八年級上冊北師大版數學第二章-實數總結17頁

1、第二章 實數一、實數的概念及分類 1. 有理數，無理數概念：有理數： 整數和分數的統(tǒng)稱（任何有限小數和無限循環(huán)小數都是有理數）。無理數： 無限不循環(huán)小數叫做無理數。實數: 是有理數和無理數的統(tǒng)稱；2.分類：a 按定義分b 按正負分 正有理數 正實數 實數 零 正無理數 負有理數 負實數 負無理數在理解無理數時，要抓住“無限不循環(huán)”這一時之，歸納起來有四類：（1）開方開不盡的數，如等；（2）有特定意義的數，如圓周率，或化簡后含有的數，如+8等；（3）有特定結構的數，如0.1010010001等；例1.（1）下列各數：3.141、0.33333、0.3030003000003（相鄰兩個3之間0的個

2、數逐次增加2）、其中是有理數的有；是無理數的有。（填序號）（2）有五個數:0.125125,0.1010010001,-,其中無理數有 ( )個 A 2 B 3 C 4 D 5 二、實數的倒數、相反數和絕對值 1、相反數實數與它的相反數時一對數（只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零），從數軸上看，互為相反數的兩個數所對應的點關于原點對稱，如果a與b互為相反數，則有a+b=0，a=b，反之亦成立。2、絕對值在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離，叫做該數的絕對值。（|a|0）。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數，若|a|=a，則a0；若|a|=-a，則a0。3、倒數如果a與b互

3、為倒數，則有ab=1，反之亦成立。倒數等于本身的數是1和-1。零沒有倒數。4、數軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸（畫數軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。解題時要真正掌握數形結合的思想，理解實數與數軸的點是一一對應的，并能靈活運用。5、估算三、平方根、算數平方根和立方根 1、算術平方根：一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x就叫做a的算術平方根。特別地，0的算術平方根是0。表示方法：記作“”，讀作根號a。性質：正數和零的算術平方根都只有一個，零的算術平方根是零。2、平方根：一般地，如果一個數x的平方等于a，即x2=a，那么這個數x就叫做a的平方根（或二次

4、方根）。表示方法：正數a的平方根記做“”，讀作“正、負根號a”。性質：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。開平方：求一個數a的平方根的運算，叫做開平方。 注意的雙重非負性： 03、算術平方根與平方根的關系：算術平方根是平方根中正的一個值，它與它的相反數共同構成了平方根。因此，算術平方根只有一個值，并且是非負數，它只表示為：；而平方根具有兩個互為相反數的值，表示為：。例2.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。（3）若的平方根是±2，則x= ；的平方根是 （4）當x 時，有意義。（5）一個正數的平方根分別是m和m-4，則

5、m的值是多少？這個正數是多少？3、立方根一般地，如果一個數x的立方等于a，即x3=a那么這個數x就叫做a 的立方根（或三次方根）。表示方法：記作性質：一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根；零的立方根是零。注意：，這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。例3.（1）64的立方根是           （2）若，則b等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000（3）下列說法中：都是27的立方根，的立方根是2，。其中正確的有 （ ）A、1個 B

6、、2個 C、3個 D、4個例3.（1）下列說法正確的是 （ ） A1的立方根是 B；（C）、的平方根是； （ D）、0沒有平方根； （2）下列各式正確的是（ ）A、 B、 C、 D、（3）的算術平方根是 。（4）若有意義，則_。（5）已知ABC的三邊分別是且滿足，求c的取值范圍。（6）已知：A=是的算術平方根，B=是的立方根。求AB的平方根。（7）（提高題）如果x、y分別是4的整數部分和小數部分。求x y的值.四、實數大小的比較 1、實數比較大小：正數大于零，負數小于零，正數大于一切負數；數軸上的兩個點所表示的數，右邊的總比左邊的大；兩個負數，絕對值大的反而小。2、實數大小比較的幾種常用方法（

7、1）數軸比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。（2）求差比較：設a、b是實數，（3）平方法：設a、b是兩負實數，則。五、算術平方根有關計算（二次根式）1、含有二次根號“”；被開方數a必須是非負數。2、性質：（1） （2） （3） （）（4） （）3、最簡二次根式：運算結果若含有“”形式，必須滿足：（1）被開方數的因數是整數，因式是整式；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式六、實數的運算 （1）六種運算：加、減、乘、除、乘方、開方（2）實數的運算順序先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號，就先算括號里面的。（3）運算律：運算律在無理數范圍內仍然適用加法交換律 加法結

8、合律 乘法交換律 乘法結合律 乘法對加法的分配律 例5.（1）下列說法正確的是（ ）；A、任何有理數均可用分數形式表示 ； B、數軸上的點與有理數一一對應 ；C、1和2之間的無理數只有 ； D、不帶根號的數都是有理數。（2）a，b在數軸上的位置如圖所示，則下列各式有意義的是( )b0aA、 B、 C、 D、（3）比較大小(填“>”或“<”).3 ， ， ， ，（4）數 的大小關系是 ( ) A. B. C. D. （5）將下列各數：，用“”連接起來；_。（6）若，且，則：= 。（7）計算： （8）已知：，求代數式的值。6.（提高題）觀察下列等式：回答問題： ，（1）根據上面三個等式

