初等數(shù)學(xué)研究習(xí)題五答案

1、習(xí)題五習(xí) 題 五1.指出下列各不等式的定義域，并判別各自屬于哪類不等式（絕對(duì)不等式、條件不等式或矛盾不等式）； 0 ；2 判別實(shí)數(shù)域中下列各命題是否正確，正確的給予證明，不正確的舉出反例。（1）若，則（2）若，則ab；(3) 若；（4）若；且，則；（5）若，nn，則；（6）若1，則（）（）（）（）.3. 設(shè)r，比較與的大小.4. 下面命題的證明錯(cuò)在哪里？并給出正確的證法. 命題：證明. 證：假設(shè)命題成立.將兩邊平方，得 . 將兩邊平方和，得， 即 將兩邊平方，得 . 未式顯然成立，又各步皆可逆，所以原命題成立.5. 證明下列不等式： （）； （）. 6. 設(shè)，求證： . 8. 設(shè)。，.求證：

2、9 證明以為通項(xiàng)的數(shù)列是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列.10. 設(shè)，為不全等的正數(shù)，求證 11. 設(shè)，,且，求證： 12. 設(shè) ，求證：. 13. 設(shè)是大于的自然數(shù)，求證： 14. 設(shè)，且，求證.15. 設(shè)，求證.16. 求證.17. 設(shè)，求證.18. 證明下列不等式： ; .19 設(shè)，均為正數(shù)，且，求證： ； 設(shè)，均為正數(shù)，切，求證： .20. 設(shè)，為互不相等的自然數(shù)，求證對(duì)任意自然數(shù)，都有以下不等式成立： .21. 求證： ，；22. 求證：函數(shù)在區(qū)間，上是凹函數(shù).23. 下列各對(duì)不等式是否同解？為什么？ 與； 與； 與； 與； 與；與. 24. 下列各對(duì)不等式（組）是否同解？為什么？ 和； 和； 和；

3、 和25. 解下列不等式： ； ； ； ； ； ； ； ； . 26. 求函數(shù)的定義域.27. 解下列不等式： ； ； ； .28. 解下列不等式 ； ； ； .29. 當(dāng)取何值時(shí)多項(xiàng)式函數(shù)取最少值？并求出這個(gè)最小值.30. 求函數(shù)的極值.31. 設(shè)，且，求的最大值及 的最少值.32. 矩形abcd的相鄰兩邊之長分別為和，從定點(diǎn)a和c出發(fā)，分別在相鄰兩邊上截取相等的線段ae=af=cg=ch=（如圖）.試問取何值時(shí)平行四邊形efgh的面積最大？最大值是多少？ 第32題圖33. 有一邊長為的正方形白鐵片，在其四角上截去四個(gè)邊長為的全等正方形，然后將四邊翻折，做成一個(gè)無蓋長方體形狀的鐵盒。試問去何

4、值時(shí)鐵盒具有最大體積？最大體積是多少？5、證明下列不等式。（1）證明： （2）證明： 6、設(shè)，求證：證明：當(dāng)n=1時(shí)，即n=1時(shí)不等式成立。 假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)，有 即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立。由、知，對(duì)任意自然數(shù)n不等式成立。7、設(shè)求證：（1）證明：假設(shè)成立，則有即：也即：但是成立的，并且上面每一步都可逆，因而不等式得證。（2）8、設(shè)求證：（1）（2）證明：（1）利用柯西不等式。（2）不妨設(shè)則故有+，有： =39、證明以為通項(xiàng)的數(shù)列是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列。證明：由二項(xiàng)式定理，有其中于是， 將上面等式中的n換成n+1，就得到的展開式：的展開式有n+1項(xiàng)，的展開式有n+2

5、項(xiàng)。它們每一項(xiàng)都是正數(shù)，因?yàn)?所以的第k+1項(xiàng)小于的第k+1項(xiàng)，即此外，比還多了一個(gè)正數(shù)項(xiàng)（即展開式的最后一項(xiàng)），故有：以為通項(xiàng)的數(shù)列是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列。10、設(shè)為不全相等的整數(shù)，求證：證明：利用均值不等式，有即11、設(shè)且求證： 證明：當(dāng)n=2時(shí)， 當(dāng)n=2時(shí)，不等式成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即：則當(dāng)n=k+1時(shí)，有： 不妨設(shè)a<b則即故當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立。由知，對(duì)任意自然數(shù)n，不等式成立。12、設(shè)求證：證明：當(dāng)n=1時(shí)，即n=1時(shí)，不等式成立。 假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即 則，當(dāng)n=k+1時(shí)，有： 即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立。由知，對(duì)于任意自然數(shù)n，不等式成立。1

6、3、設(shè)n是大于1的自然數(shù)，求證： 證明：當(dāng)n=2時(shí)，有即當(dāng)n=2時(shí)，不等式成立。假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí)，有：即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立。由知，對(duì)于大于1的自然數(shù)，不等式成立。15、設(shè)求證：，（莫斯科第15屆（1952年）數(shù)學(xué)競賽題）證明：由已知，得最后一式成立，故原不等式得證。16、求證：證明：設(shè)，則有： 令則有： 是實(shí)數(shù)。 即17、設(shè)n>2,求證：證明： 即即18、證明下列不等式：（1）（2）證明：（1）由不等式得：得：令k=1,2,n 代入上式，得： . .(1)+(2)+.+(n):即：（2）由 即 令 k=2,3.n 代入上式，得：.(1)+(2)+.+

