第二章數(shù)學(xué)模型

1、第第2 2章章 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 模模 型型 目目 錄錄 2.1 2.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 2.1.1 2.1.1 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟 2.1.2 2.1.2 控制系統(tǒng)微分方程的列寫控制系統(tǒng)微分方程的列寫 2.2 2.2 拉氏變換與反變換拉氏變換與反變換 2.2.1 2.2.1 拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義 2.2.2 2.2.2 幾種典型函數(shù)的拉氏變換幾種典型函數(shù)的拉氏變換 2.2.3 2.2.3 拉氏變換的主要定理拉氏變換的主要定理 2.2.4 2.2.4 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 2.2.5 2.2.5 應(yīng)用拉氏變換解線性微分方

2、程應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程 2.3 2.3 傳傳 遞遞 函函 數(shù)數(shù) 2.3.1 2.3.1 傳遞函數(shù)的概念和定義傳遞函數(shù)的概念和定義 2.3.2 2.3.2 特征方程、零點(diǎn)和極點(diǎn)特征方程、零點(diǎn)和極點(diǎn) 2.3.3 2.3.3 關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明 2.3.4 2.3.4 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 2.42.4 系統(tǒng)方框圖和信號(hào)流圖系統(tǒng)方框圖和信號(hào)流圖 2.4.1 2.4.1 系統(tǒng)方框圖系統(tǒng)方框圖 2.4.2 2.4.2 系統(tǒng)方框圖的簡(jiǎn)化系統(tǒng)方框圖的簡(jiǎn)化 2.4.3 2.4.3 系統(tǒng)信號(hào)流圖和梅森公式系統(tǒng)信號(hào)流圖和梅森公式 2.4.4 2.4.4 控制系統(tǒng)

3、的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 2.5 2.5 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 2.5.1 2.5.1 線性化問題的提出線性化問題的提出 2.5.2 2.5.2 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 2.5.3 2.5.3 系統(tǒng)線性化微分方程的建立系統(tǒng)線性化微分方程的建立 2.6 2.6 控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)推導(dǎo)舉例控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)推導(dǎo)舉例 2.6.1 2.6.1 機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng) 2.6.2 2.6.2 液壓系統(tǒng)液壓系統(tǒng) 2.6.3 2.6.3 液位系統(tǒng)液位系統(tǒng) 2.6.4 2.6.4 機(jī)電系統(tǒng)機(jī)電系統(tǒng) 2.6.5 2.6.5 熱力系統(tǒng)熱力系統(tǒng) 返回總目錄學(xué)習(xí)目的學(xué)習(xí)目的1.

4、了解建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟了解建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一般步驟2.掌握拉氏變換和反變換方法掌握拉氏變換和反變換方法3.掌握建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的各種方法（包括時(shí)域、掌握建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的各種方法（包括時(shí)域、復(fù)數(shù)域；解析式、圖示式）復(fù)數(shù)域；解析式、圖示式）4.了解非線性數(shù)學(xué)模型線性化的方法了解非線性數(shù)學(xué)模型線性化的方法 5.熟悉各種不同物理屬性控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立熟悉各種不同物理屬性控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立過程過程內(nèi)容提要內(nèi)容提要本章主要闡述控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基本概念、時(shí)域本章主要闡述控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基本概念、時(shí)域模型模型運(yùn)動(dòng)微分方程和復(fù)數(shù)域模型運(yùn)動(dòng)微分方程和復(fù)數(shù)域模型傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的建立、數(shù)學(xué)模

5、型的圖示法的建立、數(shù)學(xué)模型的圖示法方框圖和信號(hào)流圖方框圖和信號(hào)流圖的建立步驟與方法，介紹拉氏變換與拉氏反變換的建立步驟與方法，介紹拉氏變換與拉氏反變換重重點(diǎn)點(diǎn)傳遞函數(shù)概念的建立、典型環(huán)節(jié)和控制系統(tǒng)傳遞函傳遞函數(shù)概念的建立、典型環(huán)節(jié)和控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo) 難難點(diǎn)點(diǎn)實(shí)際物理系統(tǒng)，特別是機(jī)械系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)實(shí)際物理系統(tǒng)，特別是機(jī)械系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo) 為了從理論上對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行性能分析，首先要建立系統(tǒng)為了從理論上對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行性能分析，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)

6、表達(dá)式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。間的內(nèi)在關(guān)系。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型有多種形式，這取決于變量和坐標(biāo)系統(tǒng)的選系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型有多種形式，這取決于變量和坐標(biāo)系統(tǒng)的選擇。在時(shí)間域，通常采用微分方程或一階微分方程組的形式；在擇。在時(shí)間域，通常采用微分方程或一階微分方程組的形式；在復(fù)數(shù)域則采用傳遞函數(shù)形式；而在頻率域采用頻率特性形式。復(fù)數(shù)域則采用傳遞函數(shù)形式；而在頻率域采用頻率特性形式。必須指出，建立合理的數(shù)學(xué)模型，對(duì)于系統(tǒng)的分析和研究極必須指出，建立合理的數(shù)學(xué)模型，對(duì)于系統(tǒng)的分析和研究極為重要。由于不可能將系統(tǒng)實(shí)際的錯(cuò)綜復(fù)雜的物理現(xiàn)象完

7、全表達(dá)為重要。由于不可能將系統(tǒng)實(shí)際的錯(cuò)綜復(fù)雜的物理現(xiàn)象完全表達(dá)出來，因而要對(duì)模型的簡(jiǎn)潔性與精確性進(jìn)行折衷的考慮。一般是出來，因而要對(duì)模型的簡(jiǎn)潔性與精確性進(jìn)行折衷的考慮。一般是根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)和系統(tǒng)分析所要求的精度，忽略一些次根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)和系統(tǒng)分析所要求的精度，忽略一些次要因素，建立既能反映系統(tǒng)內(nèi)在本質(zhì)特性，又能簡(jiǎn)化分析計(jì)算工要因素，建立既能反映系統(tǒng)內(nèi)在本質(zhì)特性，又能簡(jiǎn)化分析計(jì)算工作的模型。作的模型。建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，一般采用解析法或?qū)嶒?yàn)法。所謂解析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，一般采用解析法或?qū)嶒?yàn)法。所謂解析法建模，即依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理學(xué)定律，理論建模，即依據(jù)系統(tǒng)及元件

