大數(shù)定律與中心極限定理

1、第五章 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律：概率論中，闡明、揭示大量隨機現(xiàn)象平均結果的穩(wěn)定性的一系列定律。如：前面學習過：(1) 在相同條件下，進行大量重復獨立試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即。(2) 實踐中得出，大量測量值的平均值也是具有穩(wěn)定性，即。大數(shù)定律從理論上給出了這類問題的論證。一、 切貝雪夫不等式1. 切貝雪夫不等式：設隨機變量有數(shù)學期望及方差，則任意給出，有或。例 1. 某批產(chǎn)品次品率0.05，試估計10000件產(chǎn)品中，次品數(shù)介于400600件之間的概率。解：，因此。二、 大數(shù)定律1. 依概率收斂：若存在常數(shù),使得對于任意正數(shù)，有則稱隨機變量序列依概率收斂于.2. 切比雪夫大

2、數(shù)定律：設是相互獨立的隨機變量序列，各有數(shù)學期望及方差，并且對于所有都有，其中常數(shù)與無關，則對于，有3. 貝努里大數(shù)定律：設為重貝努里試驗中事件a發(fā)生的次數(shù)，為事件a發(fā)生的概率。則對任意給定的，有。貝努里大數(shù)定律說明：當無限增大時，事件a發(fā)生的頻率與其概率之間偏差無限減少，所以在實際應用中，當試驗次數(shù)很大時，便可用事件a發(fā)生的頻率近似代替事件的概率。4. 辛欽大數(shù)定律：設隨機變量相互獨立，服從同一分布，且，則對任意給定的有。(1) 辛欽大數(shù)定律說明，無限增大時，個獨立隨機變量的平均值與其數(shù)學期望的偏差無限減小，即。(2) 是實際應用中，為了減少誤差而“多次測量取平均值”的理論依據(jù)。(3) 貝努

3、里大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊情況。(4)三、 中心極限定理在概率論中，研究在什么條件下，大量隨機變量的和的極限的分布是正態(tài)分布的一系列定理。1中心極限定理：設是獨立的且具有相同分布（i.i.d.）的隨機變量，且 則有，其中。（也即當很大時，隨機變量近似服從）例1 一儀器同時收到50個噪聲信號，設它們是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間上服從均勻分布，記，求。2若，則可表示成個相互獨立的分布的和，即 當很大時，二項分布近似服從正態(tài)分布，此定理稱為德莫佛拉普拉斯定理(de moivre-laplace)。應用此定理可解決二項分布中很大時的計算問題。例2 某保險公司經(jīng)多年的資料統(tǒng)計表明，在索賠戶中被盜戶占20%，在隨意抽查的100家索賠戶中被盜的索賠戶數(shù)為隨機變量，（1）寫出的概率分布；（2）求被盜的索賠戶數(shù)不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值。小結：1 引進了大數(shù)定律的概念，要了解大數(shù)定律的意義和內(nèi)容，理解貝努里、辛欽大數(shù)定律，了解契比雪夫大數(shù)定律。2 闡述了中心極限定理的含義及