綴飾原子的本征態(tài)

1、第二章 場(chǎng)和物質(zhì)相互作用的半經(jīng)典理論基礎(chǔ)綴飾原子的本征態(tài)在處理原子與場(chǎng)之間的強(qiáng)相互作用時(shí)，微擾理論不再適用。因?yàn)閺?qiáng)電磁場(chǎng)的存在不僅會(huì)引起原子在其本征能級(jí)之間的躍遷，而且原子能級(jí)的特性和本征函數(shù)也發(fā)生了強(qiáng)烈的變化。綴飾原子方法是處理強(qiáng)相互作用的一種有效的方法，它不僅能夠給出簡(jiǎn)捷的數(shù)學(xué)表達(dá)式，而且可清楚地闡明強(qiáng)光作用下的物理現(xiàn)象。這種方法是將原子和激光場(chǎng)看成統(tǒng)一的整體，稱之為綴飾原子，此時(shí)原子被看成覆蓋著強(qiáng)電磁場(chǎng)的外罩。這類原子哈密頓量的本征函數(shù)將構(gòu)成新的函數(shù)空間，此空間不再純屬于原子或是電磁場(chǎng)，而是自由原子的本征態(tài)和自由電磁場(chǎng)的本征態(tài)的乘積的線性組合。進(jìn)一步還可以將綴飾原子看作一種實(shí)體來研究它與

2、其它電磁場(chǎng)的“弱”相互作用，這個(gè)作用可以看成是對(duì)自由綴飾原子的一種擾動(dòng)，它將引起綴飾原子在其本征能態(tài)之間的躍遷，這個(gè)過程可采用微擾論來處理。下面我們以二能級(jí)原子與單模光場(chǎng)相互作用為例來討論綴飾原子的本征態(tài)。如圖2-3所示，為強(qiáng)相干場(chǎng)的頻率， 為探測(cè)場(chǎng)的頻率，分別為能級(jí)向能級(jí)和的衰減速率。推導(dǎo)綴飾態(tài)的表達(dá)式時(shí)，先忽略弱場(chǎng)的作圖2-3 三能級(jí)原子的綴飾態(tài)用，而只考慮強(qiáng)相干場(chǎng)的作用。在半經(jīng)典理論中，相干場(chǎng)表示為(2.5-1)旋轉(zhuǎn)波近似下，系統(tǒng)的哈密頓寫成： (2.5-2)其中為相干場(chǎng)頻率與原子共振頻率之間的失諧，,為相干場(chǎng)的Rabi頻率，它表示了場(chǎng)與原子相互作用的強(qiáng)弱，在不考慮位相的情況下，我們?cè)O(shè)為

3、實(shí)數(shù)。H的本征方程為：(2.5-3)解得： (2.5-4a) (2.5-4b) (2.5-4c)由此可得綴飾原子的本征態(tài)為： (2.5-5a) (2.5-5b)其中： (2.5-6a) (2.5-6b)綴飾態(tài)之間的頻率間隔為 (2.5-7)下面我們以圖2-3的三能級(jí)系統(tǒng)為例，說明如何在綴飾態(tài)表象中求出強(qiáng)場(chǎng)作用下介質(zhì)對(duì)探測(cè)場(chǎng)的吸收系數(shù)。將態(tài)和態(tài)在綴飾態(tài)表象中展開有： (2.5-8) (2.5-9)在此，為了討論問題方便起見，令強(qiáng)相干場(chǎng)與之間的躍遷共振，則有(2.5-10)(2.5-11)由麥克斯韋布洛赫方程，介質(zhì)的復(fù)極化率由下式?jīng)Q定(2.5-12)介質(zhì)的吸收系數(shù)(2.5-13)其中的N為原子數(shù)密

