用幾何畫板研究拋物線的畫法和應(yīng)用

1、用幾何畫板研究拋物線的畫法和應(yīng)用 一拋物線的定義1 在平面內(nèi)，與一個定點(diǎn)f和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。定點(diǎn)f叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。2 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 從定點(diǎn)f向定直線l作垂線，垂足為k，取kf的中點(diǎn)o作為原點(diǎn)，kf所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系， 設(shè)|kf|p，則f點(diǎn)的坐標(biāo)是 (, 0),準(zhǔn)線l的方程是x，設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是m(x, y)，自m點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足是d，則|mf|md| |x| 整理得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y22px. (p>0) 二拋物線的畫法 畫法1： 1先畫出定點(diǎn)f和定直線l，按要求畫出直角坐標(biāo)系； 2在圖形外畫一條射

2、線bc，在射線bc上取一點(diǎn)m(m點(diǎn)為動點(diǎn))； 3在bc反方向上取一點(diǎn)a，使|ab|of|，作線段am； 4以f為圓心，|am|為半徑作圓； 5先后選定a、m點(diǎn)，用“變換”菜單中的“標(biāo)記向量”功能，標(biāo)記向量am，選中 直線l，用“變換”菜單中的“平移”功能，將直線l平移；6平移后的直線與圓相交，定義交點(diǎn)為p、q；將它們定義為“追蹤點(diǎn)”；先后選定 p、m兩點(diǎn)，用“作圖”菜單中的“軌跡”功能，得到拋物線的一部分，同樣先后 選定q、m兩點(diǎn)，用“作圖”菜單中的“軌跡”功能，得到拋物線的另一部分； 在射線bc上拖動m點(diǎn)，則p、q兩點(diǎn)的軌跡畫出拋物線。 理論根據(jù)：p點(diǎn)在以f為圓心，|am|為半徑的圓上， |

3、pf|am|，又將準(zhǔn)線平移了am的長度， p點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于|am|。 畫法2 1先畫出定點(diǎn)f和定直線l，按要求畫出直角坐標(biāo)系； 2在直線l上取一點(diǎn)m(m點(diǎn)為動點(diǎn))； 3連接mf，作線段mf的中垂線； 4過m點(diǎn)作直線l的垂線與mf的中垂線相交于p點(diǎn)，將它定義為追蹤點(diǎn)； 5先后選定p、m兩點(diǎn)，用“作圖”菜單中的“軌跡”功能，得到拋物線； 6在直線l上拖動m點(diǎn)，則p點(diǎn)的軌跡是拋物線 理論根據(jù)： pm準(zhǔn)線，pm是p點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，又|pf|是p點(diǎn)到焦點(diǎn)f的距離，p點(diǎn)在mf的中垂線上，所以|pm|pf|。 畫法3 1作長方形abcd，取cd的中點(diǎn)o，作ohcd； 2將od平均分成n份，在每個分點(diǎn)作c

4、d的垂線a1a1，a2a2，； 3將da也分成n份，連接每個分點(diǎn)與o點(diǎn)的線段ob1，ob2，； 4將a1a1與 ob1，a2a2與ob2，的交點(diǎn)畫出，用平滑的曲線依次連接對應(yīng)各點(diǎn)，得到拋物線的一半； 5同樣方法畫出另一半。 6在線段od上取一點(diǎn)m，作mnod，計(jì)算om與od的比，標(biāo)記為比例因子； 7以d點(diǎn)為放縮中心，將a點(diǎn)用標(biāo)記比縮放得到r點(diǎn)； 8連接or，與mn交于p點(diǎn)； 9將p點(diǎn)標(biāo)記為追蹤點(diǎn)； 10把oh標(biāo)記為鏡面，作p點(diǎn)的對稱點(diǎn)p，同時標(biāo)記為追蹤點(diǎn)； 11在od上拖動m點(diǎn)，則p點(diǎn)和p點(diǎn)的軌跡是拋物線。 說明： 第二步到第五步，是解析幾何課本上給出的畫法，我們用第六步到第十一步在幾何畫板上

