2020版高考復(fù)習(xí)第二章函數(shù)第3節(jié)基本初等函數(shù)

1、第二章函數(shù)概念和基本初等函數(shù)2.3 基本初等函數(shù)抓基礎(chǔ)自主學(xué)習(xí)丨1. 根式的性質(zhì)(1) (na)n = a(2) 當(dāng)n為奇數(shù)時，nan= a.(3)當(dāng)n為偶數(shù)時,n an= |a|=a a>0 ,a av 0 .7、反函數(shù)第2頁(共12頁)(4) 負(fù)數(shù)的偶次方根無意義.(5) 零的任何次方根都等于零.2. 有理指數(shù)幕(1) 分?jǐn)?shù)指數(shù)幕 正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：a = n am(a> 0 ,m, n N*，且 n > 1); 負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：a = 4m = (a>0, m, n N*，且 n> 1)；an nam 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于 0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義.(2) 有

2、理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì) ar as= as(a>0, r, s Q)； (ar)s= OS(a>0, r, s Q); (ab)r=削(a >0, b> 0, r Q).3. 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)值域(0, )性質(zhì)過定點(0,1)當(dāng) x>0 時，y>1;當(dāng) xv 0 時，0v yv 1當(dāng) x> 0 時，0 v yv 1；當(dāng) xv 0 時，y > 1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)4、對數(shù)的概念如果ax= N(a>0且a豐1)，那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x= logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N 叫做真數(shù).兩個重要對數(shù)：常用對數(shù)：以10為底的

3、對數(shù)lg N ;囤 自然對數(shù)：以無理數(shù) e 2.71828 為底的對數(shù)的對數(shù)In N .5、對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)對數(shù)的性質(zhì)： logal 0 , logaa 1 : aIogaNN : logaab= b(a>0，且 a工 1).(2) 換底公式：logab= jOCa, c均大于0且不等于1, b>0).(3) 對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a> 0,且 1, M > 0, N >0,那么： Ioga(M N)= logaM + logaN; lOga(M)= logaM - logaN；logaMn= nlogaM(n R).6、對數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)定義

4、函數(shù)y = logax(a> 0且a* 1)叫做對數(shù)函數(shù)圖象a> 10v a v 1厶(】,0) 1N(h0)XL 為性質(zhì)定義域：(0,+ )值域：R當(dāng)x = 1時，y= 0，即過定點(1,0)當(dāng) 0vxv 1 時，yv 0；當(dāng) x>1 時，y>0當(dāng) 0vxv 1 時，y>0；當(dāng) x>1 時，yv 0在(0,+s )上為增函數(shù)在(0,+ )上為減函數(shù)指數(shù)函數(shù)y= ax(a>0且a* 1)與對數(shù)函數(shù)y= logax(a>0且1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y= x對稱，在相同區(qū)間上單調(diào)性相同。(1) 定義：形如y= X“(a R)的函數(shù)稱為幕函數(shù)

5、，其中X是自變量，a是常數(shù).(2) 五種常見幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=x2y=x2y=x31y «y=x-1定義域RRR0， )x | x R且 x 0值域R0, )R0， )y | y R且 y 0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x 0,)時，增；x (,0時，減增增x (0,+)時，減；x (-,0)時，減定點(1 , 1)明考向題型覿|十突破點一指數(shù)幕的運(yùn)算1、(a>0)的值是(A . 1B. A131 一2、2 3 0+ 22.2 丄 2 (0.01)0.5 =541C. a51710第3頁(共12頁)a3 a33-1-4 巴1解：(1)= a 2 5 = a10.選 D.(

6、2)原式=1 + 4XJa a a 2 a 512 , 12 1 ,1 1=1 X= 1 43106101615.3、化簡3 +U. 002-寺。(5_2) 1- 3n+ 9-16j_丄4、若a> 0, b >0,則化簡(廬)4a'Mab_1方法技巧1、指數(shù)幕的運(yùn)算規(guī)律(1) 有括號的先算括號里的，無括號的先進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算.(2) 先乘除后加減，負(fù)指數(shù)幕化成正指數(shù)幕的倒數(shù).(3) 底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù).(4) 若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，盡可能用幕的形式表示，運(yùn)用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)來解答.2、化簡指數(shù)幕常用的技巧b -p

7、a p(1) £ P= J" 0)；1(2)a = (am)m，n1am = (am)n(式子有意義)；1 11= a 1a,1 = a 2 a 2 等；1 1 1(4) 乘法公式的常見變形，如(a2 + b2 )(a2112a 3 b 3 + b3) = a±).(3)1的代換，如1 1 1 1 1 1 1 2 b2) = a b, (a2 ±)2 )2= a±2a帚 + b, (a?)(a?突破點指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2 1、函數(shù)y= e |x 1啲大致圖象是(B )y軸對稱，排除B、D.又ex|> 1,所以f(x)的值域為(,2、函