9、的信息，請猜想的結果；（2）請按照上式反應的規(guī)律，試寫出用n表示的等式，并加以驗證。課后練習一、考查題型：1 1的相反數的倒數是2 已知a+3|+0，則實數（a+b）的相反數3 數314與的大小關系是4 和數軸上的點成一一對應關系的是5 和數軸上表示數3的點A距離等于25的B所表示的數是6 在實數中,0, ,314, 無理數有（）（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個7一個數的絕對值等于這個數的相反數，這樣的數是（）（A）非負數（B）非正數（C）負數（D）正數8若x3，則x3等于（）（A）x3（B）x3（C）x3（D）x39下列說法正確是（）（A） 有理數都是實數 （B）實數都是有理數（B）

10、 帶根號的數都是無理數（D）無理數都是開方開不盡的數10實數在數軸上的對應點的位置如圖，比較下列每組數的大小：（1） c-b和d-a （2） bc和ad 二、考點訓練：*1判斷題：（1）如果a為實數，那么a一定是負數；（）（2）對于任何實數a與b,|ab|=|ba|恒成立；（）（3）兩個無理數之和一定是無理數；（）（4）兩個無理數之積不一定是無理數；（）（5）任何有理數都有倒數；（）（6）最小的負數是1；（）（7）a的相反數的絕對值是它本身；（）（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，則ab=1；（）2把下列各數分別填入相應的集合里|3|，213，1234，,0，, , ()0，32，

11、ctg45°,1.2121121112中 無理數集合 負分數集合 整數集合 非負數集合 *3已知1<x<2，則|x3|+等于（）（A）2x（B）2（C）2x（D）24下列各數中，哪些互為相反數？哪些互為倒數？哪些互為負倒數？3, 1， 3， 03， 31， 1 +， 3互為相反數： 互為倒數： 互為負倒數： *5已知、是實數，且（X）2和2互為相反數，求，y的值6.,b互為相反數，c,d互為倒數，m的絕對值是2，求+4m-3cd= 。*7已知0，求= 。三、解題指導：1下列語句正確的是（）（A）無盡小數都是無理數（B）無理數都是無盡小數（C）帶拫號的數都是無理數（D）不帶

12、拫號的數一定不是無理數。2和數軸上的點一一對應的數是（）（A）整數 （B）有理數 （C）無理數（D）實數3零是（）（A） 最小的有理數 （B）絕對值最小的實數（C）最小的自然數 （D）最小的整數4.如果a是實數，下列四種說法：（1）2和都是正數，（2），那么一定是負數，（3）的倒數是，（4）和的兩個分別在原點的兩側，幾個是正確的（）（A）0（B）1（C）2（D）3*5比較下列各組數的大?。海?） (2) (3)a<b<0時, 6若a,b滿足=0,則的值是 *7實數a,b,c在數軸上的對應點如圖，其中O是原點，且|a|=|c|（1） 判定a+b,a+c,c-b的符號（2） 化簡|a|

13、-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8數軸上點A表示數1，若AB3，則點B所表示的數為 9已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"連結x，x，|y|，y。10最大負整數、最小的正整數、最小的自然數、絕對值最小的實數各是什么？11絕對值、相反數、倒數、平方數、算術平方根、立方根是它本身的數各是什么？12把下列語句譯成式子：（1）a是負數 ；（2）a、b兩數異號 ；（3）a、b互為相反數；（4）a、b互為倒數；(5)x與y的平方和是非負數；（6）c、d兩數中至少有一個為零 ； （7）a、b兩數均不為0。*13.數軸上作出表示，的點。四獨立訓練：10的

14、相反數是，3的相反數是， 的相反數是；的絕對值是，0的絕對值是，的倒數是2數軸上表示32的點它離開原點的距離是。A表示的數是，且AB，則點B表示的數是。,(1)0,01313, 31 ,1101001000 (兩1之間依次多一個0),中無理數有 ，整數有 ，負數有 。4. 若a的相反數是27，則a| ；5若|a|，則a= 5若實數x，y滿足等式（x3）24y0，則xy的值是 6實數可分為（） （A）正數和零（B）有理數和無理數（C）負數和零 （D）正數和負數*7若2a與1a互為相反數，則a等于（）（A）1 （B）1 （C） （D）8當a為實數時，=a在數軸上對應的點在（）(A)原點右側（B）原