5、實(shí)現(xiàn)。 三有關(guān)拋物線的問題研究 (一) 拋物線的焦點(diǎn)弦理論根據(jù)：拋物線y22px的焦點(diǎn)f(, 0)，過f點(diǎn)的弦ab兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1, y2，則y1y2p2， 在拋物線上選定a點(diǎn)之后，可以計(jì)算出b點(diǎn)的縱坐標(biāo)。利用它畫出b點(diǎn)。 畫法： 1用焦點(diǎn)f和準(zhǔn)線畫一條拋物線，計(jì)算p的值，即f點(diǎn)到的距離； 2選中拋物線，用作圖菜單中的“對象上的點(diǎn)”得到a點(diǎn)； 3從a點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為m，計(jì)算m點(diǎn)到x軸的距離； 4用y1y2p2，算出另一點(diǎn)n的縱坐標(biāo)y2, 5在準(zhǔn)線上找到縱坐標(biāo)為y2的b'點(diǎn)； 6用拋物線畫法2中的方法畫出b'點(diǎn)在拋物線上的對應(yīng)點(diǎn)b； 7連接ab，則ab為拋物線的焦點(diǎn)弦； 8

6、作ab的中點(diǎn)c，以c點(diǎn)為圓心，ca為半徑作圓，此圓與準(zhǔn)線相切； 9選中a點(diǎn)，在拋物線上拖動a點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)b點(diǎn)始終在拋物線上，且圓c與準(zhǔn)線相切。 結(jié)論：以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。 (二) 拋物線中過定點(diǎn)p(x0, y0)的弦 理論根據(jù)： 在拋物線y22px中作過定點(diǎn)p(x0, y0)的弦mn，設(shè)m(x1, y1), n(x2, y2), mn的中點(diǎn)c(x0, y0), 有, 兩式相減得 (y1y2)(y1y2)2p(x1x2) , 直線mpn的斜率k, 由m、p兩點(diǎn)求出斜率k，即可求出y0的值，這樣就求得了mn的中點(diǎn)c，用c點(diǎn)作為中心，就得到了m點(diǎn)關(guān)于c點(diǎn)的對稱點(diǎn)n。 畫法： 1用焦點(diǎn)f和

7、準(zhǔn)線畫一條拋物線，計(jì)算p的值，即f點(diǎn)到的距離； 2選中拋物線，用作圖菜單中的“對象上的點(diǎn)”得到m點(diǎn)； 3作直線mp，計(jì)算直線mp的斜率，記為k； 4用p, k的值計(jì)算y0, 用變換菜單將它作為“標(biāo)記距離”； 5作y軸上，將原點(diǎn)o用標(biāo)記距離平移得到d點(diǎn)，過d點(diǎn)作x軸的平行線交直線mp于c點(diǎn)； 6用變換菜單將c點(diǎn)標(biāo)記為中心，以c為中心，將p點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到n點(diǎn)； 7作線段mn，并隱藏直線mp，線段mn就是過定點(diǎn)p的弦。 8在拋物線上拖動m點(diǎn)，則n點(diǎn)始終在拋物線上且mn經(jīng)過p點(diǎn)，此時c點(diǎn)為mn的中點(diǎn)。 (三) 作拋物線中斜率一定的平行弦 理論根據(jù)： 在拋物線y22px中作斜率為k的平行弦

8、mn，設(shè)m(x1, y1), n(x2, y2), mn的中點(diǎn)c(x0, y0), 有, 兩式相減得 (y1y2)(y1y2)2p(x1x2) , k, y0, 可求出y0的值，用y0的值作平行于x軸的直線與過m點(diǎn)且斜為率k的直線相交，就得到了mn的中點(diǎn)c，用c點(diǎn)作為中心，可得到了m點(diǎn)關(guān)于c點(diǎn)的對稱點(diǎn)n。 畫法： 1用焦點(diǎn)f和準(zhǔn)線畫一條拋物線，計(jì)算p的值，即f點(diǎn)到的距離； 2選中拋物線，用作圖菜單中的“對象上的點(diǎn)”得到p點(diǎn)； 3在外面畫一條線段，計(jì)算它的斜率k； 4選中p點(diǎn)和此線段，用作圖菜單中的平行線功能作直線pr； 5用p, k的值計(jì)算y0, 用變換菜單將它作為“標(biāo)記距離”； 6作y軸上，