8、數(shù)f(x)= 1 ex啲圖象大致是(A )解析：選A 由f(x)= 1 e|x是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于 0,排除C3、函數(shù)y= ax b(a>0且1)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，貝Uab的取值范圍為()A. (1,+ )B. (0,+s )C. (0,1)D .無法確定0<a<1,解得故ab (0,1),b>1,解析：選C 因為函數(shù)y= ax b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，所以函數(shù)y= ax b單調(diào)遞減且其圖象與 y軸的交點在y軸的負(fù)半軸上.令x = 0,則y= a0 b = 1 b,由題意得'1 b<0,故選C.11 x 7, xv 0,4、設(shè)函數(shù)f(x)=

9、2若f(a) v 1,則實數(shù)a的取值范圍是(Cx, x> 0,A. ( 3 3)B . (1 , +3 )C. ( 3,1)D . ( 3, 3) U (1 , +3 )解：當(dāng)a v 0時，f(a) v 1可化為2 a 7v 1,即卩 2 av 8,即 2 a v 1 3,因為 0v1,所以 a> 3,此時3v av 0；當(dāng)a > 0時，不等式f(a)v 1可化為av 1，所以0w a v 1.故a的取值范圍是(3,1).選C。突破點三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用1例 31、設(shè) a= 225 b = 2.5°, c= J 2,5，貝U a, b, c的大小關(guān)系是(C )A

10、. a>c>bB.c>a>bC. a>b>cD. b>a>c2、已知 a= 0.80.7, b= 0.80.9, c= 1.20.8,則a, b, c的大小關(guān)系是()A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD . c>a>b解析：選 D a= 0.8°.7>0.80.9= b, a= 0.80.7<0.80= 1，二 b<a<1，而c= 1.20.8>1.20= 1 ,. c>a>b.3、已知1 17-9 -7f(x)= 2x 2 x, a

11、= 9 4 , b = 7 5 , c= log 29，則 f(a), f(b),f(c)的大小關(guān)系為(B )f(b)<f (a) <f(c)B. f(c)<f(b)<f(a)C. f(c)<f(a)<f(b)D . f(b)<f(c)<f(a)4、函數(shù)y= 3X 2X的值域為第5頁(共12頁)解析：設(shè) u= x2 2x,則 y= 3u, u= x2 2x= (x 1)2 1 > 1，所以 y= 3u> 31 = £ 所以函數(shù) y= 3“ 32X的值域是3,+ 3 .5、函數(shù)f(x)= 2 x "的單調(diào)遞增區(qū)間是A

12、. 31B. 0, 2C. 1,+3D. 土，16、已知集合解析A= x|(2 x)(2 + x)>0，則函數(shù) f(x)= 4x 2x+1 3(x A)的最小值為()C. 21由題知集合 A=x| 2<x<2.又 f(x) = (2x)2 2 X 2x 3，設(shè) 2x= t，則-<t<4，所以 f(x)= g(t) = t22t 3= (t 1)2 4,且函數(shù)g(t)的對稱軸為直線t= 1,所以最小值為g(1) = 4.故選D.方法技巧指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較AA一一g0Jt "1如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y= ax, (2)y= bx, (3)y= cx

13、, (4)y= dx的圖象，底數(shù)a, b, c, d與1之間的大小關(guān)系為 c>d>1>a>b.由此我們可得到以下規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大.突破點四對數(shù)的運(yùn)算例 4 1、(1) (1)也7:9(3) (log62)2 log62 log63 嘰促3砸152 lOgi52 lOg15 20 154 log g16 log 32 81第#頁(共12頁)(5) (log43 log83)(log 35 log95) (log52 log 25 2)2 lg 25 lg2 lg 50 (lg 2)1(7) log535 + 2log 12- logs lo

14、g5142解: (1)原式(32)叭73 2log37 捫"7 2 丄49(3)原式log 6 2 (log 6 2 log 63) log618(8) (1 log63)2+ log62 log618豈g64(2)原式 log 15151log6 2 log6 18log6 362448(4)原式(log3 2) ( log 2 3)255(5)原式53315(-log23) (-log35) (-log52) Elg 25 2lg2(6)原式 lg 25 lg 2(lg 50 lg 2)lg100213 ,35 X 50.3, c(7)原式=log535+ Iog550- Iog