8、各變量之間所遵循的物理學(xué)定律，理論推導(dǎo)出變量間的數(shù)學(xué)關(guān)系式，從而建立數(shù)學(xué)模型。本章僅討論解推導(dǎo)出變量間的數(shù)學(xué)關(guān)系式，從而建立數(shù)學(xué)模型。本章僅討論解析建模方法，關(guān)于實(shí)驗(yàn)法建模將在后面的章節(jié)進(jìn)行介紹。析建模方法，關(guān)于實(shí)驗(yàn)法建模將在后面的章節(jié)進(jìn)行介紹。2.1 2.1 控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 2.1.1 2.1.1 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟 用解析法列寫系統(tǒng)或元件微分方程的一般步驟是用解析法列寫系統(tǒng)或元件微分方程的一般步驟是：(1)分析系統(tǒng)的工作原理和信號(hào)傳遞變換的過程，確定系統(tǒng)分析系統(tǒng)的工作原理和信號(hào)傳遞變換的過程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量。和各元件的

9、輸入、輸出量。(2)從系統(tǒng)的輸入端開始，按照信號(hào)傳遞變換過程，依據(jù)各從系統(tǒng)的輸入端開始，按照信號(hào)傳遞變換過程，依據(jù)各變量所遵循的物理學(xué)定律，依次列寫出各元件、部件動(dòng)態(tài)微分變量所遵循的物理學(xué)定律，依次列寫出各元件、部件動(dòng)態(tài)微分方程。方程。(3)消去中間變量，得到一個(gè)描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變消去中間變量，得到一個(gè)描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關(guān)系的微分方程。量之間關(guān)系的微分方程。(4)寫成標(biāo)準(zhǔn)化形式。將與輸入有關(guān)的項(xiàng)放在等式右側(cè)，與寫成標(biāo)準(zhǔn)化形式。將與輸入有關(guān)的項(xiàng)放在等式右側(cè)，與輸出有關(guān)的項(xiàng)放在等式的左側(cè)，且各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列。輸出有關(guān)的項(xiàng)放在等式的左側(cè)，且各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列。 2.1.2

10、 2.1.2 控制系統(tǒng)微分方程的列寫控制系統(tǒng)微分方程的列寫 1機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)任何任何機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都可以應(yīng)用牛頓定律來建立。機(jī)械的數(shù)學(xué)模型都可以應(yīng)用牛頓定律來建立。機(jī)械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可以使用系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可以使用質(zhì)量質(zhì)量、彈性彈性和和阻阻尼尼三個(gè)要素來描述。三個(gè)要素來描述。(1)機(jī)械平移系統(tǒng)機(jī)械平移系統(tǒng)圖圖2.1所示為常見的所示為常見的質(zhì)量質(zhì)量- -彈簧彈簧- -阻尼系統(tǒng)阻尼系統(tǒng)，圖中的，圖中的、分別表示分別表示質(zhì)量質(zhì)量、彈簧剛度彈簧剛度和和粘性阻尼系數(shù)粘性阻尼系數(shù)。以系統(tǒng)在靜。以系統(tǒng)在靜止平衡時(shí)的那一點(diǎn)為零點(diǎn)，即止平衡時(shí)的那一點(diǎn)為零點(diǎn)，即

11、平衡工作點(diǎn)平衡工作點(diǎn)，這樣的零位選擇消除，這樣的零位選擇消除了重力的影響。設(shè)系統(tǒng)的輸入量為外作用力了重力的影響。設(shè)系統(tǒng)的輸入量為外作用力，輸出量為質(zhì)，輸出量為質(zhì)量塊的位移量塊的位移?，F(xiàn)研究外力?，F(xiàn)研究外力與位移與位移之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。在輸入力在輸入力的作用下，質(zhì)量塊的作用下，質(zhì)量塊將有加速度，從而產(chǎn)將有加速度，從而產(chǎn)生速度和位移。質(zhì)量塊的速度和位移使阻尼器和彈簧產(chǎn)生粘性阻生速度和位移。質(zhì)量塊的速度和位移使阻尼器和彈簧產(chǎn)生粘性阻尼力尼力和彈性力和彈性力。這兩個(gè)力反饋?zhàn)饔糜谫|(zhì)量塊上，影。這兩個(gè)力反饋?zhàn)饔糜谫|(zhì)量塊上，影響輸入響輸入的作用效果，從而使質(zhì)量塊的速度和位移隨時(shí)間發(fā)的作用效果，從而使質(zhì)

12、量塊的速度和位移隨時(shí)間發(fā)mK tfiB)(otx tfi)(otx tfim tfB tfK tfi圖圖2.1機(jī)械平移系統(tǒng)力學(xué)模型機(jī)械平移系統(tǒng)力學(xué)模型生變化，產(chǎn)生生變化，產(chǎn)生動(dòng)態(tài)過程動(dòng)態(tài)過程。根據(jù)根據(jù)牛頓第二定律牛頓第二定律，有，有點(diǎn)擊觀看公式推導(dǎo)點(diǎn)擊觀看公式推導(dǎo) 由由阻尼器阻尼器、彈簧彈簧的特性，可寫出的特性，可寫出由以上三個(gè)式子，消去由以上三個(gè)式子，消去和和，并寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，得，并寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，得一般一般、均為常數(shù)，故式（均為常數(shù)，故式（2.1）為）為二階常系數(shù)線二階常系數(shù)線性微分方程性微分方程。它描述了輸入。它描述了輸入和輸出和輸出之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系。之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系。方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的方

13、程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)結(jié)構(gòu)參數(shù)；而方程的階次等于系統(tǒng)中獨(dú)；而方程的階次等于系統(tǒng)中獨(dú)2io2d( )( )( )( )dBKf tftftmxttod( )( )dBftBx tto( )( )KftKx t tfB tfK2oooi2dd( )( )( )( )ddmx tBx tKx tf ttt （2.1） mKB tfi)(otx立的立的儲(chǔ)能元件儲(chǔ)能元件（慣性質(zhì)量、（慣性質(zhì)量、彈簧）的數(shù)量。彈簧）的數(shù)量。當(dāng)質(zhì)量很小可忽略不計(jì)當(dāng)質(zhì)量很小可忽略不計(jì)時(shí)，系統(tǒng)由并聯(lián)的時(shí)，系統(tǒng)由并聯(lián)的彈簧彈簧和和阻阻尼器尼器組成，如圖組成，如圖2.2所示。所示。此時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程此時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為為一

14、階常系數(shù)微分方程一階常系數(shù)微分方程 這說明，這說明，同一系統(tǒng)由于同一系統(tǒng)由于簡(jiǎn)化程度的不同，可以有不簡(jiǎn)化程度的不同，可以有不同的同的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型。 ooid( )( )( )dBx tKx tf tt圖圖2.2彈簧彈簧- -阻尼系統(tǒng)力學(xué)模型阻尼系統(tǒng)力學(xué)模型 (2)機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)包含定軸旋轉(zhuǎn)的機(jī)械系統(tǒng)用途極其廣泛。其建模方法與平移包含定軸旋轉(zhuǎn)的機(jī)械系統(tǒng)用途極其廣泛。其建模方法與平移系統(tǒng)非常相似。只是這里將系統(tǒng)非常相似。只是這里將質(zhì)量質(zhì)量、彈簧彈簧、阻尼阻尼分別變成分別變成轉(zhuǎn)動(dòng)慣轉(zhuǎn)動(dòng)慣量量、扭轉(zhuǎn)彈簧扭轉(zhuǎn)彈簧、旋轉(zhuǎn)阻尼旋轉(zhuǎn)阻尼。圖圖2.3所示為一所示為一機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，旋轉(zhuǎn)體

