茆詩松概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程課件第三章2

1、2 邊際分布與隨機變量的獨立性x,yx,y作為一個整體研究時作為一個整體研究時, , 即二維隨機變量即二維隨機變量(x,y), (x,y), 具有分布函數(shù)具有分布函數(shù)f(x,y); f(x,y); 作為單獨的作為單獨的個體研究時個體研究時, , 它們各自都是隨機變量它們各自都是隨機變量, , 有各有各自的分布函數(shù)自的分布函數(shù). .1. 邊際分布 邊際分布函數(shù)邊際分布函數(shù)定義定義 記分量記分量x和和y各自的分布函數(shù)為各自的分布函數(shù)為fx(x), fy(y), 則則fx(x)=p(xx)= p(xx, y )=f(x, )同理有同理有, fy(y)=f(,y)我們把我們把fx(x), fy(y)分

2、別稱為分別稱為(x,y)關于關于x,y的的邊際分邊際分布函數(shù)布函數(shù).下面我們分離散型和連續(xù)型兩種情形來討論二維隨機變下面我們分離散型和連續(xù)型兩種情形來討論二維隨機變量的邊際分布量的邊際分布. 1),()(jjiiyyxxpxxp 當當(x,y)是離散型隨機變量時是離散型隨機變量時.邊際分布列邊際分布列的的和和被稱為被稱為yx 1),()(ijijyyxxpyyp則則聯(lián)聯(lián)合合分分布布列列的的為為二二維維隨隨機機變變量量設設,),(, 2 , 1, ),(yxjiyyxxpji 例一例一. 在一個裝有在一個裝有7只正品只正品, 3只次品的盒子里只次品的盒子里, 分別進行兩次非放回的產品抽樣分別進行

3、兩次非放回的產品抽樣, 令令試求隨機向量試求隨機向量(x,y)的聯(lián)合分布列和邊際分布列的聯(lián)合分布列和邊際分布列.15796107)1, 1( : yxp解解30793107)0, 1(, yxp類類似似的的有有 第一次抽樣得次品第一次抽樣得次品第一次抽樣得正品第一次抽樣得正品 , 0 , 1x 第二次抽樣得次品第二次抽樣得次品第二次抽樣得正品第二次抽樣得正品 , 0 , 1y,307)1, 0( yxp151)0, 0( yxp所以所以(x,y)的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為:x y0101/157/3017/307/15根據聯(lián)合分布列根據聯(lián)合分布列, 對同一行或同一列相加對同一行或同一列相加,

4、 就可就可得到得到(x,y)對對x和和y的邊緣分布列的邊緣分布列:x y01p(x=xi)01/157/303/1017/301/157/10p(y=yj)3/107/10 dyyxpxpxx),()( ,的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為根據密度函數(shù)的定義有根據密度函數(shù)的定義有所以所以 當當(x,y)是連續(xù)型隨機向量時是連續(xù)型隨機向量時 dxyxpypyy),()( , 的邊際密度函數(shù)為的邊際密度函數(shù)為同理可得同理可得.)(邊邊際際密密度度函函數(shù)數(shù)的的被被稱稱為為xxpx則則的的聯(lián)聯(lián)合合密密度度函函數(shù)數(shù)為為設設隨隨機機向向量量),( ),(yxpyx xxdxdyyxpxfxf),(),()(例二例二

5、(上節(jié)例三續(xù)上節(jié)例三續(xù)). (x,y)具有聯(lián)合密度函數(shù)具有聯(lián)合密度函數(shù) 其它其它 , 00, 0 ,6),()32(yxeyxpyx. ,的邊際密度函數(shù)的邊際密度函數(shù)求求yx解解:的邊際密度函數(shù)為的邊際密度函數(shù)為x 其它其它 , 0 0 ,6),()(0)32(xdyedyyxpxpyxx 其它其它 , 0 , 0 ,22xex的邊際密度函數(shù)為的邊際密度函數(shù)為y 其它其它其它其它 , 0 0 ,3 , 0 0 ,6),()(30)32(yeydxedxyxpypyyxy例三例三. 若二維隨機向量若二維隨機向量(x,y)的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為 222221121122212 )1(21

6、exp121),( yyxxyxp),(),( ,),(, 1| , 0, 0,222121212121 nyxyx記記為為服服從從二二維維正正態(tài)態(tài)分分布布則則稱稱均均為為常常數(shù)數(shù)其其中中 試求二維正態(tài)分布隨機變量的邊際分布試求二維正態(tài)分布隨機變量的邊際分布. dyyxpxpx),()( dyeexyx2112222121)1(212)(221121 ,11 11222 xyt令令解解: dteexptxx22)(12212121)( , 則則 2 22 dtet應用公式應用公式 xexpxx ,21)( ,21212)(1 所以所以),( 211 nx),( ,222 ny同理可得同理可得.