15、514+ 2log 1 2 = log5 4 + log 1 2= log 55 1 = 2.22(8)原式=(log 66 log63)2 + log62 log6(2 X32) -4og 64 = log63 2+ log62 log62 + log632 -4og 622=(log62)2 + (log62)2+ 2log62 log63弋log62 = log62 + log63= log6(2 X 3)= 1.突破點五對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)應(yīng)用例5 1、已知a>0,1，函數(shù)y= ax與y= loga( x)的圖象可能是(B )2、函數(shù)f(x)=|loga(x+ 1)|的大致圖象是

16、()第7頁(共12頁)解析法一：函數(shù)f(x)= |loga(x+ 1)1的定義域為x|x> 1，且對任意的X,均有f(x) > 0,結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖 象可知選C.法二：|y= logax + 1 |的圖象可由y= logax的圖象左移1個單位，再向上翻折得到，結(jié)合選項知選C.3、函數(shù)f(x)= loga|x|+ 1(0<a<1)的圖象大致為的定義域是(B )(A )一 14、函數(shù) f(x)= lxxA. ：",+m1B. 3,u(0,+s ) c. 3,+sD . 0 ,+ )5、設(shè) a= Iog50.5, b= log20.3, c= logo.32,a,

17、b, c的大小關(guān)系是(BA. b<a<cB. b<c<aC. c<b<aD. a>b>c6、三個數(shù)60.7、0.76、log°.76的大小順序為A . 0.76v log°.76v 60.7)0.76 v 60.7v log°.76C. log0.76v 60.7v 0.76log0.76v 0.76v 6°.7解析：/ 0v 0.7v 1, 6> 1, Iog0.76v 0，而 0v 0.76v 1, 60.7> 1，故 log°.76v 0.76v 60.7.答案：D337、已知l

18、oga4<1，那么a的取值范圍是 _ 0, 4 U (1 ,+ ),2，單調(diào)減區(qū)間8、函數(shù)y log 1 (x 2x 8)的單調(diào)增區(qū)間解:(1) y log112t x 2x8(,2)(4,) y f (x)在(,2)9、2函數(shù) y lg(x 4x5）的值域是0,) 。10、若函數(shù) y = log2(mx2-2mx+ 3）的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. (0,3)B . 0,3)C.(0,3D. 0,3解析 由題意知 mx2 - 2mx + 3>0恒成立.當(dāng)m = 0時，3>0 ,符合題意；當(dāng) m 0時，只需m>0,= 2m 2- 12m<0 ,解得0

19、<m<3.綜上0w m<3，故選B.若f（a） >f（- a），則實數(shù)a的取值范圍是（lOg2X, x> 0,11、設(shè)函數(shù) f(x)= log 12A . (- 1,0) U (0,1)B . ( g, 1) U (1 ,+s )C. (- 1,0) U (1 ,+s )D . (-g,- 1) U (0,1)a> 0,解析由題意得log2a>- log2aav 0,或解得a> 1或1v av 0.故選C.log2 a > log2 a ,方法技巧1、底數(shù)的大小決定了圖象相對位置的高低不論是a> 1還是Ov av 1,在第一象限內(nèi)，自

20、左向右，圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大，如圖, 0<c<d<1<a<b.x軸下側(cè)，圖象從右到左相應(yīng)的底數(shù)由小變大.在x軸上側(cè)，圖象從左到右相應(yīng)的底數(shù)由小變大；在（無論在x軸的上側(cè)還是下側(cè)，底數(shù)都按順時針方向變大）2、對數(shù)函數(shù)值大小比較的方法單調(diào)性法在同底的情況下直接得到大小關(guān)系，若不同底，先化為同底中間量過渡法尋找中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個數(shù)，-“比較傳遞”般是用0”，T或其他特殊值進(jìn)行圖象法根據(jù)圖象觀察得出大小關(guān)系突破點六幕函數(shù)42 1例6 1、已知a= 35,b = 45 , c= 125，貝U a,b, c的大小關(guān)系為（)A. b<a<cB. a&

21、lt;b<cC. c<b<aD.c<a<b11 11解析：因為a = 81 5, b = 165, c = 125，由幕函數(shù)y= x5在（0, + ）上為增函數(shù)，知 a>b>c,故選C.第8頁（共12頁）2、右a=11，貝U a, b, c的大小關(guān)系是(D )A. a<b<cB. c<a<bC. b<c<aD . b<a<cm的值為(23、幕函數(shù)f(x)= (m2 4m+ 4) xm 6m 8在(0,+ )上為增函數(shù)，則1 14、若(2m+ 1)2>(m2+ m- 1) 2，則實數(shù)m的取值范圍是(D