15、通過柔性軸（用扭轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)體通過柔性軸（用扭轉(zhuǎn)彈簧彈簧表示）與齒輪連接。旋轉(zhuǎn)體在粘性介質(zhì)中旋轉(zhuǎn)，因而承表示）與齒輪連接。旋轉(zhuǎn)體在粘性介質(zhì)中旋轉(zhuǎn)，因而承受與旋轉(zhuǎn)速度成正比的阻尼力矩。受與旋轉(zhuǎn)速度成正比的阻尼力矩。設(shè)齒輪轉(zhuǎn)角設(shè)齒輪轉(zhuǎn)角為為系統(tǒng)輸入量系統(tǒng)輸入量，旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)角為為系統(tǒng)輸系統(tǒng)輸出量出量，據(jù)此建立系統(tǒng)的，據(jù)此建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程（忽略軸承上的摩擦）。扭（忽略軸承上的摩擦）。扭轉(zhuǎn)彈簧左、右端的轉(zhuǎn)角分別為轉(zhuǎn)彈簧左、右端的轉(zhuǎn)角分別為、，設(shè)它加給旋轉(zhuǎn)體的，設(shè)它加給旋轉(zhuǎn)體的扭矩為扭矩為（當(dāng)（當(dāng)時(shí)，彈簧的扭矩為零），則時(shí)，彈簧的扭矩為零），則 旋轉(zhuǎn)體上除了受彈簧的扭矩外，也受阻尼

16、扭矩旋轉(zhuǎn)體上除了受彈簧的扭矩外，也受阻尼扭矩作用，作用，因而有因而有扭矩平衡方程扭矩平衡方程io( ) ( )( )KTtKtt2o2d( )( )( )dKBJtTtT ttK)(it)(ot)(it)(ot)(tTBoi)(tTK和和旋轉(zhuǎn)阻尼特性方程旋轉(zhuǎn)阻尼特性方程 由以上三式整理可得由以上三式整理可得機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程圖圖2.3機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)力學(xué)模型機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)力學(xué)模型 od( )( )dBT tBtt2oooi2dd( )( )( )( )ddJtBtKtKttt （2.2） 2電氣系統(tǒng)電氣系統(tǒng) 電阻電阻、電感電感和和電容器電容器是電路中的三個(gè)基本元件。是電

17、路中的三個(gè)基本元件。通常利用基爾霍夫定律來建立電氣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。通常利用基爾霍夫定律來建立電氣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。電氣系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型電氣系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)如圖如圖2.4所示，設(shè)輸入端電壓所示，設(shè)輸入端電壓為系統(tǒng)輸入量。電容器為系統(tǒng)輸入量。電容器兩端電壓兩端電壓為系統(tǒng)輸出量?，F(xiàn)研究為系統(tǒng)輸出量?，F(xiàn)研究輸入電壓輸入電壓和輸出電壓和輸出電壓之間的關(guān)系。電路中的電流為中之間的關(guān)系。電路中的電流為中間變量。間變量。RLCCLR)(ituC)(otu)(itu)(otu圖圖2.4無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)CLR根據(jù)根據(jù)基爾霍夫定律基爾霍夫定律，有，有點(diǎn)擊觀看公式推導(dǎo)點(diǎn)擊觀看公式推導(dǎo) 消去中間

18、變量消去中間變量，稍加整理，即得，稍加整理，即得 一般假定一般假定、都是常數(shù)，則上式為都是常數(shù)，則上式為二階常系數(shù)線二階常系數(shù)線性微分方程性微分方程。若。若，系統(tǒng)也可簡(jiǎn)化為，系統(tǒng)也可簡(jiǎn)化為一階常微分方程一階常微分方程 有源電路網(wǎng)絡(luò)有源電路網(wǎng)絡(luò)如圖如圖2.5所示，設(shè)電壓所示，設(shè)電壓為系統(tǒng)輸入量，電為系統(tǒng)輸入量，電壓壓為系統(tǒng)輸出量。現(xiàn)建立為系統(tǒng)輸出量?，F(xiàn)建立與與之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式。 id ( )1( )( )ddi tuRi tLi tttCo1( )dui ttC)(ti2oooi2dd( )( )( )( )ddLCu tRCu tu tu ttt（2.3）0LRLC)()()(ddRC

19、iootututut （2.4）)(itu)(otu)(itu)(otuoid( )( )du tRCu tt 圖圖2.5有源電路網(wǎng)絡(luò)有源電路網(wǎng)絡(luò)圖中圖中點(diǎn)為運(yùn)算放大器的反相輸入端，點(diǎn)為運(yùn)算放大器的反相輸入端，為運(yùn)算放大器為運(yùn)算放大器的開環(huán)放大倍數(shù)。因?yàn)榈拈_環(huán)放大倍數(shù)。因?yàn)?且一般且一般值很大，所以值很大，所以點(diǎn)電位點(diǎn)電位 運(yùn)算放大器的輸入阻抗一般都很高，故而可認(rèn)為運(yùn)算放大器的輸入阻抗一般都很高，故而可認(rèn)為因此，可以得到因此，可以得到即即 oo( )( )Au tK ut AoKoKoo( )0AuutK )()(21titi oid( )( )du tu tCRt oid( )( )du t

20、RCu tt （2.5）3流體系統(tǒng)流體系統(tǒng) 流體系統(tǒng)比較復(fù)雜，但經(jīng)過適當(dāng)簡(jiǎn)化也可以用流體系統(tǒng)比較復(fù)雜，但經(jīng)過適當(dāng)簡(jiǎn)化也可以用微分方程微分方程加以加以描述。描述。圖圖2.6所示為一簡(jiǎn)單的所示為一簡(jiǎn)單的液位控制系統(tǒng)液位控制系統(tǒng)。在此系統(tǒng)中，箱體通。在此系統(tǒng)中，箱體通過輸出端的過輸出端的節(jié)流閥對(duì)外節(jié)流閥對(duì)外供液。設(shè)流供液。設(shè)流入箱體的流入箱體的流量量為系為系統(tǒng)輸入量，統(tǒng)輸入量，液面高度液面高度為輸出為輸出量，下面列量，下面列寫液位波動(dòng)寫液位波動(dòng)的的運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程。i( )q t)(tH圖圖2.6液位控制系統(tǒng)液位控制系統(tǒng)根據(jù)流體連續(xù)方程，可得根據(jù)流體連續(xù)方程，可得 式中式中：箱體的截面積。箱