15、點左側（C）原點或原點的右側（D）原點或原點左側 9 小數，叫做無理數。 10大于的負整數是 。 11的相反數是 ，絕對值是 ，倒數是 。 12下列命題中，正確的個數是（ ） 兩個有理數的和是有理數； 兩個無理數的和是無理數； 兩個無理數的積是無理數； 無理數乘以有理數是無理數； 無理數除以有理數是無理數； 有理數除以無理數是無理數。 A0個 B2個 C4個 D6個13已知，則 。14判斷（正確的打“”，錯誤的打“×”）帶根號的數是無理數；（ ） 一定沒有意義；（ ） 絕對值最小的實數是0；（ ） 平方等于3的數為；（ ）有理數、無理數統(tǒng)稱為實數；（ ） 1的平方根與1的立方根相等；

16、（ ）無理數與有理數的和為無理數；（ ）無理數中沒有最小的數，也沒有最大的數。（ ）15. 若規(guī)定誤差小于1，那么的估算值為（ ）.A. 6 B. 7 C. 8 D. 7或816. 下列計算中，正確的是（ ）.A. B. C. D. 17. 計算：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) .（9）+3- （10） （11）； （12）； 18. 解方程：(1) ； (2) .19y=，求3+2的算術平方根.20. 如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做“格點”，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形：. 作出鈍角三角形，使它的面

17、積為4（在圖中畫出一個既可），并計算你所畫三角形的三邊的長； . 作出面積為10的正方形（在圖中畫出一個既可）； 在數軸上求出表示和的點A、B. 21設2+的整數部分和小數部分分別是x、y，試求x、y的值與x-1的算術平方根有理數混合計算題1 、25×(25)×25×() 2、(81)÷2÷(16) 3、4÷（）×（30） 4、（0.4）÷0.02×（5） 5、 ÷ 6、 7、÷ 8、100 9、 22 32 + ( 2)4 ÷23 10、 11、 12、22+×（

18、2）2 13、 14、 15、 16、100 17、(2)14×(3)15×()14 18、 第一章 19、 20、1÷( -)× 位置的確定一、 在平面內，確定物體的位置一般需要兩個數據。二、平面直角坐標系及有關概念 1、平面直角坐標系在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸，組成平面直角坐標系。其中，水平的數軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；x軸和y軸統(tǒng)稱坐標軸。它們的公共原點O稱為直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。2、為了便于描述坐標平面內點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個

19、部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x軸和y軸上的點（坐標軸上的點），不屬于任何一個象限。3、點的坐標的概念對于平面內任意一點P,過點P分別x軸、y軸向作垂線，垂足在上x軸、y軸對應的數a，b分別叫做點P的橫坐標、縱坐標，有序數對（a，b）叫做點P的坐標。點的坐標用（a，b）表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面內點的坐標是有序實數對，當時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標。平面內點的與有序實數對是一一對應的。4、不同位置的點的坐標的特征 （1）、各象限內點的坐標的特征 點P(x,y)在第一象限點P(x,y)在第二

20、象限點P(x,y)在第三象限點P(x,y)在第四象限（2）、坐標軸上的點的特征點P(x,y)在x軸上，x為任意實數點P(x,y)在y軸上，y為任意實數點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P坐標為（0，0）即原點（3）、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線（直線y=x）上x與y相等點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數（4）、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同。位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。（5）、關于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標的特征點P與點p關于x軸對稱橫坐標相等

21、，縱坐標互為相反數，即點P（x，y）關于x軸的對稱點為P（x，-y）點P與點p關于y軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數，即點P（x，y）關于y軸的對稱點為P（-x，y）點P與點p關于原點對稱橫、縱坐標均互為相反數，即點P（x，y）關于原點的對稱點為P（-x，-y）(6)、點到坐標軸及原點的距離點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：（1）點P(x,y)到x軸的距離等于（2）點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于（3）點P(x,y)到原點的距離等于三、坐標變化與圖形變化的規(guī)律：坐標（ x ， y ）的變化 圖形的變化 x × a或 y × a 被橫向或縱向拉長（壓縮）為原來的 a倍 x

22、× a， y × a 放大（縮?。樵瓉淼?a倍 x ×（ -1）或 y ×（ -1） 關于 y 軸或 x 軸對稱 x ×（ -1）， y ×（ -1） 關于原點成中心對稱 x +a或 y+ a 沿 x 軸或 y 軸平移 a個單位 x +a， y+ a 沿 x 軸平移 a個單位，再沿 y 軸平移 a個單位一次函數一、函數：一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果給定一個x值，相應地就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。二、自變量取值范圍使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。一般從

23、整式（取全體實數），分式（分母不為0）、二次根式（被開方數為非負數）、實際意義幾方面考慮。三、函數的三種表示法及其優(yōu)缺點（1）關系式（解析）法兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做關系式（解析）法。（2）列表法把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。（3）圖象法用圖象表示函數關系的方法叫做圖象法。四、由函數關系式畫其圖像的一般步驟（1）列表：列表給出自變量與函數的一些對應值（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。五、正比例函數和一次函數 1、正比例函數和一次函數的概念一般地，若兩個變量x，y間的關系可以表示成（k，b為常數，k0）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量，y為因變量）。特別地，當一次函數中的b=0時（即）（k為常