4、度，為探測(cè)場(chǎng)的頻率，為探測(cè)場(chǎng)的Rabi頻率。在綴飾態(tài)表象中 (2.5-14)，滿足如下的密度矩陣方程 (2.5-15) (2.5-16)其中的 (2.5-17) (2.5-18)在只考慮對(duì)于的一階近似時(shí)，將上式代入方程(2.5-15), (2.5-16)中，可得穩(wěn)態(tài)下的解為 (2.5-19) (2.5-20)其中的。將式(2.5-19)，(2.5-20)代入式（2.5-14）中，可得 (2.5-21)最后我們可以得到吸收系數(shù) (2.5-22)2.8 原 子 的 綴 飾 態(tài) 在 研 究 場(chǎng) 與 物 質(zhì) 相 互 作 用 時(shí)， 作 用 到 物 質(zhì) 內(nèi) 的 光 場(chǎng) 可 能 是 多 個(gè) 單 模 場(chǎng)， 有

5、 的 是 強(qiáng) 相 干 場(chǎng)， 有 的 是 弱 探 測(cè) 場(chǎng)， 人 們 關(guān) 心 的 往 往 是 在 強(qiáng) 相 干 場(chǎng) 作 用 下 弱 探 測(cè) 場(chǎng) 的 行 為 變 化。 原 則 上 講， 我 們 可 以 寫 出 未 擾 原 子 系 統(tǒng) 及 總 場(chǎng) 與 原 子 系 統(tǒng) 相 互 作 用 哈 密 頓 量， 在 未 擾 原 子 ( 即 裸 原 子 ) 的 本 征 態(tài) 中 寫 出 密 度 算 符 矩 陣 元 方 程， 利 用 2.6 及 2.7 節(jié) 所 描 述 的 方 法 可 以 解 出 相 應(yīng) 密 度 算 符 矩 陣 元 的 解 析 式。 但 這 種 在 裸 原 子 表 象 中 給 出 的 結(jié) 果， 其 譜 線

6、 結(jié) 構(gòu) 的 物 理 圖 象 并 不 十 分 清 晰。 為 了 突 出 強(qiáng) 場(chǎng) 作 用 下， 整 個(gè) 系 統(tǒng) 的 物 理 過 程， 有 時(shí) 采 用 綴 飾 態(tài) 表 象， 在 綴 飾 態(tài) 表 象 中， 其 結(jié) 果 具 有 清 晰 的 物 理 圖 象。 綴 飾 態(tài) 可 分 為 全 量 子 綴 飾 態(tài) 和 半 經(jīng) 典 綴 飾 態(tài)。 所 謂 的 全 量 子 綴 飾 態(tài) 就 是 把 場(chǎng) 進(jìn) 行 二 次 量 子 化， 然 后 寫 出 未 擾 原 子 系 統(tǒng)、 自 由 強(qiáng) 場(chǎng) 及 強(qiáng) 場(chǎng) 與 原 子 相 互 作 用 的 哈 密 頓 量， 求 出 三 者 總 哈 密 頓 量 的 本 征 值 及 本 征 態(tài) 函

7、 數(shù)， 稱 該 本 征 態(tài) 為 全 量 子 綴 飾 態(tài)， 以 綴 飾 態(tài) 為 表 象， 再 討 論 弱 場(chǎng) 的 探 測(cè) 行 為。 從 物 理 上 講， 就 是 把 原 子 系 統(tǒng) 同 強(qiáng) 場(chǎng) 看 成 是 一 緊 密 耦 合 的 整 體， 它 們 的 共 同 本 征 態(tài) ( 綴 飾 態(tài) ) 即 不 單 單 屬 于 原 子 系 統(tǒng)， 也 不 僅 僅 屬 于 強(qiáng) 場(chǎng)， 而 是 屬 于 整 體 耦 合 的 結(jié) 果， 可 形 象 理 解 為 強(qiáng) 場(chǎng) 給 未 擾 原 子 態(tài) 穿 上 了 一 層 電 磁 場(chǎng) 外 衣， 其 它 探 測(cè) 場(chǎng) 的 行 為 可 在 綴 飾 態(tài) 表 象 中 討 論。 半 經(jīng) 典 綴