21、體的截面積。設(shè)液體是不可壓縮的，通過節(jié)流閥的液流是紊流，則其流量設(shè)液體是不可壓縮的，通過節(jié)流閥的液流是紊流，則其流量公式為公式為 式中式中：由節(jié)流閥通流面積和通流口結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的由節(jié)流閥通流面積和通流口結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的系數(shù)，通流面積不變時(shí)系數(shù)，通流面積不變時(shí)為常數(shù)。為常數(shù)。消去中間變量消去中間變量得液位波動(dòng)方程為得液位波動(dòng)方程為 顯然，式（顯然，式（2.8）是一個(gè)）是一個(gè)非線性微分方程非線性微分方程。4模型分析模型分析 將上述系統(tǒng)模型進(jìn)行比較，可清楚地看到，物理本質(zhì)不同的將上述系統(tǒng)模型進(jìn)行比較，可清楚地看到，物理本質(zhì)不同的)()(d)(doitqtqttHA（2.6）A)()(otHatq （2

22、.7）aao( )q t)()(d)(ditqtHattHA （2.8）系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模型。反之，同一數(shù)學(xué)模型可以描述物系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模型。反之，同一數(shù)學(xué)模型可以描述物理性質(zhì)完全不同的系統(tǒng)。因此，從控制理論來說，可拋開系統(tǒng)的理性質(zhì)完全不同的系統(tǒng)。因此，從控制理論來說，可拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進(jìn)行普遍意義的分析研究，這就是物理屬性，用同一方法進(jìn)行普遍意義的分析研究，這就是信息方信息方法法，從信息在系統(tǒng)中傳遞，從信息在系統(tǒng)中傳遞、轉(zhuǎn)換的方面來研究系統(tǒng)的功能。而、轉(zhuǎn)換的方面來研究系統(tǒng)的功能。而從動(dòng)態(tài)性能來看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學(xué)模型相同而物從動(dòng)態(tài)性能來看，在相同形式的

23、輸入作用下，數(shù)學(xué)模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應(yīng)相似，若方程系數(shù)等值則響應(yīng)完全理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應(yīng)相似，若方程系數(shù)等值則響應(yīng)完全一樣，這樣就有可能利用電系統(tǒng)來模擬其它系統(tǒng)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研一樣，這樣就有可能利用電系統(tǒng)來模擬其它系統(tǒng)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。這就是控制理論中的功能模擬方法的基礎(chǔ)。究。這就是控制理論中的功能模擬方法的基礎(chǔ)。t分析上述系統(tǒng)模型還可以看出，描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程分析上述系統(tǒng)模型還可以看出，描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程的系數(shù)都是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)及其組合的系數(shù)都是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)及其組合，這就說明系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特，這就說明系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。性是系統(tǒng)的固有

24、特性，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。用線性微分方程描述的系統(tǒng)，稱為用線性微分方程描述的系統(tǒng)，稱為線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)。如果方程的。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則稱為系數(shù)為常數(shù)，則稱為線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)不是常數(shù)，；如果方程的系數(shù)不是常數(shù)，而是時(shí)間而是時(shí)間的函數(shù)，則稱為的函數(shù)，則稱為線性時(shí)變系統(tǒng)線性時(shí)變系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的特點(diǎn)是。線性系統(tǒng)的特點(diǎn)是具有線性性質(zhì)，即服從疊加原理。這個(gè)原理是說，多個(gè)輸入同具有線性性質(zhì)，即服從疊加原理。這個(gè)原理是說，多個(gè)輸入同時(shí)作用時(shí)作用于線性系統(tǒng)的總響應(yīng)，等于各輸入單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)之和。于線性系統(tǒng)的總響應(yīng)，等于各輸入單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)之和。用非線性微分方程描述的

25、系統(tǒng)稱為用非線性微分方程描述的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)，如前述的液，如前述的液位控制系統(tǒng)。位控制系統(tǒng)。在工程實(shí)踐中，可實(shí)現(xiàn)的線性定常系統(tǒng)，均能用在工程實(shí)踐中，可實(shí)現(xiàn)的線性定常系統(tǒng)，均能用階常系階常系數(shù)線性微分方程來描述其運(yùn)動(dòng)特性。設(shè)系統(tǒng)的輸入量為數(shù)線性微分方程來描述其運(yùn)動(dòng)特性。設(shè)系統(tǒng)的輸入量為，系統(tǒng)的輸出量為系統(tǒng)的輸出量為，則單輸入、單輸出，則單輸入、單輸出階系統(tǒng)常系數(shù)線階系統(tǒng)常系數(shù)線性微分方程有如下的一般形式性微分方程有如下的一般形式 ： （2.9）式中：式中：，和和，由系統(tǒng)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實(shí)常數(shù)。結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實(shí)常數(shù)。由于實(shí)際系統(tǒng)中總含有慣性元件以及受到能源能量的限制，由于實(shí)際系統(tǒng)

26、中總含有慣性元件以及受到能源能量的限制，所以總是所以總是n)(itx)(otxn1ooo011o1ddd( )dddnnnnnnxxxaaaa x tttt1iii011i1ddd( )dddmmmmmmxxxbbbb x tttt nm 0a1ana0b1bmbnm 2.2 2.2 拉氏變換與反變換拉氏變換與反變換 機(jī)電控制工程所涉及的數(shù)學(xué)問題較多，經(jīng)常要解算一些機(jī)電控制工程所涉及的數(shù)學(xué)問題較多，經(jīng)常要解算一些線性線性微分方程微分方程。按照一般方法解算比較麻煩，如果用。按照一般方法解算比較麻煩，如果用拉普拉斯變換拉普拉斯變換求求解線性微分方程，可將經(jīng)典數(shù)學(xué)中的微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)解線性微分

27、方程，可將經(jīng)典數(shù)學(xué)中的微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，又能夠單獨(dú)地表明初始條件的影響，并有變換表可查找，因算，又能夠單獨(dú)地表明初始條件的影響，并有變換表可查找，因而是一種較為簡(jiǎn)便的工程數(shù)學(xué)方法。而是一種較為簡(jiǎn)便的工程數(shù)學(xué)方法。2.2.1 2.2.1 拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義如果有一個(gè)以時(shí)間如果有一個(gè)以時(shí)間為自變量的實(shí)變函數(shù)為自變量的實(shí)變函數(shù)，它的定義，它的定義域是域是，那么，那么的拉普拉斯變換定義為的拉普拉斯變換定義為 式中，式中，是復(fù)變數(shù)，是復(fù)變數(shù)，（、 均為實(shí)數(shù)），均為實(shí)數(shù)），稱為稱為拉普拉斯積分拉普拉斯積分；是函數(shù)是函數(shù)的拉普拉斯變換，它是一的拉普拉斯變換，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)，通常也

