山東建筑大學(xué)概率論作業(yè)紙答案

1、1二、2.設(shè)隨機變量 X的概率密度為 000122xxxxf當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)求隨機變量函數(shù) XYln 的概率密度。 解)(ln)()( yXPyYPyFYyY 的的分分布布函函數(shù)數(shù)，隨隨機機變變量量對對于于任任意意的的實實數(shù)數(shù))(yeXP yedxxf0)(的的概概率率密密度度為為隨隨機機變變量量函函數(shù)數(shù) Y yyYYeefyFyf )()( 122 yyeeRy 或 是是單單增增函函數(shù)數(shù)，xyln 其反函數(shù)為 .yex .yex 的概率密度為的概率密度為YyyYeefyf )()( 122 yyee 第1頁/共25頁2二、3.設(shè)隨機變量 X 服從0，2上的均勻分布，求 在(0,4)內(nèi)的概率密度函數(shù)。

2、 2XY 解,的的分分布布函函數(shù)數(shù)隨隨機機變變量量對對于于任任意意的的實實數(shù)數(shù)Yy yYPyFY yXP 2 ,X20的的取取值值區(qū)區(qū)間間是是因因為為 .,Y40的的取取值值區(qū)區(qū)間間是是所所以以; 0)(,0 )1( yFyY時時當(dāng)當(dāng) ;)y(F,yY142 時時當(dāng)當(dāng) ,y時時當(dāng)當(dāng)40 3 yXyPyXPyFY 2 dxxfyyX 221000-ydxdxyy 第2頁/共25頁3的分布函數(shù)的分布函數(shù)所以，隨機變量所以，隨機變量Y .y,;y,y;y,)y(FY4140200上式兩邊對 y 求導(dǎo)數(shù)，即得Y 的概率密度 .,;y,y)y(fY其它其它04041第3頁/共25頁4二、4 一批產(chǎn)品中有

3、a件合格品與b件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，取兩次，方式為：（1）放回抽樣；（2）不放回抽樣。設(shè)隨機變量X及Y寫出上述兩種情況下二維隨機變量(X,Y)的概率分布及邊緣分布 分別表示第一次及第二次取出的次品數(shù)， 并說明X與Y是否獨立。（1）放回抽樣 解1122)(baa j i00XY2)(baab )(baa )(bab )(baa )(bab 2)(baab 22)(bab 11) 1)() 1( babaaa j i00XY) 1)( babaab)(baa )(bab )(baa )(bab ) 1)( babaab) 1)() 1( bababb（2）不放回抽樣 X與Y相互獨立.

4、X與Y不獨立. 01,jipppjiij01,jipppjiij第4頁/共25頁5二、5.把三個球隨機地投入三個盒子中，每個球投入盒子的可能性 是相同的。設(shè)隨機變量X及Y分別表示投入第一個及第二個盒子球的個數(shù)，求(X,Y )的概率分布及邊緣分布解)3. 3 , 2 , 1 , 0,( 3),(333 jijiCCjYiXPjii271273 j i27327127827127327327327627300000027827122712276276271271XY11220033由此得(X,Y)的二維概率分布如下：第5頁/共25頁6二、6.隨機地擲一顆骰子兩次，設(shè)隨機變量 X 表示第一次出現(xiàn)的點

5、數(shù),Y 表示兩次出現(xiàn)的點數(shù)的最大值，求(X,Y)的概率分布及Y 的邊緣分布。解即 jijijiijijYiXP . 6 , 2 , 1,36,361,X，Y 的所有可能的取值為1，2，6.（i i ）當(dāng)ji 時， 36,12ijXiXPjYiXPij 3616161 （i）當(dāng)ji 時， jXiXPjYiXP 2,)()(2jXPiXP X2 表示第二次出現(xiàn)的點數(shù),第6頁/共25頁7YX1234561234561/360000000000000001/361/361/361/361/362/361/361/361/361/361/361/363/361/361/364/361/361/365/3

6、66/36Y 的邊緣分布為：Y jyP213456361121365367413611第7頁/共25頁8二、7. 設(shè)二維隨機變量（X,Y）在矩形域 dycbxa ,上服從均勻分布，求（X,Y）的概率密度及邊緣概率密度。X與Y是 否獨立？ 解（X,Y）的概率密度 其其它它dycbxacdabyxf , 0)(1),(X邊緣概率密度 dyyxfxfX),()(其其它它bxaab 01Y邊緣概率密度 dxyxfyfY),()(其其它它dyccd 01故X與Y是 相互獨立。 ),y(f)x(fy,xfYX 因因第8頁/共25頁9二、8. 設(shè)二維隨機變量（X,Y）在聯(lián)合分布列為2132161911813

7、1 YX試問 為何值時，X,Y才能獨立？ ， 911819161219121YXpp)Y,X(P解 18118191613118131YXpp)Y,X(P解得.,9192 要使X,Y獨立需滿足第9頁/共25頁10二、9：設(shè) (X,Y）的分布函數(shù)為：)3arctan)(2arctan(),(yCxBAyxF （1）確定常數(shù)A, B, C；（2）求(X,Y）的概率密度；（3）求邊緣分布函數(shù)及邊緣概率密度。X、Y是否獨立？解 0)2)(2arctan(),( CxBAxF0)3arctan)(2(),( yCBAyF 對任意的x與y，有,2,12 CBA（1）1)2)(2(),( CBAF)0( A

