歷史上三大數(shù)學(xué)危機(jī)之一

1、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)起源畢達(dá)哥拉斯的數(shù)是指， 他們?cè)跀?shù)學(xué)上的一項(xiàng)重大發(fā)現(xiàn)是證明了勾股定理。 他們知道滿足直角三角形三邊長的一般公式， 但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的三邊比不能用整數(shù)來表達(dá)， 也就是勾長或股長與弦長是不可通約的。 這樣一來， 就否定了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條：宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。不可通約性的發(fā)現(xiàn)引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。 有人說，這種性質(zhì)是希帕索斯約在公元前 400 年發(fā)現(xiàn)的， 為此，他的同伴把他拋進(jìn)大海。不過更有可能是畢達(dá)哥拉斯已經(jīng)知道這種事實(shí)， 而希帕索斯因泄密而被處死。 不管怎樣， 這個(gè)發(fā)現(xiàn)對(duì)古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)有極大的沖擊。這表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能

2、完全由整數(shù)及其比來表示，反之?dāng)?shù)卻可以由幾何量表示出來。整數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn)， 于是幾何學(xué)開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。同時(shí)這也反映出， 直覺和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住， 而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始由“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過演繹推理，并由此建立幾何學(xué)體系， 這不能不說是數(shù)學(xué)思想上一次巨大革命，這也是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的自然產(chǎn)物。解決無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。首先，對(duì)于全部依靠整數(shù)的畢氏哲學(xué)，這是一次致命的打擊。其次，無理數(shù)看來與常識(shí)似乎相矛盾。 在幾何上的對(duì)應(yīng)情況同樣也是令人驚訝的， 因?yàn)榕c直觀相反，存在不可通約的線段， 即沒有公共的量度單位的線段。由于畢氏學(xué)派關(guān)于比例定義假定了任何兩

3、個(gè)同類量是可通約的，所以畢氏學(xué)派比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上， 這樣，他們的關(guān)于相似形的一般理論也失效了?！斑壿嬌系拿堋笔侨绱酥?，以致于有一段時(shí)間，他們費(fèi)了很大的精力將此事保密， 不準(zhǔn)外傳。 但是人們很快發(fā)現(xiàn)不可通約性并不是罕見的現(xiàn)象。 泰奧多勒斯指出， 面積等于 3、5、6、17 的正方形的邊與單位正方形的邊也不可通約，并對(duì)每一種情況都單獨(dú)予以了證明。 隨著時(shí)間的推移， 無理數(shù)的存在逐漸成為人所共知的事實(shí)。誘發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的一個(gè)間接因素是之后 “芝諾悖論” 的出現(xiàn)，它更增加了數(shù)學(xué)家們的擔(dān)憂： 數(shù)學(xué)作為一門精確的科學(xué)是否還有可能？宇宙的和諧性是否還存在？在大約公元前370 年，這個(gè)矛盾被畢氏學(xué)派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。 他的處理不可通約量的方法， 出現(xiàn)在歐幾里得原本第 5 卷中，并且和狄德金于 1872 年繪出的無理數(shù)的現(xiàn)代解釋基本一致。 今天中學(xué)幾何課本中對(duì)相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微炒之處。意義第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示。反之，數(shù)卻可以由幾何量表示出來。整數(shù)的尊祟地位受到挑戰(zhàn)，古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)受到極大的沖擊。于是，幾何學(xué)開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。同時(shí)也反映出，直覺和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希