28、稱個(gè)復(fù)變函數(shù)，通常也稱為為的的象函數(shù)象函數(shù)，而稱，而稱為為的的原函數(shù)原函數(shù)；是表示進(jìn)行拉普拉斯變換的符號(hào)。是表示進(jìn)行拉普拉斯變換的符號(hào)。 ( (2.10) )t tf0t tfsjs0est)(sF tf)(sF tf tf)(sF0tL 0edstF sL f tf tt 0edstF sL f tf tt 0edstF sL f tf ttL defdef式（式（2.10）表明：拉氏變換是這樣一種變換，即在一定條件）表明：拉氏變換是這樣一種變換，即在一定條件下，它能把一實(shí)數(shù)域中的實(shí)變函數(shù)變換為一個(gè)在復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等下，它能把一實(shí)數(shù)域中的實(shí)變函數(shù)變換為一個(gè)在復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等價(jià)的復(fù)變函數(shù)價(jià)的復(fù)變函

29、數(shù)。2.2.2 2.2.2 幾種典型函數(shù)的拉氏變換幾種典型函數(shù)的拉氏變換 1.單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)的拉氏變換的拉氏變換 單位階躍函數(shù)是機(jī)電控制中最常用的典型輸入信號(hào)之一，常單位階躍函數(shù)是機(jī)電控制中最常用的典型輸入信號(hào)之一，常以它作為評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的標(biāo)準(zhǔn)輸入，這一函數(shù)定義為以它作為評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的標(biāo)準(zhǔn)輸入，這一函數(shù)定義為單位階躍函數(shù)如圖單位階躍函數(shù)如圖2.7所示，它表示在所示，它表示在時(shí)刻突然作用時(shí)刻突然作用于系統(tǒng)一個(gè)幅值為于系統(tǒng)一個(gè)幅值為1的不變量。的不變量。單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)的的拉氏變換拉氏變換式為式為 當(dāng)當(dāng)，則，則。 )(sF)0(1)0(0)( 1ttt)( 1 t0t0)Re(s

30、0elimstt)0(1)0(0)( 1tttdefdef0t0t0e1de )( 1)( 1 )(0stststttLsF0e1de )( 1)( 1 )(0stststttLsF 0011ede ststttsL所以所以 2.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的拉氏變換的拉氏變換 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)也是控制理論中經(jīng)常用到的函數(shù)，其中也是控制理論中經(jīng)常用到的函數(shù)，其中是常數(shù)。是常數(shù)。令令則與求單位階躍函數(shù)則與求單位階躍函數(shù)同理同理，就可求得，就可求得 ssstLst1)1(00e1)( 1（2.11） attf e 0)(0dedeeettLsFtasstatatass1assLsFat11e)(1 （2.12

31、）a圖圖2.7單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)0011 ede s ts ttts0e1de )( 1)( 1 )(0stststttLsFL0e1de )( 1)( 1 )(0stststttLsFassLsFat11e)(1L0e1de )( 1)( 1 )(0stststttLsFassLsFat11e)(1L3.正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的拉氏變換正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的拉氏變換設(shè)設(shè)，則，則由由歐拉公式歐拉公式，有，有所以所以ttfsin)(1ttfcos)(2j2eesinjjtttttsFsttsttdeedeej21)(0j0j1 22j1j1j21sss (2.13)01desinsin)(ttt

32、LsFst01desinsin)(tttLsFstttsttstsdeedej210)j(0)j(ttsttstsdeedej210)j(0)j(jj00111ee2jjjststssL同理同理 4.單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)(t)的拉氏變換的拉氏變換 單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)是在持續(xù)時(shí)間是在持續(xù)時(shí)間期間幅值為期間幅值為的的矩形波。其幅值和作用時(shí)間矩形波。其幅值和作用時(shí)間的乘積等于的乘積等于1，即，即。如圖如圖2.8所示。所示。單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)的數(shù)學(xué)表的數(shù)學(xué)表達(dá)式為達(dá)式為 (2.14）)0( t111圖圖2.8單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù) 222cossF sLts 22 2c o ssFs

33、L ts 00 01lim0t ttt 和0001l i m0tttt 和00 01lim 0t ttt 和 00 01l i m 0tttt 和 00 01l i m0t ttt 和 0001l i m 0t ttt 和L其拉氏變換式為其拉氏變換式為此處因?yàn)榇颂幰驗(yàn)闀r(shí)時(shí)，故積分限變?yōu)椋史e分限變?yōu)?00de1limtstt 0t0 sstsss e11lime1lim000! 2111lim220sss1! 21lim220sss (2.15) ttLsstde1lim00 s s0ests sstsss e11lime1lim000L5.單位速度函數(shù)的拉氏變換單位速度函數(shù)的拉氏變換單位速度

34、函數(shù)單位速度函數(shù)，又稱，又稱單位斜坡函數(shù)單位斜坡函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為如圖如圖2.9所示。所示。單位速度函數(shù)單位速度函數(shù)的的拉氏變換式拉氏變換式為為 00tf ttt 0dettsFst圖圖2.9單位速度函數(shù)單位速度函數(shù)利用利用分部積分法分部積分法 令令 則則 所以所以當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，,則則 000dduvuvvu,eddsttutv1dd ,esttuvs tsstsFststde1e000)Re(s0elimstt 021de10stssFst （2.16）0uv0estts000dduvuvvu tsstsFststde1e006.單位加速度函數(shù)的拉氏變換單位加速度函數(shù)的拉氏變

35、換單位加速度函數(shù)單位加速度函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 如圖如圖2.10所示。所示。其其拉氏變換拉氏變換式為式為 通常并不根據(jù)定義來求解象函數(shù)和原函數(shù)，而可從拉氏變換通常并不根據(jù)定義來求解象函數(shù)和原函數(shù)，而可從拉氏變換表（見教材附錄表（見教材附錄A）中直接查出。）中直接查出。 200102tf ttt圖圖2.10單位加速度函數(shù)單位加速度函數(shù)（2.17） 23112F stsL Re0s 2.2.3 2.2.3 拉氏變換的主要定理拉氏變換的主要定理根據(jù)拉氏變換定義或查表能對(duì)一些標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)進(jìn)行拉氏變換根據(jù)拉氏變換定義或查表能對(duì)一些標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)進(jìn)行拉氏變換和反變換，但利用以下的定理，則對(duì)一般的函數(shù)