8、飾 態(tài) 是 將 場(chǎng) 看 成 經(jīng) 典 場(chǎng)， 寫 出 原 子 系 統(tǒng) 的 自 由 哈 密 頓 量 及 總 場(chǎng) 與 原 子 系 統(tǒng) 相 互 作 用 哈 密 頓 量， 然 后， 將 自 由 電 子 哈 密 頓 量 分 成 兩 部 分， 一 部 分與 強(qiáng) 場(chǎng) 能 量 相 等， 另 一 部 分 是 與 強(qiáng) 場(chǎng) 能 量 的 差， 將 差 值 部 分 與 相 互 作 用 哈 密 頓 量 合 起 來 作 為 相 互 作 用 圖 象 中 的 哈 密 頓 量， 求 其 本 征 能 量 及 本 征 態(tài)， 這 組 新 的 本 征 態(tài) 稱 為 半 經(jīng) 典 綴 飾 態(tài)。 之 所 以 這 樣 處 理， 是 因 為雖 然 半

9、經(jīng) 典 綴 飾 態(tài) 的 絕 對(duì) 本 征 能 量 與 全 量 子 綴 飾 態(tài) 的 絕 對(duì) 本 征 能 量 不 同， 但 全 量 子 態(tài) 中 的 本 征 能 量 的 差 值 與 半 經(jīng) 典 綴 飾 態(tài) 中 的 本 征 能 量 的 差 值 是 完 全 相 同 的， 兩 者 本 征 函 數(shù) 也 相 同 ( 這 一 點(diǎn) 將 在 下 面 的 討 論 中 看 到 ), 所 以 在 半 經(jīng) 典 綴 飾 態(tài) 表 象 中 同 樣 可 以 對(duì) 計(jì) 算 結(jié) 果 給 出 清 晰 的 物 理 解 釋。 本 節(jié) 根 據(jù) 二 能 級(jí) 理 論 模 型， 總 結(jié) 一 下 全 量 子 和 半 經(jīng) 典 綴 飾 態(tài) 的 本 征 能 量

10、 及 本 征 函 數(shù) 的 推 導(dǎo) 過 程。一. 全 量 子 綴 飾 態(tài)考 慮 如 Fig.2.8.1 所 示 的 強(qiáng) 場(chǎng) 作 用 下 的 二 能 級(jí) 原 子 系 統(tǒng)， 包 括 強(qiáng) 場(chǎng) 在 內(nèi) 的 系 統(tǒng) 總 的 二 次 量 子 化 哈 密 頓 量 ( 不 包 括 弱 探 測(cè) 場(chǎng) ) 為：(2.8.1)其 中 g 為 相 應(yīng) 的 偶 極 躍 遷 系 數(shù)，Hf ,He ,Hi 分 別 為 自 由 光 場(chǎng)、 自 由 電 子 及 光 場(chǎng) 與 原 子 相 互 作 用 的 哈 密 頓 量。 設(shè) 自 由 電 子 與 自 由 光 場(chǎng) 的 哈 密 頓 量 的 共 同 本 征 態(tài) 為:(2.8.2)在 兩 維 子

11、 空 間 中， 即 在 表 象 中， 求 HT 的 本 征 能 量 及 本 征 函 數(shù)。 對(duì) 應(yīng) HT 的 本 征 值 方 程 為：(2.8.3) 其 中 , (2.8.3) 的 本 征 能 量 解 為：(2.8.4)其 中 為 強(qiáng) 場(chǎng) 與 原 子 能 級(jí) 間 的 失 諧。 由 (2.8.4) 式， 可 以 討 論 自 由 電 子 的 本 征 能 量、 自 由 光 波 場(chǎng) 的 本 征 能 量、 自 由 電 子 與 自 由 光 波 場(chǎng) 的 未 擾 共 同 本 征 能 量 及 總 的 本 征 能 量。1. 自 由 電 子 的 本 征 能 量， 即 令 (2.8.4) 中 的(2.8.5)2.自 由

