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1、淺談求數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種方法數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的核心內(nèi)容之一,它如同函數(shù)中的解析式一樣,有了解析式便可研究起性質(zhì)等;而有了數(shù)列的通項(xiàng)公式便可求出任一項(xiàng)以及前n項(xiàng)和等。因此,求數(shù)列的通項(xiàng)公式往往是解題的突破口、關(guān)鍵點(diǎn)。作為一線教師,本人根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)結(jié)合近年來的數(shù)列考查動(dòng)向,將求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法做一總結(jié),希望能對(duì)廣大考生的復(fù)習(xí)有所幫助。下面我就談?wù)勄髷?shù)列通項(xiàng)公式的幾種方法:一、觀察法 即歸納推理,一般用于解決選擇、填空題。過程:觀察概括、推廣猜出一般性結(jié)論。例1:根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng),寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式:(1)9,99,999,9999,(2)(3)(4)(5),。解:(1)變形為:1011

2、,1021,1031,1041, 通項(xiàng)公式為:(2) (3) (4). (5)點(diǎn)評(píng):關(guān)鍵是找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系。 針對(duì)性訓(xùn)練: 3 33 333 333 3333 () ()二、 定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法,這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目例2 :等差數(shù)列是遞增數(shù)列,前n項(xiàng)和為,且成等比數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 解:設(shè)數(shù)列公差為d(d>0)成等比數(shù)列,點(diǎn)評(píng):當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí),可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,只需求得首項(xiàng)及公差公比。針對(duì)性訓(xùn)練: 已知等比數(shù)列的首項(xiàng),公比,設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析:由題意,又是等比數(shù)列,公比為,

3、故數(shù)列是等比數(shù)列, 三、公式法,即已知數(shù)列前n項(xiàng)和,求通項(xiàng)。例3:已知下列兩數(shù)列的前n項(xiàng)和sn的公式,求的通項(xiàng)公式。(1)。 (2)解: (1)=1=3此時(shí),。=3為所求數(shù)列的通項(xiàng)公式。(2),當(dāng)時(shí) 由于不適合于此等式 。 點(diǎn)評(píng):要先分n=1和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算,然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。針對(duì)性訓(xùn)練:已知數(shù)列前n項(xiàng)和滿足:,求此數(shù)列的通項(xiàng)公式。 已知數(shù)列中, 且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以:解:由已知得,化簡(jiǎn)有,由類型(1)有,又得,所以,又,則此題也可以用數(shù)學(xué)歸納法來求解.四、累加法遞推公式為 ,其中的和比較易求 ,通常解法是把原遞推公式轉(zhuǎn)化為,利用累加法(逐差相加法)求解。例4. 若

4、在數(shù)列中,求通項(xiàng)。解析:由得,所以,將以上各式相加得:,又所以 =針對(duì)性訓(xùn)練:已知數(shù)列中,求的通向公式解: 由已知得, 令,代入個(gè)等式累加,即 五、累乘法推公式為。解法:把原遞推公式轉(zhuǎn)化為,利用累乘法求解。例5 已知數(shù)列滿足,求的通向公式。 解:由條件知,分別令n=1,2,3,(n-1),代入上式得(n-1)個(gè)等式累乘之,即 針對(duì)性訓(xùn)練:設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列,且(=1,2, 3,),則它的通項(xiàng)公式是=_.解:已知等式可化為:()(n+1), 即時(shí),=.評(píng)注:本題是關(guān)于和的二次齊次式,可以通過因式分解(一般情況時(shí)用求根公式)得到與的更為明顯的關(guān)系式,從而求出.六、輔助數(shù)列法6.1形如型(1)若

