3.1空間向量及其運算測試題(答案)

1、CO1 -*1 r *B. 。+ b + c2 21 * Ir *D. -a-h + c2 2C一定共面的是B. OM=-O +-OB+ -OC.532D. OM +OA + OB + OC = 0C MA + MB + MC = OA. 85B. 85C. 52D50新課標高二數(shù)學同步測試（2 1第三章）一、選擇題：在每小題給岀的四個選項中，只有一項是符合題LJ要求的，請把正確答案的代號填 在題后的括號內(nèi)（每小題5分，共50分）.1.在平行六面體ABCD-AIBICIDI中，M為AC與BD的交點，若A = a9ADI=b, A=C-則下列向量中與麗相等的向量是()_1 7*A. 一一a +

2、-b + c2 21 *1 r -*C-a-b + c2 22. 在下列條件中，使Ivl與A、B、A OM=2OAOBOC3. 已知平行六面體ABCD-AbCD 中，AB=4, AD=3, AA =5, ZD = 9Oo,ZBAA = ADAA = 60° ,則 AC'等于 O4與向量« = （1,-3,2）平行的一個向量的坐標是OA. (1, 1, 1) B. (-1, -3, 2)31 OC(一，T 1)D. ( y2 9 3, 22 )2 25.已知A ( 1, 2, 6) , B (1, 2, 6) O為坐標原點，則向量OA,與On的夾角是()A OB C.

3、 7D2 26.已知空間四邊形ABCD中,OA=a,OB = b,OC = c 9 MOA±,且 OM=2MA, N 為 BC 中點,A. -Gb + -c232If 1 71-C一 + -C2 2 2B.D.則顧=O2 -1 Y1 -a+-b+-c3 222_271-3 32 7）殳A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足行 AC = O,AC AD = O,AB AD = O9則BCD是A.鈍角三角形B.銳角三角形 C.直角三角形 D不確定則COSA. 1B.返229.已知 A (1, 1,1)> B (2, 2, 2)、A. 3B 2310.已知： =C丄D. 02C (

4、3, 2, 4),則AABC的面積為()C. 6D.衛(wèi)2IGJl的最小值為()5553511A. B CD 5555二、填空題：請把答案填在題中橫線上（每小題6分，共24分）. 口若 = （2-1）, & = （-2丄3）,則：必為鄰邊的平行四邊形的面積為12. 已知空間四邊形OABC,其對角線為OB. AC, M、N分別是對邊0A、BC的中點，點G在線段 MN ±, ,MG = 2GN ,現(xiàn)用基組莎,函,況表示向量而，有OG=×OA + yOB + zVC則X、 y、Z的值分別為.13. 已知點 A（l, 2, 11）,、B（4, 2, 3）, C（6, 1, 4

5、）,則 ABC 的形狀是.14. 已知向量a = （2-3,0）, Z =伙,0,3）,若方必成:L20。的角，則k=三、解答題：解答應(yīng)打出文字說明、證明過程或演算步蜩共76分） 15（12分）如圖，已知正方體ABCD-A CIDf的棱長為,M為BD的中點，點/V在AC,上,KlAwI=3I7VC,I,試求 MZV 的長16.（12分）如圖在空間直角坐標系中8C=2,原點O是BC點f點A的坐標是（,-,0）,點 D 在平面 yz 上，且ZBDC=90° , ZDCB=30° 2 2 （1）氽向量OD的坐標;（2）設(shè)向量麗和龍的夾角為"，求COS 0的值17. （1

6、2分）若四面體對應(yīng)棱的中點間的距離都相等，證明這個 棱兩兩垂直.18. （12分）四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是一個平行四邊形, 1» r4, AD =4 2, 0, AP = IT 2, 1（1）求證：PA丄底面ABCD；（2）求四棱錐P-ABCD的體積；19.（14分）如圖所示，直三棱柱ABC-AIBICl中，CA=CB=I9 ZBCA=90° ,棱 AA=2, M、/V 分別是 AiBi. AIA 的中點.（1）求麗的長；（2）求cos<BAl,CBl >的值；的中y四面體的對B=2,-& 空間四邊形 OABC 中，0B=0C, AOB=AO

7、C=60°,(3)求證：角3丄ClM20.(14分)如圖，已知平行六面體ABCD-AIBICIDl的底面ABCD是菱形且ZClCB=ZCICD=ZBCD=60° 3(1) 證明：CIC丄BD： (2)假定CD=2, CCl=-,記面CIBD為。，面CBD為力 求二面角a_BD 2的平面角的余弦值；(3)當£2的值為多少時，能使AlC丄平面CIBD請給出證明. CCI參考答案一、1. A；解析：BIM=B +=Xa + -(BA + BC) = c + - (一： + 1 =丄：+丄 4；.評述: 2 2 2 2用向量的方法處理立體兒何問題，使復朵的線面空間關(guān)系代數(shù)

8、化，本題考查的是基本的向量相等， 與向量的加法.考查學生的空間想象能力.2. A：解析：空間的四點P、A、B、C共面只需滿足麗=x+yOB+zC.且x + y + z = l既可.只有選項A.3. B；解析：只需將疋=正+而+應(yīng)，運用向量的內(nèi)即運算即可，X? I=J詁.4. C；解析：向量的共線和平行使一樣的，可利用空間向量共線定理寫成數(shù)乘的形式.即b 0.a/b <=> a = b .5. C；解析：CosO = =Th ,計算結(jié)果為一1.ab,.1, O .6. B；解析：顯然MN = ON-OM=(O3 + OC) 04.237. B；解析：過點A的棱兩兩垂直，通過設(shè)棱長應(yīng)用

