì)廣大考生的復(fù)習(xí)有所幫助。下面我就談?wù)勄髷?shù)列通項(xiàng)公式的幾種方法：一、觀察法 即歸納推理，一般用于解決選擇、填空題。過(guò)程：觀察概括、推廣猜出一般性結(jié)論。例1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫(xiě)出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3）（4）（5），。解：（1）變形為：1011

2、，1021，1031，1041， 通項(xiàng)公式為：（2） （3） （4）. （5）點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵是找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系。 針對(duì)性訓(xùn)練： 3 33 333 333 3333 （） （）二、 定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目例2 ：等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 解：設(shè)數(shù)列公差為d(d>0)成等比數(shù)列，點(diǎn)評(píng)：當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí)，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求得首項(xiàng)及公差公比。針對(duì)性訓(xùn)練： 已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析：由題意，又是等比數(shù)列，公比為，

3、故數(shù)列是等比數(shù)列， 三、公式法，即已知數(shù)列前n項(xiàng)和，求通項(xiàng)。例3：已知下列兩數(shù)列的前n項(xiàng)和sn的公式，求的通項(xiàng)公式。（1）。 （2）解： （1）=1=3此時(shí)，。=3為所求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（2），當(dāng)時(shí) 由于不適合于此等式 。 點(diǎn)評(píng)：要先分n=1和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。針對(duì)性訓(xùn)練：已知數(shù)列前n項(xiàng)和滿足：，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式。 已知數(shù)列中, 且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以：解:由已知得,化簡(jiǎn)有,由類型(1)有,又得,所以,又,則此題也可以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)求解.四、累加法遞推公式為 ，其中的和比較易求 ，通常解法是把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累加法(逐差相加法)求解。例4. 若

4、在數(shù)列中，求通項(xiàng)。解析：由得，所以，將以上各式相加得：，又所以 =針對(duì)性訓(xùn)練：已知數(shù)列中，求的通向公式解： 由已知得， 令，代入個(gè)等式累加，即 五、累乘法推公式為。解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法求解。例5 已知數(shù)列滿足，求的通向公式。 解：由條件知，分別令n=1，2，3，(n-1)，代入上式得(n-1)個(gè)等式累乘之，即 針對(duì)性訓(xùn)練：設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（=1，2， 3，），則它的通項(xiàng)公式是=_.解：已知等式可化為：()(n+1), 即時(shí)，=.評(píng)注：本題是關(guān)于和的二次齊次式，可以通過(guò)因式分解（一般情況時(shí)用求根公式）得到與的更為明顯的關(guān)系式，從而求出.六、輔助數(shù)列法6.1形如型（1）若

5、，即（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：一般采用待定系數(shù)法將原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解例6 已知數(shù)列中，求。解： 令與已知比較，得，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列所以 即 (2)若(其中k,b是常數(shù)，且)求通項(xiàng)方法有以下兩種方向：.相減法例7.在數(shù)列中，求通項(xiàng).解：， 時(shí)，兩式相減得 .令,則利用類型5的方法知即 再由累加法可得.亦可聯(lián)立 解出.待定系數(shù)法例8. 在數(shù)列中，,求通項(xiàng).解：原遞推式可化為比較系數(shù)可得：x=-6,y=9,上式即為所以是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng),公比為. 即：故.(3)若(其中q是常數(shù)，且n0,1)若p=1時(shí)，即：，累加即可.若時(shí)，即：，

6、求通項(xiàng)方法有以下三種方向：i. 兩邊同除以.即： ,令，則,然后類型1，累加求通項(xiàng).ii.兩邊同除以 . 即： ,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型5來(lái)解，iii.待定系數(shù)法：設(shè).通過(guò)比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).例9.（2003天津理）設(shè)為常數(shù)，且證明對(duì)任意1，； 證法1：兩邊同除以（-2）,得令,則=.證法2：由得 .設(shè)，則b. 即：,所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.則=,即：,故 .評(píng)注：本題的關(guān)鍵是兩邊同除以3，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為的類型，構(gòu)造出新的等比數(shù)列，從而將求一般數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題.證法3：用待定系數(shù)法設(shè), 即:,比較系數(shù)得：,所以 所以,所以數(shù)列是公比為2，首

7、項(xiàng)為的等比數(shù)列. 即 .方法4：本題也可用數(shù)學(xué)歸納法證.（i）當(dāng)n=1時(shí)，由已知a1=12a0，等式成立； ( ii)假設(shè)當(dāng)n=k（k1）等式成立，則 那么 也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立. 根據(jù)（i）和（ii），可知等式對(duì)任何nn，成立. 規(guī)律： 類型共同的規(guī)律為：兩邊同除以，累加求和，只是求和的方法不同.6.2形如型（1）即 取倒數(shù)法.例10. 已知數(shù)列中，求通項(xiàng)公式。 解：取倒數(shù)： 6.3形如型方法：不動(dòng)點(diǎn)法:我們?cè)O(shè),由方程求得二根x,y,由有同理,兩式相除有,從而得,再解出即可.例11. 設(shè)數(shù)列an滿足,求an的通項(xiàng)公式.分析：此類問(wèn)題常用參數(shù)法化等比數(shù)列求解.解：對(duì)等式兩端同時(shí)

8、加參數(shù)t,得：,令, 解之得t=1,-2 代入得,相除得,即是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列, =, 解得. 6.4形如(其中p,r為常數(shù))型（1）p>0， 用對(duì)數(shù)法.例12. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，（n2）.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：兩邊取對(duì)數(shù)得：，設(shè)，則 是以2為公比的等比數(shù)列， ，練習(xí) 數(shù)列中，（n2），求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案：（2）p<0時(shí) 用迭代法.例13.（2005江西卷）已知數(shù)列，（1）證明 （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：（1）略（2）所以 又bn=1，所以.方法2：本題用歸納-猜想-證明，也很簡(jiǎn)捷，請(qǐng)?jiān)囈辉?解法3：設(shè)c，則c,轉(zhuǎn)化為上面類型（1）來(lái)解.總之，求數(shù)列通向公式的方法并不滿足以上所述，對(duì)于同一問(wèn)題的求解也不僅是一種方法，只有在平時(shí)學(xué)習(xí)與探究過(guò)程中不斷地體會(huì)與總結(jié)，將知識(shí)與方法學(xué)活，才可以做到游刃有余。參考文獻(xiàn)1高慧明.數(shù)列通項(xiàng)的求法在2008年高考中的展示.j試題與研究,2008,20.2龍志明.數(shù)列通項(xiàng)公式的九種求法.j求學(xué),2005,11.3陳云烽.遞推數(shù)列