36、可使運(yùn)算簡(jiǎn)化。和反變換，但利用以下的定理，則對(duì)一般的函數(shù)可使運(yùn)算簡(jiǎn)化。1.疊加定理疊加定理拉氏變換拉氏變換也服從線性函數(shù)的也服從線性函數(shù)的齊次性齊次性和和疊加性疊加性。（1）齊次性齊次性設(shè)設(shè)，則，則 式中：式中：常數(shù)。常數(shù)。（2）疊加性疊加性設(shè)設(shè)，則，則 兩者結(jié)合起來，就有兩者結(jié)合起來，就有這說明這說明拉氏變換拉氏變換是是線性變換線性變換。 sFtfL af taF sL（2.18）a sFtfL11 sFtfL22 1212ftftF sFsL（2.19） 1212aftbftaF sbFsLLLL2.微分定理微分定理設(shè)設(shè) 則則 式中：式中：函數(shù)函數(shù)在在時(shí)刻的值，即時(shí)刻的值，即初始值初始值。

37、同樣，可得同樣，可得的各階導(dǎo)數(shù)的的各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換拉氏變換是是 sFtfL )0()(d)(dfssFttfL)0(f0t tf（2.20） tfLL式中：式中：，原函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)在原函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)在時(shí)刻的值。時(shí)刻的值。如果函數(shù)如果函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為零（稱為及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為零（稱為零初始零初始條件條件），則），則各階導(dǎo)數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換拉氏變換為為 3.復(fù)微分定理復(fù)微分定理若若可以進(jìn)行可以進(jìn)行拉氏變換拉氏變換，則除了在，則除了在的的極點(diǎn)極點(diǎn)以外，以外，)0(f )0(f 0t tf tf 23nnftsF sfts F sfts F sfts F sLLLL（2.21） t

38、f)(sF sFsttfLdd （2.22） 10nfL式中，式中，。同樣有。同樣有一般地，有一般地，有4.積分定理積分定理設(shè)設(shè)，則，則 式中式中積分積分在在時(shí)刻的值時(shí)刻的值。當(dāng)當(dāng)初始條件為零初始條件為零時(shí)，時(shí)，對(duì)對(duì)多重積分多重積分是是 sFstftL222dd d11,2,3,dnnnnL t f tF sns （2.23） sFtfL)0(1)(1d)()1(fssFsttfL（2.24）)0()1(fttfd)(0t)(1d)(sFsttfL （2.25） )0(1)0(1)(1d)()1(nnnnnfsfssFsttfL（2.26） F sf tL 10nfLLLLLL,n當(dāng)當(dāng)初始條件

39、為零初始條件為零時(shí)，則時(shí)，則 5.延遲定理延遲定理設(shè)設(shè)，且，且時(shí)，時(shí)，則，則函數(shù)函數(shù)為原函數(shù)為原函數(shù)沿沿時(shí)間軸延遲了時(shí)間軸延遲了，如圖如圖2.11所示。所示。 )(1d)(sFsttfLnnn （2.27）0t sFtfL 0f t )(e)(sFtfLs（2.28）f t f t圖圖2.11函數(shù)函數(shù)f tLLL6.位移定理位移定理 在控制理論中，經(jīng)常遇到在控制理論中，經(jīng)常遇到一類的函數(shù)，它的一類的函數(shù)，它的象函數(shù)象函數(shù)只需把只需把用用代替即可，這相當(dāng)于在復(fù)數(shù)代替即可，這相當(dāng)于在復(fù)數(shù)坐標(biāo)中，坐標(biāo)中，有一位移有一位移。設(shè)設(shè)，則，則 例如例如的的象函數(shù)象函數(shù)，則，則的的象函數(shù)象函數(shù)為為7.初值定理

40、初值定理它表明它表明原函數(shù)原函數(shù)在在時(shí)的數(shù)值。時(shí)的數(shù)值。 即即原函數(shù)原函數(shù)的初值等于的初值等于乘以乘以象函數(shù)象函數(shù)的終值。的終值。tatcose22cosstsLcos t)(etfatssaas)()(easFtfLat sFtfL（2.29）22)(coseasastLat0t 0limlimtsf tsF s（2.30）sLLL8.終值定理終值定理設(shè)設(shè)，并且，并且存在，則存在，則 即即原函數(shù)原函數(shù)的終值等于的終值等于乘以乘以象函數(shù)象函數(shù)的初值。的初值。這一定理對(duì)于求這一定理對(duì)于求瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值是很有用的。的穩(wěn)態(tài)值是很有用的。9.卷積定理卷積定理設(shè)設(shè)，則有，則有即兩個(gè)即兩個(gè)原函數(shù)

41、原函數(shù)的的卷積分卷積分的的拉氏變換拉氏變換等于它們等于它們象函數(shù)象函數(shù)的乘積。的乘積。式（式（2.32）中，）中，為為卷積分卷積分的數(shù)學(xué)表示，定義為的數(shù)學(xué)表示，定義為 10.時(shí)間比例尺的改變時(shí)間比例尺的改變 sFtfL)(limtft)(lim)()(lim0ssFftfst （2.31）s sFtfL sGtgL )()()(sGsFtgtfL（2.32） )(tgtftgtftgtf0d)()()()(tgtftgtf0d)()()()(defdefLLLL式中：式中：比例系數(shù)比例系數(shù)例如，例如，的的象函數(shù)象函數(shù)，則，則的象函數(shù)為的象函數(shù)為11.拉氏變換的積分下限拉氏變換的積分下限在某些情

42、況下，在某些情況下，在在處有一個(gè)處有一個(gè)脈沖函數(shù)脈沖函數(shù)。這時(shí)必須。這時(shí)必須明確明確拉普拉斯積分拉普拉斯積分的下限是的下限是還是還是，因?yàn)閷?duì)于這兩種下限，因?yàn)閷?duì)于這兩種下限，的的拉氏變換拉氏變換是不同的。為此，可采用如下符號(hào)予以區(qū)分：是不同的。為此，可采用如下符號(hào)予以區(qū)分： )()(cscFctfL （2.33）c ttf e 11essFLtttf5 . 0e212222e25 . 0ssFLtfLt tf0t00 tf ttftfstde012222e25 . 0ssFLtfLtLLLLLtfc ttftfttftfststdede000LL若在若在處處包含一個(gè)包含一個(gè)脈沖函數(shù)脈沖函數(shù)，則

43、，則 因?yàn)樵谶@種情況下因?yàn)樵谶@種情況下顯然，如果顯然，如果在在處處沒有脈沖函數(shù)沒有脈沖函數(shù)，則有，則有2.2.4 2.2.4 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 拉普拉斯反變換的公式為拉普拉斯反變換的公式為 式中：式中：表示拉普拉斯反變換的符號(hào)表示拉普拉斯反變換的符號(hào)通常用部分分式展開法將復(fù)雜函數(shù)展開成有理分式函數(shù)之通常用部分分式展開法將復(fù)雜函數(shù)展開成有理分式函數(shù)之和，然后由拉氏變換表一一查出對(duì)應(yīng)的反變換函數(shù)，即得所求的和，然后由拉氏變換表一一查出對(duì)應(yīng)的反變換函數(shù)，即得所求的原函數(shù)原函數(shù)。0t tf tfLtfL 000dettfst tf0t tfLtfL jj1de )(j21)(ccstssF