22、 )B. -5 6-1 ,+護(hù)一 1 A. m, 2C . (- 1,2)1解析：選D 因為函數(shù)y= x至的定義域為0,+)，且在定義域內(nèi)為增函數(shù),所以不等式等價于2m+ 1 > 0,m2 + m 1> 0,解得2m+ 1>m2+ m 1.1m> ,一 5 15 1mw2 或 m > ,1<m<2,即- w m<2.故選D.第9頁(共12頁)541、(Iog29)(log 32)+ loga+ log a 5a (a>0，且 a 豐 1)的值為(B )A. 2B. 3C . 4D . 52、對任意的正實數(shù)x, y,下列等式不成立的是(B )

23、ya . ig y ig x= ig xB.lg(x+ y) = Ig x+ Ig yC. Ig x3= 3lg xD .,In xlg x= In 103、已知函數(shù)f(x) = 4+ 2ax1的圖象恒過定點P,則點P的坐標(biāo)是(A)A. (1,6)B.(1,5)C .(0,5)D . (5,0)4、幕函數(shù)y= (m2 3m + 3)xm的圖象過點(2,4),則 m=( D )A. 2B.1C .1D . 2C )B.偶函數(shù)，且在(0,+ )上是減函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)，且在(0,+ )上是減函數(shù)A. 0<b<a<1B. 0<a<b<1C. 1<b<

24、aD. 1<a<bA. 3個B. 2個C. 1個D. 0個解析：選 C / 1<bx,A b°<bx,T x>0, b>1,a- bx<ax,x>1 , x>0 , b>1?a>b. 1<b<a.故選 C.第13頁(共12頁)A . a> b> cB.a> c> bC. c > a> bD.b > c> a8、設(shè) a= 1.90.9,b= 09.9, c=M0.99.1,貝U a,b,c的大小關(guān)系為(A)A . a> b> cB.b > a&

25、gt; cC.a> c> bD.c> a > b9、已知 a= 21.2,1b= 1 °.2c= 2log52，則a,b, c的大小關(guān)系為(C )A. b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a10、設(shè) a = log3 nb = log 2 3c= Iog3迄 2，貝U a,b, c的大小關(guān)系是(A )A . a> b> cB.a> c> bC. b>a> cD . b>c> aa, b,7、已知 a= 20.2, b = 0.40.2, c= 0.4&

26、#176;.6，則(A )c的大小關(guān)系是解析：選 A 因為 a= log3 n> Iog33= 1, b= Iog2；''3v Iog22 = 1，所以1b 2log23 a > b;又 c= 12log32=(Iog23)2> 1, c> 0,所以 b> c.故 a>b> c.11、函數(shù)12、函數(shù)13、函數(shù)在同一個坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是CA. 1 ,+oB.ooC.(0,214、函數(shù)f(x)= loga(x2 4x 5)(a>1)的單調(diào)遞增區(qū)間是A. ( 3 2)B . ( 3,1)C. (2,+ )D . (5,1 11 111

27、解析：選B 對于，函數(shù)y= 2 x為減函數(shù)，所以2 a> 2 b.又函數(shù)y= xb為增函數(shù)，所以2 b> 3 b，因此21 11 111a> 11 b,故正確；對于，函數(shù)y= x解析 由已知可得f "2 = ln -J2=-2,所以f f-2= f( - 2).又因為f(x)是奇函數(shù)，為增函數(shù)，所以a2<b2 .又函數(shù)y= bx為減函數(shù)，所以b2 <beee，所1 1以a2 <b，故不正確；對于，函數(shù) y= log1 x為減函數(shù)，所以log 1 a>log1 b.又log 1b>log 1b,因此22223log 1 a>log

28、1 b，故正確.綜上可得正確.故選B.2316、已知定義在 R上的偶函數(shù)f(x)在0,+ )上單調(diào)遞增，若f(ln x)<f(2)，則x的取值范圍是(D )17、(0, e2)B. (e-2,+m )C. (e2,+3 ) D. (e-2, e2)已知定義域為 R的偶函數(shù)f(x)在( 3 0上是減函數(shù)，且f(1) = 2,則不等式f(log2X)>2C.0，普 U的解集為(B)(2,+ )B. 0, 2 U (2,+ )D . (.2 ,+R )18、化簡：(2洽如)(6也舗)f- 3 6a6b5) =解析：(2醤 命)(-6諂 那)f- 3a 6b5)= 2a 3 b 2 6a 252+1-1b© = 4a3 261 1 5+_ -b 2 3 6 = 4a1 b0=4a.P.若點P也在幕函數(shù)f(x)的圖象上，貝U f(x)19、已知a>0，且1，函數(shù)y= loga(2x- 3) + ,2的圖象恒過點解析：設(shè)幕函數(shù)為f(x) = x“，因為函數(shù)y= loga(2x- 3)+ .2的圖象恒過點P(2,2)，則2a= .2,所以a1 1=1故幕函數(shù)為f(x)= x2 .log3 (x+ 1), x>0,20、 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)=則g(f(- 8) =.g (x), x<