8、第10頁/共25頁11)3arctan2)(2arctan2(1),(2yxyxF （2）),(),(yxFyxfyx 2293)2arctan2(1yxdxd 22293421yx xFX),( xF)2arctan2(1x yFY),(yF )3arctan2(1y )(xfX xFX )4(22x )(yfY yFY )9(32y X與Y 的邊緣密度函數(shù)為：X的邊緣分布：（3）Y的邊緣分布函數(shù)為：X與Y是相互獨立的。).()(),(yfxfyxfYX 第11頁/共25頁12二、10.設(shè) (X,Y）的密度函數(shù)為： .yx.;y,xAe)yx(00 000 32或或當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)， ),(yxf求

9、：（1）常數(shù)A；（4）求(X,Y)落在區(qū)域R： （2）分布函數(shù)F(x, y)；解 dxdyyxf),(（1） 00)32(dxdyAeyx 0302dyedxeAyx13121 A6 A（2） 632 , 0, 0 yxyx內(nèi)的概率。（3）邊緣密度函數(shù)； 時，時，且且當(dāng)當(dāng) yx00 yxvududveyxF00)32(6),()1)(1(32yxee yvxudvedue03026時，時，或或當(dāng)當(dāng)00 yx顯然，F(xiàn)(x,y)=0 第12頁/共25頁13（3 ） dyyxfxfX),()(xyxedye20)32(26 時，時，當(dāng)當(dāng) x0時，時，當(dāng)當(dāng)0 x;0)( xfX 0, 00,2)(2x

10、xexfxX同理： 0, 00,3)(3yyeyfyY第13頁/共25頁14 xyxR322030: 303220)32(6xyxdydxeP 202330)32(6yyxdxedy（4） 所求的概率為： RyxdxdyyxfP,),(yx632 yx32 20633)1(3dyeeyy 2063)(3dyeey983. 06)1(66 ee 632),(yxdxdyyxf第14頁/共25頁15概率論與數(shù)理統(tǒng)計作業(yè)7（2.12）1.一個商店每星期四進貨, 以備星期五、六、日3天銷售, 根據(jù)多周統(tǒng)計, 這3天銷售件數(shù) 彼此獨立, 且有如下表所示分布:321X,X,X0.10.70.2P12111

11、01X0.10.60.3P1514132X0.10.80.1P1918173X問三天銷售總量 這個隨機變量可以取那些值？如果進貨45件，不夠賣的概率是多少？如果進貨40件，夠賣的概率是多少？ 31iiXY第15頁/共25頁16解：Y可以取40,41,42,43,44,45,46.進貨45件，不夠賣的概率為 ;.XPXPXP0010191512321 進貨40件，夠賣的概率是 .XPXPXP0060171310321 2.袋中裝有標(biāo)上號碼1，2，2的3個球，從中任取一個并且不再放回，然后再從袋中任取一球，以X,Y分別記為第一次，二次取到球上的號碼數(shù)，求X+Y的概率分布律。XY1122031313

12、1YX P332314解：第16頁/共25頁173.(X ,Y)只取下列數(shù)組中的值 且相應(yīng)的概率依次為 列出(X ,Y)的概率分布表，并求出X-Y的分布律。 023111100, ，1251213161解：3161311211250020-100010YX第17頁/共25頁183161311211250020-100010YXYXZ 具有可能值：顯然，23510311342，,31P 2 0 -2X-Y34 12112561第18頁/共25頁194. 設(shè)隨機變量X與Y獨立，且X在區(qū)間0,1內(nèi)服從均勻分布： 10, 0 10, 1xxxxfX或或Y在區(qū)間 2 , 0內(nèi)服從辛普生分布： 20 ,

13、021 ,210 ,yyyyyyyfY或或 求隨機變量 YXZ 的概率密度. 解 dxxzfY 10 dttfzzYxzt 1 zfZ dxxzxf , dxxzfxfyX 第19頁/共25頁20012z1 z 20021210yyyyyyyfY或或 dttfzzY 1(1)當(dāng) z 3 時, 0 zfZ,22z,2332 zz32 z,29322 zz0z121 z0121 z 20021210yyyyyyyfY或或第21頁/共25頁22的概率密度為Z, 0其它其它 zfZ;10 z21 z,22z,2332 zz32 z,29322 zz第22頁/共25頁23ijLL11L13L21L12L22L235. 電子儀器由六個相互獨立的部件)3 , 2 , 1; 2 , 1( ji如圖，設(shè)各個部件的使用壽命ijX服從相同的指數(shù)分布 e求儀器使用壽命的概率密度。組成，解各部件的使用壽命 3 , 2 , 1 , 2 , 1 , jiXij的分布函數(shù) 0 , 0 0 ,1)(xxexFxij先求三個并聯(lián)