偏微分方程數(shù)值解試題06A參考答案

1、偏微分方程數(shù)值解試題一（10分）、設(shè)矩陣對(duì)稱(chēng)正定，定義，證明下列兩個(gè)問(wèn)題等價(jià)：(1)求使 ;(2)求下列方程組的解：解: 設(shè)是的最小值點(diǎn),對(duì)于任意的,令, (3分)因此是的極小值點(diǎn),即對(duì)于任意的,特別取,則有,得到.（3分) 反之,若滿(mǎn)足,則對(duì)于任意的,因此是的最小值點(diǎn). (4分)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn):的表示式3分, 每問(wèn)3分,推理邏輯性1分二（20分）、對(duì)于邊值問(wèn)題（1）建立該邊值問(wèn)題的五點(diǎn)差分格式（五點(diǎn)棱形格式又稱(chēng)正五點(diǎn)格式），推導(dǎo)截?cái)嗾`差的階。（2）取，求邊值問(wèn)題的數(shù)值解（寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的方程組的矩陣形式，并求解）（3）就取的一般情況寫(xiě)出對(duì)應(yīng)方程組的系數(shù)矩陣（用分塊矩陣表示）。解: (1) 區(qū)域離散,差分

2、格式為 (5分)應(yīng)用展開(kāi)得到,截?cái)嗾`差為,其階為 (3分)(2) 未知量為,矩陣形式為,其中 (4分)解為 (3分)(3) 矩陣為, (5分)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn):第1問(wèn)8分,格式4分,截?cái)嗾`差4.(2) 7分,方程4分,解3分.(3)5分, 形式3分,b的形式2分三（20分）、對(duì)于初邊值問(wèn)題（1）建立向前差分格式（最簡(jiǎn)顯格式），推導(dǎo)截?cái)嗾`差的主項(xiàng)，指出誤差階;（2）寫(xiě)出差分格式的矩陣形式（即的形式），用矩陣方法分析格式的穩(wěn)定性（3）建立六點(diǎn)加權(quán)格式，寫(xiě)出計(jì)算形式，應(yīng)用方法（分離變量法）分析格式的穩(wěn)定性。解:(1) 區(qū)域離散,格式為 , (5分)應(yīng)用展開(kāi)得到,誤差主項(xiàng)為,階為 (3分) (2) , (4分

3、)穩(wěn)定條件為 (3分)(3) 格式為, (3分)當(dāng)格式恒穩(wěn)定,當(dāng),穩(wěn)定條件為 (2分)四（10分）、逼近的三層差分格式分析格式的穩(wěn)定性解:計(jì)算形式為 (2分)此為三層格式,化為兩層格式.令,則有   (4分) 令,代入格式,消去公因子,得到 (2分) 放大矩陣為,特征方程為,的充要條件為方程有相同的復(fù)根或一對(duì)共扼復(fù)根,即.考慮到的變化,穩(wěn)定條件為 (2分)五（10分）、建立波動(dòng)方程的初值問(wèn)題的顯格式，推導(dǎo)截?cái)嗾`差.解:差分格式為, (5分)截?cái)嗾`差為,階為 (5分)六（10分）、對(duì)于二維拋物型方程建立向后差分格式（隱格式），指出截?cái)嗾`差階，分析格式的穩(wěn)定性。解: 差分格式為 (4分)誤差階為 (3分)放大因子為,恒穩(wěn)定. (3分)七（10分）、分析差分格式的穩(wěn)定性解:寫(xiě)出計(jì)算形式,忽略低階項(xiàng)2分,寫(xiě)出放大因子3分 (2分)von