44、sFLtf（2.36） tf tfLtfL tfLtfL tfLtfL tfLtfL jj1de )(j21)(ccstssFsFLtfLLLL1L1L1.部分分式展開法部分分式展開法在控制理論中，常遇到的在控制理論中，常遇到的象函數(shù)象函數(shù)是是的的有理分式有理分式 為了將為了將寫成部分分式，首先將寫成部分分式，首先將的分母的分母因式分解因式分解，則有則有 式中，式中，是是的根的負(fù)值，稱為的根的負(fù)值，稱為的的極極點(diǎn)點(diǎn)。按照這些根的性質(zhì)，可分為以下幾種情況來研究。按照這些根的性質(zhì)，可分為以下幾種情況來研究。2.的極點(diǎn)為各不相同的實(shí)數(shù)時(shí)的拉氏反變換的極點(diǎn)為各不相同的實(shí)數(shù)時(shí)的拉氏反變換snnnnmmm

45、masasasabsbsbsbsAsBsF11101110)()()()(sF)()()(211110nmmmmpspspsbsbsbsbsF1p2pnp0)(sA)(sF，)()()()()(211110nmmmmpspspsbsbsbsbsAsBsFniiinnpsApsApsApsA12211 （2.37）)(sF)(sF式中，式中，是待定系數(shù)，它是是待定系數(shù)，它是處的留數(shù)，其求法如下：處的留數(shù)，其求法如下：再根據(jù)再根據(jù)拉氏變換拉氏變換的的疊加定理疊加定理，求，求原函數(shù)原函數(shù) 例例2.1求求的原函數(shù)。的原函數(shù)。解解首先將首先將的分母因式分解的分母因式分解，則有，則有 iAipsipsii

46、pssFA)( （2.38）)6(2)(22ssssssF sF23)2)(3(2)6(2)(321222sAsAsAsssssssssssF31)2)(3(2)(0201ssssssssssFA158) 3()2)(3(2) 3)(3232ssssssssssFAsFnitpiniiiiApsA11e)(tf)(1L1L即得即得3.含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)的拉氏反變換含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)的拉氏反變換 如果如果有一對(duì)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)、，其余極點(diǎn)均為，其余極點(diǎn)均為各不相同的各不相同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)實(shí)數(shù)極點(diǎn)。將。將展成展成54)2()2)(3(2)2)(2223ssssssssssFA31)(sF

47、1581s5431s21s )0(e54e1583123ttt)(sF1p2p)(sF)()()()(3211110nmmmmpspspspsbsbsbsbsFnnpsApsApspsAsA332121)(1L)(sF)(tf1L1L1L0t式中，式中，和和可按下式求解：可按下式求解：即即因?yàn)橐驗(yàn)椋ɑ颍ɑ颍┦菑?fù)數(shù)，故式（）是復(fù)數(shù)，故式（2.39）兩邊都應(yīng)是復(fù)數(shù)，令）兩邊都應(yīng)是復(fù)數(shù)，令等號(hào)兩邊的實(shí)部、虛部分別相等，得兩個(gè)方程式，聯(lián)立求解，即等號(hào)兩邊的實(shí)部、虛部分別相等，得兩個(gè)方程式，聯(lián)立求解，即得得、兩個(gè)常數(shù)。兩個(gè)常數(shù)。例例2.2已知已知，試求其部分分式。試求其部分分式。 解解:因?yàn)橐驗(yàn)?A2A

48、 （2.39）1p2p、 1A2A（2.40） 21)(21pspspspssF或21)()(21332121pspspspspsApsApspsAsAnn或21212121)()(pspspspsAsApspssF或或 2nndndjjF ss ss 2nndndjjF ss ss含有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)含有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，和和一個(gè)極點(diǎn)一個(gè)極點(diǎn)，故可將故可將式（式（2.40）因式分解成）因式分解成以下求系數(shù)以下求系數(shù)、和和。由式（由式（2.40）和式（）和式（2.41）相等，有）相等，有用用乘以上式兩邊，并令乘以上式兩邊，并令，得到得到 （2.41）1A2A3A（2.42） 1ndjp 2nd

49、jp 30p 312ndndjjAAsAF ssss2nndndjjs ss312ndndjjAAsAsssndndjjssndjs dd2n12jjssAsAsnn2n1d2djjAAnn上式可進(jìn)一步寫成上式可進(jìn)一步寫成由上式兩邊實(shí)部和虛部分別相等，可得由上式兩邊實(shí)部和虛部分別相等，可得聯(lián)立以上兩式，可求得聯(lián)立以上兩式，可求得為了求出系數(shù)為了求出系數(shù)，用，用乘方程（乘方程（2.42）兩邊，并令）兩邊，并令，將將代入，得代入，得將所求得的將所求得的、值代入式（值代入式（2.41），并整理后得），并整理后得的部分分式的部分分式 12n12AA 3As0s1A2A3A)(sFnd1n21djjAA

50、An1n2d1dAAA 2n2A 22nn3ndndndnd01jjjjsAs ss2dn1查拉氏變換表便得查拉氏變換表便得，結(jié)果見式（結(jié)果見式（3.16）。例例2.3已知已知,求求。解解將將的分母因式分解的分母因式分解，得，得 )()(1tfsFL) 1(1)(2sssssF)(tf)(sF1) 1(1020ssssssA nndnd21jjsF ssss nn2222ndnd1ssss 0122111313jj2222AAsAsF sssss ss 1L利用方程兩邊實(shí)部、虛部分別相等得利用方程兩邊實(shí)部、虛部分別相等得 解得解得， 所以所以 23j212123j2122) 1() 1(1ss

51、AsAssssss21)23j21(23j21123j21AA23)(2321)(212121AAAA02A， 11A11) 1(1)(22sssssssssF這種形式再作適當(dāng)變換這種形式再作適當(dāng)變換查拉氏變換表得查拉氏變換表得 11)(2sssssF2223211sss22222321212321211ssss222223212323212321211ssss )0(23sine57. 023cose1)(2121ttttftt 0t4.中含有重極點(diǎn)的拉氏反變換中含有重極點(diǎn)的拉氏反變換 設(shè)設(shè)有有個(gè)個(gè)重根重根，則，則 將上式展開成部分分式將上式展開成部分分式 式中，式中，的求法與單實(shí)數(shù)極點(diǎn)情況