7、,:2121一樣的一樣的它們的邊際分布卻都是它們的邊際分布卻都是布布對應不同的二維正態(tài)分對應不同的二維正態(tài)分不同的不同的亦即對于給定的亦即對于給定的都不依賴與參數(shù)都不依賴與參數(shù)且且布布際分布都是一維正態(tài)分際分布都是一維正態(tài)分二維正態(tài)分布的兩個邊二維正態(tài)分布的兩個邊注意注意 這一事實也表明這一事實也表明: 單由關于單由關于x和關于和關于y的邊際分的邊際分布布, 一般來說是不能確定一般來說是不能確定x和和y的聯(lián)合分布的的聯(lián)合分布的.2. 隨機變量的獨立性對于多維隨機變量對于多維隨機變量, , 各分量的取值有時會相互各分量的取值有時會相互影響影響, , 例如一個人的身高例如一個人的身高x x和體重和

8、體重y y就會相互就會相互影響影響, , 兩個變量的取值有同方向協(xié)同變化的兩個變量的取值有同方向協(xié)同變化的趨勢趨勢.但有時變量間沒有相互影響但有時變量間沒有相互影響. . 例如例如, , 一個人的一個人的身高身高x x與收入與收入z z就沒有明顯的相互影響就沒有明顯的相互影響. . 當變量間的取值規(guī)律互不影響時當變量間的取值規(guī)律互不影響時, , 我們稱它們我們稱它們是相互獨立的是相互獨立的. . niiinxfxxxf121)(),( 獨立性的定義獨立性的定義.,21相互獨立相互獨立則稱變量則稱變量nxxx如果如果的邊際分布函數(shù)的邊際分布函數(shù)為為的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為維隨機變量維隨機

9、變量設設.)(),( ),(2121iiinnxxfxxxfxxxn niiinxpxxxp121)(),( 獨立性的等價定義獨立性的等價定義相相互互獨獨立立當當且且僅僅當當是是連連續(xù)續(xù)型型時時當當nnxxxxxx,),()1(2121由獨立性的定義不難得出如下的等價的定義由獨立性的定義不難得出如下的等價的定義:, )() ,(12211 niiinnxxpxxxxxxp相相互互獨獨立立當當且且僅僅當當是是離離散散型型時時當當nnxxxxxx,),()2(2121注意注意: 在實際計算中在實際計算中, 獨立性的等價定義比使用獨立性的獨立性的等價定義比使用獨立性的原始定義往往更方便原始定義往往更

10、方便.例四例四. 在一個裝有在一個裝有7只正品只正品, 3只次品的盒子里只次品的盒子里, 分別進行兩次放回和非放回的產品抽樣分別進行兩次放回和非放回的產品抽樣, 令令試就放回抽樣和非放回抽樣這兩種情形分別給出試就放回抽樣和非放回抽樣這兩種情形分別給出(x,y)的聯(lián)合分布列和邊際分布列的聯(lián)合分布列和邊際分布列, 并考慮并考慮x,y是否相互獨立是否相互獨立. 第一次抽樣得次品第一次抽樣得次品第一次抽樣得正品第一次抽樣得正品 , 0 , 1x 第二次抽樣得次品第二次抽樣得次品第二次抽樣得正品第二次抽樣得正品 , 0 , 1y解解: 放回抽樣時放回抽樣時, 概率分布律表如下概率分布律表如下:10310

11、7 yx01p(x=xi)03/1017/10p(y=yj)3/107/10107103 107107 103103 .),()(),(,相相互互獨獨立立和和所所以以有有有有對對于于任任意意此此時時yxyypxxpyyxxpjijiji 非放回抽樣時非放回抽樣時, 概率分布律表如下概率分布律表如下:92107 yx01p(x=xi)03/1017/10p(y=yj)3/107/1097103 96107 92103 )0()0(10310392103)0, 0( ., ypxpyxpyx如如不相互獨立不相互獨立和和此時此時例五例五. ).1( ,1 yxpyx試求試求的指數(shù)分布且相互獨立的指數(shù)

12、分布且相互獨立都服從參數(shù)都服從參數(shù)和和設設 解解: 由題知由題知 其其它它其其它它 , 00 ,)( , , 00 ,)(yexpxexpyyxx 其它其它所以其聯(lián)合概率密度為所以其聯(lián)合概率密度為相互獨立相互獨立和和由于由于 , 0 0, ,)()(),( ,)(yxeypxpyxpyxyxyx為為對應圖中陰影部分區(qū)域對應圖中陰影部分區(qū)域1 yx 1010)()1(yyxdxdyeyxp2642. 0 101)(dyeey111 ee例六例六. 若 (x,y)服從二維正態(tài)分布, 即 222221121122212 )1(21exp121),( yyxxyxp),(),( 222121 nyx0 : 件是件是相互獨立的充分必要條相互獨立的充分必要條與與證明證明yx 2222112121exp21),( yxyxp,0 )(:時時當當充充分分性性證證明明 .相互獨立相互獨立與與故故yx222221212)( 22)( 12121 xxee上上式式變變?yōu)闉槿∪√靥貏e別地地, ,21 yx),()(),( , )(yp