5、,即(其中p,q均為常數(shù),)。解法:一般采用待定系數(shù)法將原遞推公式轉(zhuǎn)化為:,其中,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解例6 已知數(shù)列中,求。解: 令與已知比較,得,所以,數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列所以 即 (2)若(其中k,b是常數(shù),且)求通項(xiàng)方法有以下兩種方向:.相減法例7.在數(shù)列中,求通項(xiàng).解:, 時(shí),兩式相減得 .令,則利用類型5的方法知即 再由累加法可得.亦可聯(lián)立 解出.待定系數(shù)法例8. 在數(shù)列中,,求通項(xiàng).解:原遞推式可化為比較系數(shù)可得:x=-6,y=9,上式即為所以是一個(gè)等比數(shù)列,首項(xiàng),公比為. 即:故.(3)若(其中q是常數(shù),且n0,1)若p=1時(shí),即:,累加即可.若時(shí),即:,

6、求通項(xiàng)方法有以下三種方向:i. 兩邊同除以.即: ,令,則,然后類型1,累加求通項(xiàng).ii.兩邊同除以 . 即: ,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解,iii.待定系數(shù)法:設(shè).通過比較系數(shù),求出,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).例9.(2003天津理)設(shè)為常數(shù),且證明對(duì)任意1,; 證法1:兩邊同除以(-2),得令,則=.證法2:由得 .設(shè),則b. 即:,所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.則=,即:,故 .評(píng)注:本題的關(guān)鍵是兩邊同除以3,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為的類型,構(gòu)造出新的等比數(shù)列,從而將求一般數(shù)列的通項(xiàng)問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的通項(xiàng)問題.證法3:用待定系數(shù)法設(shè), 即:,比較系數(shù)得:,所以 所以,所以數(shù)列是公比為2,首

7、項(xiàng)為的等比數(shù)列. 即 .方法4:本題也可用數(shù)學(xué)歸納法證.(i)當(dāng)n=1時(shí),由已知a1=12a0,等式成立; ( ii)假設(shè)當(dāng)n=k(k1)等式成立,則 那么 也就是說,當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立. 根據(jù)(i)和(ii),可知等式對(duì)任何nn,成立. 規(guī)律: 類型共同的規(guī)律為:兩邊同除以,累加求和,只是求和的方法不同.6.2形如型(1)即 取倒數(shù)法.例10. 已知數(shù)列中,求通項(xiàng)公式。 解:取倒數(shù): 6.3形如型方法:不動(dòng)點(diǎn)法:我們?cè)O(shè),由方程求得二根x,y,由有同理,兩式相除有,從而得,再解出即可.例11. 設(shè)數(shù)列an滿足,求an的通項(xiàng)公式.分析:此類問題常用參數(shù)法化等比數(shù)列求解.解:對(duì)等式兩端同時(shí)

8、加參數(shù)t,得:,令, 解之得t=1,-2 代入得,相除得,即是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列, =, 解得. 6.4形如(其中p,r為常數(shù))型(1)p>0, 用對(duì)數(shù)法.例12. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足,(n2).求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解:兩邊取對(duì)數(shù)得:,設(shè),則 是以2為公比的等比數(shù)列, ,練習(xí) 數(shù)列中,(n2),求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案:(2)p<0時(shí) 用迭代法.例13.(2005江西卷)已知數(shù)列,(1)證明 (2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解:(1)略(2)所以 又bn=1,所以.方法2:本題用歸納-猜想-證明,也很簡(jiǎn)捷,請(qǐng)?jiān)囈辉?解法3:設(shè)c,則c,轉(zhuǎn)化為上面類型(1)來解.總之,求數(shù)列通向公式的方法并不滿足以上所述,對(duì)于同一問題的求解也不僅是一種方法,只有在平時(shí)學(xué)習(xí)與探究過程中不斷地體會(huì)與總結(jié),將知識(shí)與方法學(xué)活,才可以做到游刃有余。參考文獻(xiàn)1高慧明.數(shù)列通項(xiàng)的求法在2008年高考中的展示.j試題與研究,2008,20.2龍志明.數(shù)列通項(xiàng)公式的九種求法.j求學(xué),2005,11.3陳云烽.遞推數(shù)列

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