12、 光 波 場(chǎng) 的 本 征 能 量， 即令 (2.8.4) 中 的 (2.8.6)3.自由 電 子 和 自 由光 波 場(chǎng) 的 共 同 本 征 能 量， 即 令 (2.8.4) 中 的 G0(2.8.7)4. 總 哈 密 頓 量 HT 的 本 征 能 量(2.8.8)同 理，HT 在 |1,n>, |2,n-1> 兩 維 子 空 間 中 的 能 量 本 征 值 為：(2.8.9)上 述 (2.8.5)-(2.8.9) 式 在 四 維 子 空 間 中 各 種 哈 密 頓 量 的 本 征 能 量 對(duì) 應(yīng) 的 能 級(jí) 如 Fig.2.8.2 所 示。HT 的 二 維 本 征 函 數(shù) |a,n

13、>, |b,n> 可 由 He+Hf 的 二 維 本 征 函 數(shù) 進(jìn) 行 線 性 組 合， 即(2.8.10) 其 系 數(shù) 滿 足 如 下 形 式 的 本 征 方 程(2.8.11) 將 (2.8.8) 的 本 征 能 量 E1 和 E2 分 別 代 入 (2.8.11) 中， 并 注 意 如 下 的 規(guī) 一 化 關(guān) 系：(2.8.12) 可 得：(2.8.13) 因 此 HT 的 本 征 函 數(shù) 可 寫 成：(2.8.14)如 果，, 即 共 振 情 況， 由 (2.8.13) 式 可 知，(2.8.14) 將 變 成：(2.8.15) 二. 半 經(jīng) 典 綴 飾 態(tài) 將 場(chǎng) 按

14、經(jīng) 典 場(chǎng) 處 理， 即(2.8.16) 系 統(tǒng) 的 哈 密 頓 量 為 ( 不 包 括 自 由 光 場(chǎng)):(2.8.17)為 方 便， 令 , 并 注 意 到 , 在 旋 轉(zhuǎn) 波 近 似 下, (2.8.17) 變 成：(2.8.18) 在 相 互 作 用 圖 象 中，(2.8.19)上 式 運(yùn) 算 時(shí) 用 了 公 式 (2.3.17)。 在 裸 原 子 表 象 |1>, |2> 中， 的 本 征 方 程 為：(2.8.20)(2.8.20) 的 能 量 本 征 解 為:(2.8.21)比 較 (2.8.8) 和 (2.8.21) 可 知， 半 經(jīng) 典 綴 飾 態(tài) 的 本 征 能

15、 量 差 與 全 量 子 綴 飾 態(tài) 的 本 征 能 量 差 是 完 全 相 同 的。 半 經(jīng) 典 綴 飾 態(tài) 的 本 征 函 數(shù) 可 按 裸 原 子 的 能 量 本 征 態(tài) |1>, |2> 作 展 開， 即：(2.8.22)同 上 述 求 解 全 量 子 綴 飾 態(tài) 的 本 征 函 數(shù) 過 程 相 同， 可 以 求 出 半 經(jīng) 典 綴 飾 態(tài) 的 本 征 函 數(shù)：(2.8.23)(2.8.24) 如 果, 即 共 振 情 況，(2.8.24) 式 變 為：(2.8.25)(2.8.15) 和 (2.8.25) 就 是 文 獻(xiàn) 中 經(jīng) 常 引 用 的 疊 加 態(tài) 表 達(dá) 式。 比 較 (2.8.13), (2.8.14) , (2.8.23) 和 (2.8.24)， 全 量 子 綴 飾 態(tài) 與 半 經(jīng) 典 綴 飾 態(tài) 的 本 征 函 數(shù) 也 是 完 全 相 同 的。 總 上 所 述， 半 經(jīng) 典 綴 飾 態(tài) 與 全 量 子 綴 飾 態(tài) 的 本 征 能 量 和 本 征 函 數(shù) 是 完 全 相 同 的， 區(qū) 別 在 于 全 量 子 綴 飾 態(tài) 可 得 多 維 子