7、(n-1) 得：即:19. （1）設(shè)a,b均為正數(shù)，且a+b+c=1，求證：.(2) 設(shè) .證明：（1） 法一：在柯西不等式中，令法二：利用琴森不等式，先證是凸函數(shù).設(shè)對(duì)于且，現(xiàn)證：而要證：需證：即：也即：即：且：故是成立的，并且上面每一步都可逆，成立.即 成立.在是凸函數(shù).設(shè)且，利用琴森不等式，有：（2） 法一：由均值不等式： 得：即 法二：在是凸函數(shù)，利用琴森不等式，有：20. 設(shè)為互不相等的自然數(shù)，求證對(duì)任意自然數(shù)n,都有以下不等式成立：證明：由柯西不等式：又對(duì)于任意自然數(shù)n，必有：（1） 除以（2），得：21. 求證： 證明：由三角不等式，有：（1）+（2）得：22. 求證：函數(shù)在區(qū)間

8、上是凹函數(shù)，證明：設(shè)且，要證：在上是凹函數(shù)，只需證明： 即證：.即證：由，可知：將（1）（2）兩邊相乘得：即證命題成立.23. 下列各隊(duì)不等式是否同解？為什么？（1）與；（2）與x+1>0;(3) 與x-1>0;(4) 與（x-3）>x+8;(5) 與x-2<0;(6) 與x-2<0;答：（1）不是同解不等式。因?yàn)榍罢叨x域?yàn)?，后者定義域?yàn)閞.（2） 不同解.（3） 同解不等式.（4） 同解不等式，因?yàn)榻饧际强占?（5） 不同解.因?yàn)閤+5恒取正值，故不能兩邊同乘以x+5.（6） 同解不等式，因?yàn)?4. 下列各對(duì)不等式（組）是否同解？為什么？（1） 與；（2）

9、和；（3） 和；（4）和 ；解：（1） 同解不等式，因?yàn)榉辞姓瘮?shù)在r上取正值，且是一一映射.（2） 不同解，當(dāng)時(shí)，無意義。（3） 不同解，例如適合右式，但不適合左式.（4）同解不等式，如果右式成立，左式顯然成立；如果左式成立，則可用反證法證明右式也成立.25. 解下列不等式.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） ；（7） ；( 8) ;(9) ;(10) ;解：（1）當(dāng)即時(shí)，解集為空集.當(dāng)即時(shí)，有，即，解得：當(dāng)，即時(shí)，有，即，解得：（2）定義域?yàn)樵坏仁脚c下列不等式同解：（i）（ii）不等式（i）的解集為：不等式（ii）的解集為空集；（3）由，有：兩邊平方，有：（4）原不等式和下列

10、兩不等式組同解：（i）則不等式組的解是（ii）所以不等式組（ii）的解集是因此，原不等式的解集是（5）兩邊平方，有：所以不等式的解為：（6） 原不等式可化為： 所以原不等式的解集為：（7） 原不等式和下面兩個(gè)不等式組同解：（i）所以不等式組（i）的解集為：（ii）所以不等式組（ii）的解集為：所以原不等式的解集為：（8） 原不等式可化為：所以原不等式的解集為：(9) 令，則，原不等式化為：當(dāng)時(shí)，有：，即：且；當(dāng)；或所以原不等式的解集為：（10）原不等式可化為：即：所以原不等式的解集：26. 求函數(shù)的定義域.解：為使函數(shù)有意義，只需且必須：所以解集為：27. 接下列不等式（1）（2）（3）( 4

11、 ) 解：（1）又成立所以原不等式的解集為：（2）令，則由解得：由解得：(3) 由原不等式：或 由（1）得：或 由（2）得：或所以原不等式的解集為：（4） 令，則原不等式化為：故原不等式的解集為：28. 解下列不等式（1）( 2 ) ( 3 ) (4) 解:(1) 原不等式可化為：解（1）得：解（2）得：故原不等式的解集為：（2）原不等式可化為：（i）或(ii)由(i)有：由（ii）有：所以原不等式的解集為：(3) 原不等式化為：所以原不等式的解集為：(4) 原不等式化為：或（ii）解（i）有：解（ii）有：所以原不等式的解集為：29. 當(dāng)x取何值時(shí)多項(xiàng)式函數(shù)取最小值？并求出這個(gè)最小值。解：令，則：當(dāng)即時(shí)，此時(shí)由,有30. 求函數(shù)的極值.解：令,則,以及于是，當(dāng),即時(shí)，當(dāng)即時(shí)，31. 設(shè)求abc的最大值及的最小值.解：由,有：時(shí)，abc取最大值由,得：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，而故可得：32. 矩形abcd的相鄰兩邊之長分別為a和b ，從頂點(diǎn)a和