52、下相同。的求法與單實(shí)數(shù)極點(diǎn)情況下相同。，的求法如下：的求法如下： )(sF0)(sAr nrrmmmmpspspsbsbsbsbsF101110)(nnrrrrrpsApsApsApsApsAsF11001002001)(（2.43） 1rA2rAnA01A02ArA0 0002ddpsrpssFsA 002203dd! 21psrpssFsA 0010rspAF ssp例例2.4設(shè)設(shè)，試求，試求的部分分式。的部分分式。解解已知已知 含有含有2個(gè)重極點(diǎn)，可將式（個(gè)重極點(diǎn)，可將式（2.45）的分母因式分解得）的分母因式分解得以下求系數(shù)以下求系數(shù)、和和：2n2n)()(sssF)(sF2n2n)(

53、)(sssF（2.45）（2.46）01A02A3A、 00)1()1(0dd)!1(1psrrrrpssFsrA)0(eee)!2()!1()()(1010)2(02)1(011tAAAtrAtrAsFLtftpntprtprrrnr)0(eee)!2()!1()()(1010)2(02)1(011tAAAtrAtrAsFLtftpntprtprrrnr) 0(eee)!2()!1()()(1010)2(02) 1(011tAAAtrAtrAsFLtftpntprtprrrnr 010232nnAAAF ssss0t（2.44）將所求得的將所求得的、值代入式（值代入式（2.46），即得即得的

54、部分的部分分式分式 查拉氏變換表可得查拉氏變換表可得。例例2.5求求的拉氏反變換。的拉氏反變換。 解解將將展開為部分分式展開為部分分式01A02A3A)(sFssssF11)(n2nn )(1tfsFL 1232ssssF sFn22n01nn2nsAss s nn222nn02n22nd1dssAssss s 2n32n01sAss s1L上式中各項(xiàng)系數(shù)為上式中各項(xiàng)系數(shù)為 于是于是查拉氏變換表，得查拉氏變換表，得 11232212322201sssssA 0e2e2)(2tttftt 2113132123dd2222202sssssssssssAs 2113132123dd2222202ss

55、sssssssssAs 2113132123dd2222202sssssssssssAs 010232212AAAF ssss 2122212F ssss0t 32131221ssAsss 應(yīng)當(dāng)指出，對(duì)于在應(yīng)當(dāng)指出，對(duì)于在分母中包含有較高階次多項(xiàng)式的復(fù)雜函分母中包含有較高階次多項(xiàng)式的復(fù)雜函數(shù)，用人工算法進(jìn)行部分分式展開則相當(dāng)費(fèi)時(shí)費(fèi)力。這種情況數(shù)，用人工算法進(jìn)行部分分式展開則相當(dāng)費(fèi)時(shí)費(fèi)力。這種情況下，采用下，采用MATLAB工具就方便多了。工具就方便多了。5.用用MATLAB展開部分分式展開部分分式(1)概述概述 MATLAB是美國(guó)是美國(guó)MathWorks公司的軟件產(chǎn)品，是一個(gè)高級(jí)公司的軟件產(chǎn)品

56、，是一個(gè)高級(jí)的數(shù)值分析、處理與計(jì)算的軟件，其強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算能力和完美的數(shù)值分析、處理與計(jì)算的軟件，其強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算能力和完美的圖形可視化功能，使得它成為國(guó)際控制界應(yīng)用最廣的首選計(jì)算的圖形可視化功能，使得它成為國(guó)際控制界應(yīng)用最廣的首選計(jì)算機(jī)工具。機(jī)工具。SIMULINK是基于模型化圖形的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真軟件，是是基于模型化圖形的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真軟件，是MATLAB的一個(gè)工具箱，它使系統(tǒng)分析進(jìn)入一個(gè)嶄新的階段，的一個(gè)工具箱，它使系統(tǒng)分析進(jìn)入一個(gè)嶄新的階段，它不需要過多地了解數(shù)值問題，而是側(cè)重于系統(tǒng)的建模、分析與它不需要過多地了解數(shù)值問題，而是側(cè)重于系統(tǒng)的建模、分析與設(shè)計(jì)。其良好的人機(jī)界面及周到的幫助功能使

57、得它廣為科技界和設(shè)計(jì)。其良好的人機(jī)界面及周到的幫助功能使得它廣為科技界和工程界所采用。工程界所采用。(2)用用MATLAB進(jìn)行部分分式展開進(jìn)行部分分式展開MATLAB有一個(gè)命令用于求有一個(gè)命令用于求B(s)/A(s)的部分分式展開式。的部分分式展開式。設(shè)設(shè)s 的有理分式為的有理分式為式中式中（i =）和）和（j =）的某些值可能為零。）的某些值可能為零。在在MATLAB的行向量中，的行向量中，num和和den分別表示分別表示F(s)分子和分母的分子和分母的系數(shù)，即系數(shù)，即num=den=1命令命令 MATLAB將按下式給出將按下式給出F(s)部分分式展開式中的部分分式展開式中的留數(shù)留數(shù)、極點(diǎn)極

58、點(diǎn)和和余余項(xiàng)項(xiàng)：nnnnnnasasbsbsbsAsBsF 11110)()()(ian, 2 , 1 jb0b 1bnb 1ana 1ar,p,k=residue(num,den)()()()2()2() 1 () 1 ()(sknpsnrpsrpsrsF 0,1,2,n上式與式（上式與式（2.37）比較，顯然有）比較，顯然有p(1)=-，p(2)=-，p(n)=-；r(1)= , r(2)= ，r(n)= ；k(s)是余項(xiàng)。是余項(xiàng)。例例2.6試求下列函數(shù)的部分分式展開式：試求下列函數(shù)的部分分式展開式： 解解對(duì)此函數(shù)有對(duì)此函數(shù)有 num=111395226den=110355024命令命令于

59、是得到下列結(jié)果于是得到下列結(jié)果r,p,k=residue(num,den)r=1.00002.5000-3.0000np1p2pnA1A2A2450351026523911)(234234sssssssssFr,p,k=residue(num,den)0.5000p=-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000k=1則得則得如果如果F(s)中含重極點(diǎn)，則部分分式展開式將包括下列諸項(xiàng)中含重極點(diǎn)，則部分分式展開式將包括下列諸項(xiàng)式中，式中，p(j )為一個(gè)為一個(gè)q重極點(diǎn)重極點(diǎn)。例例2.7試將下列函數(shù)展開成部分分式：試將下列函數(shù)展開成部分分式：4324321139522612.530.5(

60、 )1103550244321ssssF sssssssssqjpsqjrjpsjrjpsjr)() 1()() 1()()(2 13364164)(23232sssssssssF解解對(duì)于該函數(shù)有對(duì)于該函數(shù)有num=0146den=1331命令命令r,p,k=residue(num,den)將得到如下結(jié)果將得到如下結(jié)果：r,p,k=residue(num,den)r=1.00002.00003.0000p=-1.0000-1.0000-1.0000k=所以可得所以可得 注意，本例的余項(xiàng)注意，本例的余項(xiàng)k 為零為零。2.2.5 2.2.5 應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程應(yīng)用