9、將原點(diǎn)o用標(biāo)記距離平移得到d點(diǎn)，過d點(diǎn)作x軸的平行線交直線pr于m點(diǎn)； 7用變換菜單將m點(diǎn)標(biāo)記為中心，以m為中心，將p點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到n點(diǎn)； 8作線段pq，并隱藏直線pr，線段pq就是斜率為k的弦。 9在拋物線上拖動p點(diǎn)，則q點(diǎn)始終在拋物線上且pq的斜率為k，此時m點(diǎn)為mn的中點(diǎn)。 (四) 過拋物線的頂點(diǎn)且相互垂直的弦 理論根據(jù)： 在拋物線中，a點(diǎn)為任意一點(diǎn)，則直線ao的斜率k1可求， oaob， 直線ob的斜率k2可以求出，根據(jù)前面的畫圖方法，在拋物線上過定點(diǎn)o且斜率為k2的弦ob是可以畫出的，這樣得到b點(diǎn)， ob與oa始終垂直。 畫法： 1用焦點(diǎn)f和準(zhǔn)線畫一條拋物線，計(jì)算p的值

10、，即f點(diǎn)到的距離； 2選中拋物線，用作圖菜單中的“對象上的點(diǎn)”得到a點(diǎn)，作線段oa； 3選中點(diǎn)o和線段oa，作oa的垂線ob； 4用前面作平行弦的方法，以o為定點(diǎn)，k2為斜率，計(jì)算y0, 用變換菜單將它作為“標(biāo)記距離”； 5將o點(diǎn)在y軸上用“標(biāo)記距離”平移得到點(diǎn)d，過點(diǎn)d作x軸的平行線交直線ob于點(diǎn)n； 6把點(diǎn)n定義為旋轉(zhuǎn)中心，將o點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)b，則點(diǎn)b在拋物線上； 7連接ab，abc是一個直角三角形，aob90° 8作ab的中點(diǎn)m將m點(diǎn)定義為追蹤點(diǎn)，在拋物線上拖動a點(diǎn)，觀察m的軌跡。四拋物線的切線(一)過拋物線上一點(diǎn)p的切線：1在平面直角坐標(biāo)系中，畫出一條拋物線，

11、同時畫出它的準(zhǔn)線和焦點(diǎn)；2在拋物線上取定點(diǎn)p，準(zhǔn)備畫過點(diǎn)p的切線；3連接線段pf，過點(diǎn)p作ox軸的平行線交準(zhǔn)線于點(diǎn)d；4連接線段df，作它的中點(diǎn)m；5連接直線pm，則直線pm是拋物線過點(diǎn)p的切線。理論根據(jù)：這種作圖的方法實(shí)際上是把畫拋物線的方法反過來的一種作法。在畫拋物線時，我們是先在準(zhǔn)線上取一點(diǎn)d，然后連接df，作df的中垂線pm與過點(diǎn)d且平行于ox軸的直線交于點(diǎn)p。點(diǎn)p是拋物線上的一點(diǎn)，而且這樣由點(diǎn)d確定拋物線上的點(diǎn)只有這一個點(diǎn)p，所以直線pm與拋物線有且只有一個交點(diǎn)，直線pm是拋物線過點(diǎn)p的切線。(二) 過拋物線外一點(diǎn)作拋物線的切線：1在平面直角坐標(biāo)系中，畫出一條拋物線，同時畫出它的準(zhǔn)線和焦點(diǎn)；2在拋物線外取定點(diǎn)p，準(zhǔn)備畫過點(diǎn)p的切線；3連接線段pf，以點(diǎn)p為圓心。|pf|為半徑作圓交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)m和點(diǎn)n；4分別連接mf和nf，作mf和nf的中