9、余弦”定理可得三角形為銳角三角形.& D；解析：建立一組基向量OA.OB.OC,再來處理頁荒 的值9.D：解析：應(yīng)用向量的運算，顯然CoS<AB,AC>=> Sin <AB,AC>9IABlIAClI I I. I從而得 S = -IABIlACI SinVAEAC > 210 C；11. 65 ；解析：cos<a,b >=,得Sin < a,b >=,可得結(jié)果.ab77i2 »1解析：13.直角三角形；解析：利用兩點間距離公式得:IABI2=IBCi2+IACI2-14.2k-V39 ；解析：cos< a.b

10、 >= J7 = =-丄，k= ±39 .aby39 + k1 2三、解：以D為原點，建立如圖空間直角坐標系因為正方體棱長為6所以B (, Ch 0) , A115.(, 0, a) , CM (0, , ) , Dl (0, 0, ) 由于 M 為 Brr 的中點，取 AC 中點 O,所以 v(-, -, -), O,(-, -, ).因為 I AW l=3l NCb 2 2 2 2 2所以N為AC的四等分，從而/V為OC的中點，故N (-, /, ).44根據(jù)空間兩點距離公式，JW 1 MN I= J(-)2+(-)2 + (-6/)2 =a.V 242424r16.解：(

11、1)過 D 作 DE丄BC,垂足為 E,在 RtBDG中,由 ZBDC=90° ,ZDCB=30° , BC=2,得 BD=I, CD= 3 , ：.DE=CD sin30°.OE=OB-BE= OB-BD cos60° =1丄=丄.2 2 2°D點坐標為(0,冷)，即向暈ODTX-*的坐標為0,亍冷-.(2)依題意：OA = ,l,0,B = 0,-l,0,OC = 0,l,0),_ _ _kR /3 - 一 一,所以 AD = OD-OA =£?C = OC-OB = 0,2,0.設(shè)向量AD和BC的夾角為久貝9Z) ADBCCOS

12、 B=T-IADIiBCl、廳 ZX Z n O 3×0 + (-l)×2 + ×0I片 2片2=-l10.(一 fy+(-l)2+(f)2 .02 +22 +02§I * » I I I I »17證：如圖設(shè)SAFi,SB = ®SC = B ,則SESF,SGSH,SSW分別為-1 , -(r2+3) -(+r2), 2 2 21 一 1 一 1 一-r3 , -(r1+), -r2 ,由條件 EH=GH=MN 得:2 2 2展升得打.r1=r1 厶=打心打(比 _ 比)=O，斤 H 0，弓 _ <2 H O， 丄

13、(T-E)即 SAIBC.同理可證SB丄AC, SC±AB.18. (1)證明：V AP AB = -2-2+4=0, ：.AP丄&B.XvAP-AD= -4+4+0=0, ：.APA-ADTAB、AD是底面ABCD ±的兩條相交直線，.'.AP丄底面ABCD.8-2(2) 解：設(shè)喬與而的夾角為久則E B AD'l ABI-IADI 4 +1 + 16 16+ 4 K)5vABADSin IMl = I亦屮一舲 Jl + 4 + l=16(3) 解:I (ABXAD) APl = I-4-32-4-8=48 它是四棱錐 P-ABCD 體積的 3 倍.

14、猜測:I (ABXAD) 喬I在兒何上可表示以AB、AD. AP為棱的平行六面體的體積(或以AB、AD. AP為棱的直四棱柱的體積)評述：本題考查了空間向量的坐標表示、空間向量的數(shù)量積、空間向量垂直的充要條件、空間主 象向量的夾角公式和直線與平面垂直的判定定理、棱錐的體積公式等. 要考查考生的運算能力，綜合運用所學知識解決問題的能力及空間想 能力.19. 如圖，建立空間直角坐標系Oxyz(1) 依題意得 B (0, 1, 0)、/V (1, 0, 1) I BN = 7(l-O)2+(O-I)2+(1-0)2 = 3 .(2) 依題意得如(1, 0, 2) s (0, 1, O)XC (O,

15、O, O) . Si (0, 1, 2) /. BAl =1» 1, 2, CBI =0» I9 2, , BAI CBl =3, BAl = V6 , CBI I =、S -BAcB 1 cos< BA. , CBi >= = J 亠=30 IBAII-ICB1 I 10(3) 證明：依題意,得 Cl (0, 0, 2)、M(雪 2) , A=l, 1, 2, QW=i, , 0.1 1: AiB CIyVf = + -+0=0, AlB- ClM , /.AiB丄Cl/VL評述：本題主要考查空間向量的概念及運算的基本知識考查空間兩向量垂直的充要條件20. (

16、1)證明：設(shè) CB=a f CD=b , CCI=C ,則 = I，： BD = CD-CB=b-a,: BD CCi = Cb a ) 9 c=b c a c = c cos60 ° r/ ICI cos60o =0» I CCBD.(2)解：連AC、BD,設(shè)ACHBD=O,連OC,則ZCIoC為二面角a -BD B的平面角. 9： Cd = -(BC+ CD) = - (a+b ) , QO = W-CC =- (a+b ) -C2 2 , , 2而刁冷曲）*（茴）-門jff fI =(a 24-2a b +b2) a421 3(4+2 2 2cos60° +4) 一一 2 -cos60°2 21 3。3 2 cos60 =2 2 2L 3 則ICo = 3, IC1OI = -,. COSCIoC=COCQccCD2(3)解：設(shè) 一=